基于Adomian分解法的變系數(shù)組合KdV方程的近似解

盧殿臣，沈芙蓉，洪寶劍

(江蘇大學(xué) 非線性科學(xué)研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

隨著非線性科學(xué)的蓬勃發(fā)展，非線性問題的求解一直是數(shù)學(xué)物理工作者研究的重要課題．然而，由于非線性問題的復(fù)雜性，絕大多數(shù)非線性微分方程沒有精確解，人們不得不發(fā)展各類求近似解的方法.近幾年發(fā)展起來的Adomian分解法[1-2]就是一種尋求非線性微分方程近似解的有效方法．這種方法可以獲得具有較高精度的近似解,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到許多帶有孤立波解、有理函數(shù)解及其他形式解的非線性微分方程[3-9]，充分體現(xiàn)了其適普性和高效性．對于常系數(shù)組合KdV方程，國內(nèi)外學(xué)者已用各種方法作出了大量的結(jié)果[10-14]．文獻(xiàn)[15]利用Adomian分解法得到了常系數(shù)mKdV方程的近似解，而關(guān)于變系數(shù)組合KdV方程的研究很少.論文將用Adomian分解法求出變系數(shù)組合KdV方程的近似解．由于變系數(shù)方程更能準(zhǔn)確刻畫眾多的物理現(xiàn)象，因此對其進(jìn)行求解意義重大．

1 模型與Adomian分解法

討論變系數(shù)組合KdV方程如下

ut+a(t)uux+b(t)u2ux+c(t)uxxx=0，

(1)

其中：a(t),b(t),c(t)是關(guān)于t的任意函數(shù)．

u(x,t)=u(x,0)-L-1(a(t)uux+b(t)u2ux+c(t)uxxx)．

(2)

由Adomian分解法，可以令

(3)

(4)

其中：Ak為Adomian多項(xiàng)式[2]，定義如下

于是,有

A0=a(t)u0u0,x+b(t)u0u0,x，

A1=a(t)u0u1,x+a(t)u1u0,x+b(t)u0u1,x+2b(t)u0u1u0,x，

A2=a(t)u0u2,x+a(t)u1u1,x+a(t)u2u0,x+b(t)u0u2,x+

2b(t)u0u1u1,x+2b(t)u0u2u0,x+b(t)u1u0,x.

將(2)式參數(shù)化，則有

(5)

比較上式兩邊關(guān)于λ的同次冪系數(shù)，可得遞推式

u0=u(x,0)，

uk+1=-L-1(Ak+c(t)uk,xxx)．

(6)

利用Mathematic軟件，可以逐步求出每一個uk(x,t)，從而由(3)式，有

2 橢圓函數(shù)形式的近似解

如果在方程(1)中取a(t)=6t,b(t)=6t,c(t)=t，則方程(1)化為

ut+6tuux+6tu2ux+tuxxx=0,

(7)

考慮其初值條件

其中：k為任意常數(shù)，m為模數(shù)，0≤m≤1．

下列式子中cn(kx,m)為橢圓函數(shù)，滿足

于是，有

u0,x=-k2mdn(kx,m)sn(kx,m)，

u0,xxx=k4mdn(kx,m)sn(kx,m)(4mcm2(kx,m)+dn2(kx,m)-msn2(kx,m))，

3m)cn2(kx,m)-2k2dn2(kx,m)+2k2msn2(kx,m)),

4k2(-3+4k2m(-11+12m)cn2(kx,m))dn4(kx,m)-4k4dn6(kx,m)+

m((3+4k2(2-3m)m2(kx,m))2+8k2(21-18m+4k2m(41+

6m(-10+3m))cn2(kx,m))dn2(kx,m)-12k4(-45+

44m)dn4(kx,m))sn2(kx,m)+4k2m2(-3+k2(4m(-11+12m)cn2(kx,m)+

3(-45+44m)dn2(kx,m)))sn4(kx,m)+4k4m36(kx,m))．

u3=-L-1(6tu0u2,x+6tu1u1,x+6tu2u0,x+6tu0u2,x+

12tu0u1u1,x+12tu0u2u0,x+6tu1u0,x+tu2,xxx)=

msn2(kx,m)(-3+2k2msn2(kx,m))3+4k4dn6(kx,m)(9+8k2m(-307+

306m)sn2(kx,m))+64k4m3cn6(kx,m)(9(2-3m)2+k2(1 976-3 996m+

2 538m2-513m3)dn2(kx,m)+k2m(-1 976+3 996m-2 538m2+

513m3)sn2(kx,m))+6k2dn4(kx,m)(9+18k2m(-45+44m)sn2(kx,m)+

8k4m2(913-1 056m+144m2)sn4(kx,m))+dn2(kx,m)(27+108k2m(-7+

6m)sn2(kx,m)-108k4m2(-45+44m)sn4(kx,m)+32k6m3(-307+

306m)sn6(kx,m))+48k2m2cn4(kx,m)(18-27m+2k4(2 564-3 564m+

999m2)dn4(kx,m)-9k2m(76-116m+39m2)sn2(kx,m)+2k4m2(2 564-

3564m+999m2)sn4(kx,m)+k2dn2(kx,m)(9(76-116m+39m2)+

4k2m(-5 180+7 764m-2 853m2+270m3)sn2(kx,m)))+4mcn2(kx,m)(27+

4k6(1 884-1 845m)dn6(kx,m)+27k2m(-22+21m)sn2(kx,m)-3 672k4(-1+

m)m2sn4(kx,m)+4k6m3(-1 844+1 845m)sn6(kx,m)-12k4dn4(kx,m)(306(-1+

m)+k2m(10 820-13 449m+2 628m2)sn2(kx,m))+3k22(kx,m)(198-189m-

144k2m(43-52m+9m2)sn2(kx,m)+4k4m2(10 820-13 449m+2 628m2)sn4(kx,m))))．

…

因此,方程(7)的4級近似解為

φ4=u0(x,t)+u1(x,t)+u2(x,t)+u3(x,t).

(8)

3 數(shù)值模擬與誤差分析

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，方程ut+6uux+6u2ux+uxxx=0有精確解

由此不難推出方程ut+6tuux+6tu2ux+tuxxx=0有精確解

(9)

且滿足

這正是方程(7)當(dāng)m=1,k=1時的情形.

接下來，用數(shù)值模擬的方法給出m=1,k=1時方程(7)的近似解φ4與精確解式(9)的誤差分析，如表1所示.

表1 方程的精確解、近似解以及絕對誤差、相對誤差

當(dāng)m=1,k=1時,方程(7)的精確解與近似解φ4的3維立體圖、等高線和密度圖如圖1～4所示.

圖1 方程的精確解Fig.1 Exact solution

圖2 方程的近似解 Fig.2 Approximate solution

圖3 方程近似解的等高線圖Fig.3 The contour plot of the approximate solution

圖4 方程近似解的密度圖Fig.4 The density plot of the approximate solution

4 結(jié)束語

論文首次利用Adomian分解法求解帶有初值條件的變系數(shù)組合KdV方程，得到了具有橢圓函數(shù)形式的近似解, 并進(jìn)行了誤差估計(jì),給出了近似解的3維立體圖、等高線圖和密度圖. 數(shù)值模擬的結(jié)果表明所求的4級近似解與其精確解高度相似．研究表明，Adomian分解法可應(yīng)用于變系數(shù)非線性微分方程，而且可以根據(jù)需要通過增加計(jì)算項(xiàng)數(shù)來提高近似解的精確度．但是，如何將此方法應(yīng)用于高階高維的系統(tǒng)還有待于進(jìn)一步研究．

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