基于Lobatto-Gauss結(jié)構(gòu)的五次元有限體積法

張欄輝，李永海

(1.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，長春 130012;2.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，長春 130012)

基于Lobatto-Gauss結(jié)構(gòu)的五次元有限體積法

張欄輝1，李永海2

(1.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，長春 130012;2.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，長春 130012)

構(gòu)造基于Lobatto-Gauss結(jié)構(gòu)的有限體積法，試探空間取六次Lobatto多項式零點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange型五次有限元空間，檢驗函數(shù)空間取五階Gauss多項式零點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的分片常數(shù)空間.證明了這種格式的穩(wěn)定性和收斂性以及在應(yīng)力佳點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的超收斂性，并通過數(shù)值實(shí)驗驗證了理論分析結(jié)果.結(jié)果表明，所給方法具有最優(yōu)的H1模和L2模誤差估計.

兩點(diǎn)邊值問題;五次有限體積法;超收斂;誤差估計

在［-h，h］上的零點(diǎn)為

將u(xi)(i=1～6)在區(qū)間［-h，h］上任意一點(diǎn)x0處做Taylor展開，則得

本文將試探空間取為以六次Lobatto多項式零點(diǎn)為差值節(jié)點(diǎn)的Lagrange型五次有限元空間，檢驗函數(shù)空間取為以五階Gauss多項式零點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的分片常數(shù)空間，定義五次元有限體積法格式，并證明了格式的穩(wěn)定性，給出了五次有限體積元法在H1模和L2模下的最佳收斂階估計及最大誤差和誤差導(dǎo)數(shù)的超收斂性分析，并結(jié)合數(shù)值算例驗證了理論結(jié)果的正確性.

1 有限體積元格式

考慮兩點(diǎn)邊值問題:

其中:I=［a，b］;p∈C1(I)，p(x)≥pmin＞0;q∈C1(I)，q≥0;f∈H0(I).

1.1 初始剖分及試探空間

對區(qū)間［a，b］做剖分Th，剖分節(jié)點(diǎn)記為a=x0＜x5＜… ＜x5n-5＜x5n=b，剖分單元記為Ii=［x5(i-1)，x5i］(i=1，2，…，n).其中步長hi=x5i-x5(i-1).對于i=1，2，…，n，記

假設(shè)h=max{hi}，且剖分滿足正則性條件hi≥ μh(i=1，2，…，n)，其中μ為一個正常數(shù).取試探函數(shù)空間Uh為相應(yīng)于剖分Th的Lagrange型五次元有限空間，即Uh中的函數(shù)uh滿足下列條件:

1)uh∈C(I)，u(a)=0;

2)uh在每個單元Ii=［x5(i-1)，x5i］上是五次多項式，它由單元端點(diǎn)及單元內(nèi)點(diǎn)x5i-5，x5i-4，x5i-3，x5i-2，x5i-1，x5i(i=1，2，…，n)的值確定.

Uh是U=H1E(I)的一個5n維度子空間，其中

令φ5i-5=Nx1(ξ)，φ5i-4=Nx2(ξ)，φ5i-3=Nx3(ξ)，φ5i-2=Nx4(ξ)，φ5i-1=Nx5(ξ)，φ5i=Nx6(ξ).設(shè)ui=uh(xi)，利用插值基函數(shù)構(gòu)造Uh的基底，對任意的uh∈Uh在單元Ii=［x5i-5，x5i］上可表示為

1.2 對偶剖分及檢驗空間

做相應(yīng)于初始剖分Th的對偶剖分，在剖分單元Ii上，令x5i-5+k1=x5i-5+k1h，x5i-5+k2=x5i-5+k2h，x5i-5+k3=x5i-5+k3h，x5i-5+k4=x5i-5+k4h，x5i-5+k5=x5i-5+k5h，則對偶單元的節(jié)點(diǎn)為

檢驗函數(shù)空間Vh取相應(yīng)于的分片常數(shù)空間，它由下列基函數(shù)張成的5n維子空間構(gòu)成:

則對任意一個函數(shù)vh∈Vh，有

其中:v5i-4=vh(x5i-4);v5i-3=vh(x5i-3);v5i-2=vh(x5i-2);v5i-1=vh(x5i-1);v5i=vh(x5i).

1.3 有限體積元格式

求解方程(4)的五次有限體積元格式為:求uh∈Uh，使得

即對于i=1，2，…，n，規(guī)定u0=0，p5n+k1=0，x5n+k1=0.將積分做近似可得:

從而可得差分方程:

2 誤差估計

為了做誤差估計，先引入如下離散范數(shù):

引理1 在Uh中價，即存在與Uh無關(guān)的常數(shù)α1，α2，α3，α4＞0，使得下式成立:

證明:由式(6)可得

可以驗證矩陣A0為對稱正定矩陣，且G為非奇異矩陣，所以存在與Uh無關(guān)的正常數(shù)c1，c2，使得

即式(12)成立，同理可證式(11)成立.證畢.

根據(jù)Soblev空間插值理論可得:

其中C為與u無關(guān)的常數(shù).

定理1 當(dāng)h充分小時，雙線性形式a(uh，uh)正定，即存在與子空間Uh無關(guān)的常數(shù)β＞0，使得

證明:對于雙線性形式，有

先估計 ~a(uhuh)，將矩陣Bi對稱化為Ci=(Bi+)/2，則有

易驗證矩陣Ci的順序主子式大于零，所以Ci為對稱正定矩陣，從而存在β1＞0，使得

再注意到q∈C1(I)及

從而有

由式(20)～(22)可知，當(dāng)h充分小時，存在β＞0，使得

證畢.

注1 文獻(xiàn)［10］的正定性分析方法只適用于采取Gauss點(diǎn)作為對偶剖分節(jié)點(diǎn)的情形，而本文采取了單元正定性分析方法，適合任何節(jié)點(diǎn)作為剖分節(jié)點(diǎn)的情形，例如剖分節(jié)點(diǎn)為等分節(jié)點(diǎn)或者Guass節(jié)點(diǎn).

定理2 若問題(4)的解u∈(I)∩H6(I)是五次元差分格式(9)的解，則有誤差估計:

證明:由于

成立，所以

設(shè)Πhu為u向Uh的插值投影，則由定理1可得

利用Cauchy不等式得

于是可得

當(dāng)u∈(I)∩H6(I)時，有

另一方面，由

當(dāng)u∈(I)∩H6(I)時，由逼近理論的結(jié)果知，，所以

證畢.

3 超收斂性分析和L2模誤差估計

定義1 如果存在q∈［1，∞］，使得

則稱點(diǎn)x0為應(yīng)力佳點(diǎn).其中:Πh是插值算子;E表示含有x0單元的并集;)表示在各個含有x0單元上▽v(x0)值的算數(shù)平均;N為區(qū)域的維數(shù);C是與剖分Th和函數(shù)u無關(guān)的常數(shù).與有限元法的情形類似，可得與有限元法類似的應(yīng)力佳點(diǎn)定理.

引理2［1］設(shè)u，uh分別為邊值問題(4)及五次有限體積格式(9)的解，相應(yīng)的雙線性形式滿足如下差值弱估計:存在p∈［1，∞］，使得

則有‖u-Πhu‖1≤Chk+1‖u‖k+2，p，E.令Nk為插值應(yīng)力佳點(diǎn)集，對于x0∈Nk，則有

其中r為Nk點(diǎn)數(shù).

定理3 設(shè)u，uh分別為邊值問題(4)及五次有限體積格式(9)的解，則有如下相應(yīng)的插值弱估計:

證明:由已知條件可得

由Cauchy不等式得

同理可證明Ei≤Ch6‖u‖7‖wh‖1，i=2，3，4，5.由式(33)可得所證結(jié)論.證畢.

結(jié)合引理2和定理3可得:

定理4 設(shè)問題(4)的解u∈(I)∩H7(I)，uh是五次元差分格式(9)的解，則有:

定理5 設(shè)問題(4)的解為u∈(I)∩H7(I)，uh是五次元差分格式(9)的解，則有

4 數(shù)值算例

下面通過數(shù)值算例驗證誤差的收斂階.為方便敘述，本文所構(gòu)造的一維五次Lobatto-Guass結(jié)構(gòu)有限體積法記為方法1;采取等距節(jié)點(diǎn)上的五次Lagrange函數(shù)作為試探函數(shù)，并應(yīng)用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)超收斂點(diǎn)作為對偶剖分節(jié)點(diǎn)的有限體積法記為方法2.用max表示剖分節(jié)點(diǎn)處的誤差最大模;Esup表示對偶剖分節(jié)點(diǎn)上平均導(dǎo)數(shù)的收斂性估計.

例1

表1 方法1計算例1的數(shù)值結(jié)果Table 1 Numerical results of the first method about example 1

表2 方法2計算例1的數(shù)值結(jié)果Table 2 Numerical results of the second method about example 1

由表1和表2可見，方法1和方法2具有相同的H1和L2模，但在節(jié)點(diǎn)處方法1函數(shù)的超收斂性比方法2大一階，且方法1比方法2相對誤差較小，與理論分析結(jié)果一致.

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(責(zé)任編輯:趙立芹)

Fifth-Order Finite Volume Method Based on the Lobatto-Gauss Constructure

ZHANG Lanhui1，LI Yonghai2
(1.Institute of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China; 2.College of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China)

A one-dimension fifth-order finite volume method based on the Lobatto-Gauss constructure was designed，with its trial function being the fifth order Lagrange interpolated function，and the test function space being a piecewise constant space.The stability and convergence of the scheme was proved.The H1and L2error estimates were proved to be optimal.We discussed the superconvergence of numerical derivatives at optimal stress points.And the numerical experiments show the results of theoretical analysis.

two-point boundary value problem;fifth-order finite volume element method;superconvergence; error estimate

O241.3

A

1671-5489(2014)03-0397-11

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.03.01

0 引 言

有限體積元法(FVEM)［1］由于具有結(jié)構(gòu)簡單和保持局部物理量守恒性等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于各種數(shù)學(xué)物理問題中，目前已取得了許多研究成果.文獻(xiàn)［2］給出了兩點(diǎn)邊值問題的有限體積法;文獻(xiàn)［3-4］給出了二次有限體積元格式的H1模和L2模誤差估計;文獻(xiàn)［5］構(gòu)造了一種新的一維高次元有限體積法，它使用應(yīng)力佳點(diǎn)作為對偶單元的節(jié)點(diǎn)，保證了有限體積法與相應(yīng)有限元法雙線性形式的差是小量，從而借助于有限元法獲得了有限體積法的各種收斂階估計;文獻(xiàn)［6-9］分別給出了三次和四次有限體積元格式的H1模和L2模誤差估計，并采用基于應(yīng)力佳點(diǎn)的有限體積元法，在理論和數(shù)值上給出了超收斂性的證明.本文在文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上構(gòu)造一種更高次的有限元格式，先在區(qū)間［-h，h］上取六次Lobatto多項式的零點(diǎn).六次Lobatto多項式

2013-09-23.

張欄輝(1991—)，男，漢族，碩士研究生，從事偏微分方程有限體積法的研究，E-mail:1050099567@qq.com.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:11076014).