準素子群的幾乎s正規(guī)性對超中心的影響

張 佳, 王克瑜, 郭繼東

(伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,新疆 伊寧 835000)

0 引言

子群的廣義正規(guī)性對有限群的構(gòu)造起著重要的影響,國內(nèi)外許多學(xué)者利用它們對有限群的結(jié)構(gòu)進行了廣泛而深入的研究.1980年,Srinivasan證明了:如果群G的所有Sylow子群的極大子群都是正規(guī)的,那么G是超可解的[1].1996年,王燕鳴提出c正規(guī)子群的概念,并證明了G是可解的當且僅當G的每個極大子群在G中c正規(guī)[2]．2005年,繆龍等提出了F-s補子群的概念,得到群p超可解性及超可解性的一些結(jié)果[3]．2009年,繆龍從子群極小補的角度出發(fā)提出了M可補子群的概念,并利用給定階準素子群的M可補性得到了群G關(guān)于p冪零、p超可解、超可解等一些結(jié)果[4]．2010年,郭文彬等利用幾乎s正規(guī)子群,對有限群的結(jié)構(gòu)進行了刻畫[5]．2012年,邱婷婷等利用某些準素子群的幾乎M可補性質(zhì)研究了有限群的結(jié)構(gòu)，得到了群G為p超可解和超可解的相關(guān)結(jié)果[6].自從Shemetkov和Skiba教授[7]提出χΦ超中心概念后,這方面就有了較多的研究.基于以上工作，本文利用準素子群的幾乎s正規(guī)性研究超可解群類p和超可解群類的超中心嵌入.

本文涉及的群皆為有限群,所用術(shù)語和符號也是標準的[8-9].符號U和N表示超可解群類和冪零群類．

1 預(yù)備知識

定義1[7]設(shè)H是群G的正規(guī)子群,若H中的所有非FrattiniG主因子在G中是F中心的,則稱H在G中是FΦ超中心嵌入的．

引理1[10]設(shè)G是有限群,

1) 若H在G中s擬正規(guī),則H在G中幾乎s正規(guī);

2) 若H≤K≤G,且H在G中幾乎s正規(guī),則H也在K中幾乎s正規(guī);

4) 令π是一個素數(shù)集,設(shè)K是G的正規(guī)π′子群,且H是G的π子群．若H在G中幾乎s正規(guī),則HK/K在G/K中幾乎s正規(guī);

引理3[10]設(shè)G是有限群,p是|G|的素因子,P是G的一個Sylowp子群．如果NG(P)是p冪零的且P的每一個極大子群在G中幾乎s正規(guī),則G是p冪零的．

引理4[11]令N是G的非平凡可解正規(guī)子群．若N∩Φ(G)=1,那么N的Fitting子群F(N)是包含在N中的G的極小正規(guī)子群的直積．

引理5[10]設(shè)L≠1是G的正規(guī)p群,若L是初等交換p子群,且L的任意極大子群在G中是幾乎s正規(guī)的,則L的某個極大子群在G中是正規(guī)的．

引理6設(shè)G是有限群,E是G的p可解正規(guī)子群,p是|E|的素因子．如果Fp(E)的Sylowp子群都循環(huán),那么E/Op′(E)在G/Op′(E)中是FΦ超中心嵌入的,F是p超可解群類．

證利用極小階反例,假設(shè)(G,E)是滿足引理條件但結(jié)論不成立的|G||E|最小的群對,則

1)Op′(E)=1．

事實上,若Op′(E)≠1,(G/Op′(E),E/Op′(E))滿足引理條件,由(G,E)的極小性知,結(jié)論對(G/Op′(E),E/Op′(E))成立,對(G,E)也成立,矛盾．

2)Op(E)≠1,且Fp(E)=Op(E)=F(E)．

因為E是p可解的且Op′(E)=1,所以包含于E的G的任意極小正規(guī)子群是初等交換的,即Op(E)≠1．由1)知,Fp(E)=Op(E)=F(E)．

3)Op(E)∩Φ(G)=1.

若Op(E)∩Φ(G)≠1,選擇極小正規(guī)子群L,L≤Op(E)∩Φ(G)．若Fp(E)=L,則|Op(E)|=|Fp(E)|=p．因此,CE(Op(E))=Op(E),Op(E)≤Z(P),Op(E)=P,P是E的Sylowp子群．所以,E在G中是FΦ超中心嵌入的,矛盾．若L

4) 完成證明．

由引理4及Fp(E)是循環(huán)群知,Op(E)是G的極小正規(guī)子群，且Op(E)的極大子群唯一．設(shè)M是Op(E)的極大子群．由3)知,M=1．所以,|Op(E)|=p．從而,CE(Op(E))=Op(E),Op(E)≤Z(P),Op(E)=P,P是E的Sylowp子群．因此,E在G中是FΦ超中心嵌入的,矛盾．

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)E是群G的正規(guī)子群,P是E的Sylowp子群,p是|E|的素因子．如果NE(P)是p冪零的且P的每個極大子群在G中幾乎s正規(guī),那么E/Op′(E)在G/Op′(E)中是UΦ超中心嵌入的．

證利用極小階反例,假設(shè)(G,E)是滿足定理條件但結(jié)論不成立的|G||E|最小的群對,則

1)Op′(E)=1．

事實上,若Op′(E)≠1,由引理1之3)及引理2知,(G/Op′(E),E/Op′(E))滿足定理條件,由(G,E)的極小性知,結(jié)論對(G/Op′(E),E/Op′(E))成立,對(G,E)也成立,矛盾．

2)E=P．

若E=G,由引理3知,G是p冪零的,E在G中是UΦ超中心嵌入的,矛盾．若E≠G．由引理1之1),(E,E)滿足定理條件,由(G,E)的極小性,結(jié)論對(E,E)成立,由引理3,E是p冪零的．因為Op′(E)=1,所以E=P．

3) 若L是包含于E的G的任意極小正規(guī)子群,則(G/L,E/L)滿足定理條件．

若L=E,P1是P的一個極大子群，則P1在G中幾乎s正規(guī),由引理5,L的某個極大子群M在G中正規(guī)．由L的極小性,|E|=p．所以E在G中是UΦ超中心嵌入的,矛盾．所以(G/L,E/L)滿足定理條件．

4) 完成證明．

設(shè)L是包含于E的G的任意極小正規(guī)子群,則E/L在G/L中是UΦ超中心的,L≤/Φ(G),|L|>p,E∩Φ(G)=1．由引理4,E是包含于E的G的極小正規(guī)子群的直積．由3)知,存在包含于E的G的極小正規(guī)子群R,R≠L．由[1,引理A.9.11],LR/L≤/Φ(G/L),|R|=|LR/L|=p．因此,E在G中是UΦ超中心嵌入的,矛盾．

定理2設(shè)G是有限群,E是G的p可解正規(guī)子群,p是|E|的素因子．如果Fp(E)的每個Sylowp子群的任意極大子群在G中幾乎s正規(guī),那么E/Op′(E)在G/Op′(E)中是FΦ超中心嵌入的,F是p超可解群類．

證利用極小階反例,假設(shè)(G,E)是滿足定理條件但結(jié)論不成立的|G||E|最小的群對,若Fp(E)的每個Sylowp子群循環(huán),則根據(jù)引理6知結(jié)論成立．下面考慮Fp(E)存在非循環(huán)Sylowp子群的情形.

1)Op′(E)=1．

事實上,若Op′(E)≠1,由引理1之3),(G/Op′(E),E/Op′(E))滿足定理條件,由(G,E)的極小性,結(jié)論對(G/Op′(E),E/Op′(E))成立,對(G,E)也成立,矛盾．

2)Op(E)≠1,且Fp(E)=Op(E)=F(E)．

因為G是p可解的且Op′(E)=1,所以包含于E的G的任意極小正規(guī)子群是初等交換的,即Op(E)≠1．顯然,Fp(E)=Op(E)=F(E)．

3)Op(E)∩Φ(G)=1

若Op(E)∩Φ(G)≠1,選擇極小正規(guī)子群L,L≤Op(E)∩Φ(G)．若Fp(E)=L,則|Op(E)|=|Fp(E)|=p,矛盾．從而,L

4) 完成證明．

感謝揚州大學(xué)繆龍教授的悉心指導(dǎo)!感謝審稿老師的中肯建議！

參考文獻:

[1] Srinivasan S.Two sufficient conditions for supersolvablility of finite groups[J].Israel J Math,1980,35(3):210.

[2] Wan Yanming.c-normality of groups and its properties[J].J Algebra,1996,180(3):954.

[3] Miao Long,Guo Wenbin.Finite groups with some primary subgroupsF-S-supplemented[J].Comm Algrebra,2005,33(8):2789.

[4] Miao Long,Lempken W.OnM-supplemented subgroups of finite groups[J].J Group Theory,2009,12(2):271.

[5] Wang Yan,Guo Wenbin.Nearlys-normality of groups and its properties[J].Comm Algrebra,2010,38(10):3821.

[6] 邱婷婷,王強，鮑宏偉．幾乎M可補子群對群構(gòu)造的影響[J].江蘇師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，30(3)：1．

[7] Shemetkov L A,Skiba A N.On theχΦ-hypercentre of finite groups[J].J Algebra,2009,322(6):2106.

[8] Doerk K,Hawkes T.Finite soluable groups[M].Berlin/New York:Walter de Gruyter,1992.

[9] 徐明曜.有限群導(dǎo)引:上冊[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[10] Guo Wenbin,Wang Yan,Shi Lei.Nearlys-normal subgroups of a finite group[J].J Algrebra Discrete Struct,2008,6(2):95.

[11] Guo Wenbin.The theory of classes of groups[M].London:Science Press-Kluwer Acad,2000.