一類潛伏期具有傳染性的流行病模型的穩(wěn)定性

張 瑜

(哈爾濱商業(yè)大學(xué)，基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150028)

利用動力學(xué)的方法建立傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型,通過模型分析疾病流行的規(guī)律,預(yù)測疾病蔓延的趨勢并尋求預(yù)防和控制的最優(yōu)策略是進(jìn)行傳染病研究的一個重要方面.目前對考慮潛伏期的傳染病模型的研究已取得了不少結(jié)果[1-5].文獻(xiàn)[1-3]對潛伏期不具備傳染性的模型進(jìn)行了分析[4-5]研究了潛伏期內(nèi)同樣具有傳染性的SEIS流行病模型，但未考慮潛伏期內(nèi)的康復(fù)可能.而一些傳染病如肺結(jié)核，SARS等在潛伏期內(nèi)不僅可傳染同時也可獲得康復(fù).本文研究了一類潛伏期和染病期均具有傳染性和康復(fù)可能的SEIQ 流行病模型，得到疾病存在與否的閾值，并討論了兩類平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性. 最后將隔離率作為控制變量，用范數(shù)指標(biāo)函數(shù)作為衡量控制變量的標(biāo)準(zhǔn)得出該模型最優(yōu)控制元的存在惟一性.

1 模型描述

將t時刻的總?cè)丝贜(t)分成四類：易感類S(t)，潛伏類E(t)，染病類I(t)，隔離類Q(t)，建立潛伏期和染病期均具有傳染性和康復(fù)可能的SEIQ傳染病模型：

(1)

其中：bN表示人口輸入率;d表示個體的自然死亡率;β1,β2分別表示潛伏類、染病類與易感類之間的有效接觸率;σ1,σ2分別表示潛伏類和染病類的隔離率；ε表示潛伏類向染病類的轉(zhuǎn)化率;γ1,γ2和γ3分別表示潛伏類，染病類和隔離率的康復(fù)率.并假設(shè)β1,β2，b，d,ε,γ1,γ2,γ3,σ1,σ2均為正常數(shù).

(2)

考慮到q=1-s-e-i，并令δ=b+ε+γ1+σ1，μ=b+γ2+σ2，將系統(tǒng)(2)簡化為：

(3)

2 SEIQ模型傳播系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

定理1 當(dāng)R0≤1時，系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時，無病平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.

當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)(3)在無病平衡點(diǎn)P0(1,0,0)處的特征方程為

(λ+b+γ3)[λ2+(μ+δ-β1)λ+μ(δ-β1)-εβ2]=0

注意到μ(δ-β1)-εβ2=δμ(1-R0)<0，方程存在正根，可知當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)P0是不穩(wěn)定的.

由于當(dāng)R0≤1時，系統(tǒng)(3)僅有惟一的平衡點(diǎn)P0，所以對地方病平衡點(diǎn)P*的討論僅限于當(dāng)R0>1時.

定理2 當(dāng)R0>1時,系統(tǒng)(3)的地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(3)在無病平衡點(diǎn)P0(1,0,0)處的特征方程為

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0

其中

a1=β1e*+β2i*+b+γ3+μ+δ-β1s*>β1e*+β2i*+b+γ3+μ>0

a2=(ε+b+σ1+γ3+μ)(β1e*+β2i*)+(b+γ3)(δ+μ-β1s*)>(ε+b+σ1+γ3+μ)(β1e*+β2i*)+(b+γ3)μ>0

a3=[μ(b+σ1)+ε(b+σ2)+γ3(ε+μ)](β1e*+β2i*)>0

從而

由Routh-Hurwitz 判據(jù)可知當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)(3)的地方病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的.

引理1[6]設(shè)f:R3→R3是一個Lipschitz連續(xù)向量場，Γ(t)是有向光滑曲面S?R3的邊界曲線，它是閉的，分段光滑的.如果g:R3→R3在S的某鄰域光滑，且對一切滿足：

g(Γ(t))·f(Γ(t))≤0(≥0)

(curlg)·n≥0(≤0),在S上

而且在S上有一些點(diǎn)滿足：

(curlg)·n>0(<0)

這里n是曲面S上的法向量，則Γ(t)不可能由系統(tǒng)x′=f(x)的軌線組成.

引理2 系統(tǒng)(3)在Ω2內(nèi)不存在周期解.

證明顯然Ω2的邊界線不能構(gòu)成系統(tǒng)(3)的周期解，下面僅在Ω2內(nèi)部討論.

將系統(tǒng)(3)右端的表達(dá)式分別記為f1，f2,f3,則有：

f3(e,i)=εe-μi

其中

由引理1可知，系統(tǒng)(3)在Ω2內(nèi)不存在周期解.

由定理2及引理2可得

定理3 當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)(3)的地方病平衡點(diǎn)P*是全局漸近穩(wěn)定.

3 SEIQ模型傳播系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題

令x1(t)=s(t)-1,x2(t)=e(t),x3(t)=i(t)，系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)化為

(4)

在(0,0,0)T附近，系統(tǒng)(4)的解的性態(tài)與其線性系統(tǒng)

(5)

解的性態(tài)一致.

(6)

A(t)=

則方程組(6)可寫成：

(7)

設(shè)T>0，記控制集為：

則U為L2[0,T]×L2[0,T]中的閉凸集.取Sobolev空間：

W1,2中范數(shù)為：

由Sobolev嵌入定理，W1，2([0，T]；R3)可看成L2([0，T]；R3)的完備子空間.

取集合W為：

W={X(t)∈W1,2([0,T];R3)|?σ(t)∈U,使得X(t)是方程(7)關(guān)于σ(t)的解}

對?σ(t)∈U，易知系統(tǒng)(7)的解是惟一存在的，于是SEIQ模型傳播系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題等價于尋求σ(0)(t)∈U使與之相對應(yīng)的解X(0)(t)∈W滿足：

σ(0)(t)稱為SEIQ傳播系統(tǒng)的最優(yōu)控制元[7].

引理3W是L2([0,T];R3)上的閉凸集.

證明先證明W是L2([0,T];R3)是上的凸集，設(shè)X(1)(t),X(2)(t)∈W,由W的定義知存在σ(1)(t),σ(2)(t)∈U,使得X(1)(t),X(2)(t)分別是方程(7)對應(yīng)于σ(1)(t),σ(2)(t)的解，對?0<λ<1,記X(t)=λX(1)(t)+(1-λ)X(2)(t)，有

其中:

下證W是L2([0,T];R3)上的閉集.

任取序列X(n)(t)∈W，滿足：

(8)

由W的定義知存在一列{σ(n)(t)}?U，使得X(n)(t)為系統(tǒng)(7)的對應(yīng)于σ(n)(t)的解，于是：

(9)

由于X(n)(t)收斂，易知σ(n)收斂，記極限函數(shù)為σ(0)(t)，即

對方程組(9)兩端取極限得X(0)(t)為系統(tǒng)(7)的對應(yīng)于σ(0)(t)的解.又因?yàn)閁為閉集,可知σ(0)(t)∈U，于是X(0)(t)∈W.閉集得證.

最后由文獻(xiàn)[8]中證明定理2的方法得到下面的結(jié)論.

定理4 設(shè)X*給定，SEIQ模型傳播系統(tǒng)(7)在U中存在惟一的最優(yōu)控制元.

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