鉸接多浮體系統(tǒng)在規(guī)則波作用下的運動響應(yīng)

王 桂 波， 勾 瑩， 滕 斌， 曹 光 磊

( 大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室, 遼寧 大連 116024 )

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鉸接多浮體系統(tǒng)在規(guī)則波作用下的運動響應(yīng)

王 桂 波， 勾 瑩*， 滕 斌， 曹 光 磊

( 大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室, 遼寧 大連 116024 )

基于線性勢流理論，利用模態(tài)法在頻域內(nèi)研究了鉸接多浮體結(jié)構(gòu)在規(guī)則波作用下的運動響應(yīng)．首先采用邊界元法建立邊界積分方程求解水動力系數(shù)及波浪激振力，然后基于最小勢能原理采用拉格朗日乘子法推導(dǎo)出系統(tǒng)的約束矩陣，并利用該約束矩陣建立系統(tǒng)運動方程求解各運動模態(tài)的運動響應(yīng)幅值．通過與已發(fā)表的5個鉸接漂浮方箱在規(guī)則波作用下運動響應(yīng)結(jié)果的對比，證明了方法的正確性和有效性．以3個鉸接的箱型浮體為例，討論了水深、鉸接位置對結(jié)構(gòu)運動響應(yīng)的影響．研究發(fā)現(xiàn)水深、鉸接位置均會對結(jié)構(gòu)的運動響應(yīng)產(chǎn)生一定影響，且對于不同的波浪周期其影響程度也不同．

高階邊界元法；鉸連接；多浮體；運動響應(yīng)

0 引 言

近年來，隨著海洋資源的進一步開發(fā)，多浮體結(jié)構(gòu)的應(yīng)用也越來越廣泛，例如LNG運輸船的裝卸載操作、海蛇波浪發(fā)電裝置、海上漂浮機場、移動海上基地等．

相對單個浮體，多浮體系統(tǒng)中每個浮體在波浪中的運動特性是不同的，因此既要考慮每個浮體與流場間的耦合作用，還要考慮多體系統(tǒng)內(nèi)各物體間水動力耦合影響．謝楠等[1]利用三維源匯分布法計算了浮體間距對浮體運動響應(yīng)的影響，結(jié)果表明，相互間水動力耦合作用顯著．Choi等[2]利用高階邊界元法計算了兩條船旁靠和串靠時的運動響應(yīng)；Gou等[3]利用快速多極子方法計算了3個浮體船在規(guī)則波作用下的運動響應(yīng)，并與單個船體的運動響應(yīng)進行對比，發(fā)現(xiàn)由于船體間水動力的影響波浪激振力和水動力系數(shù)均發(fā)生了顯著變化．以上這些研究結(jié)果都說明必須完整地考慮浮體間的水動力耦合影響．

對于浮體間有連接的情況，還需要考慮連接力對各浮體運動響應(yīng)的影響．海上浮橋、海上漂浮機場都可以簡化為由剛性鉸相連接的多浮體結(jié)構(gòu)．對于采用剛性鉸相連接的多浮體系統(tǒng)，由于其連接會限制浮體間的某些相對作用模態(tài)，在進行水動力分析時可采用直接模態(tài)分析法．直接模態(tài)分析法即根據(jù)浮體間的連接方式分析系統(tǒng)可能的運動模態(tài)，根據(jù)分析得到的運動模態(tài)求解相應(yīng)的輻射勢并建立相應(yīng)的運動響應(yīng)方程，浮體間的連接作用力作為系統(tǒng)間的內(nèi)力，從而求出系統(tǒng)的運動響應(yīng)．Newman[4]和Lee等[5]采用這一方法研究了波浪與鉸接和固接多浮體相互作用的問題，在Lee等[5]的文章中還考慮了浮體的彈性剛度對多浮體系統(tǒng)運動響應(yīng)的影響；Diamantoulaki等[6]采用直接模態(tài)法研究了入射波頻率及浮體個數(shù)對鉸接多浮體系統(tǒng)運動響應(yīng)的影響．雖然直接模態(tài)法針對特定的鉸連接方式確定系統(tǒng)的運動模態(tài)，減少了計算量和存儲量，但對于一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)，在計算之前不易準確分析出系統(tǒng)的運動模態(tài)，對于采用非鉸連接形式的多浮體系統(tǒng)，這一方法也失去了其可減少計算量的優(yōu)勢．由于每個浮體可分解為6個自由度，更普遍的總模態(tài)法認為系統(tǒng)的總模態(tài)數(shù)為6×N(N為物體的數(shù)量)，對每個浮體列運動響應(yīng)方程，浮體間的連接作用力作為外力，根據(jù)浮體間連接處的力和位移特性補充方程，得出以6×N個響應(yīng)幅值及浮體間連接力為未知量的方程組，通過求解得出系統(tǒng)的運動響應(yīng)和連接作用力．Hong等[7]利用總模態(tài)法研究了兩并排船只在波浪作用下的運動響應(yīng)并與實驗結(jié)果進行對比；Kim等[8]采用總模態(tài)法研究了浮體形狀以及連接剛度對系統(tǒng)運動響應(yīng)的影響；勾瑩等[9]利用總模態(tài)法研究了波浪與兩個鉸接和柔性連接方箱的相互作用問題，發(fā)現(xiàn)當入射波頻率與箱體的自振頻率接近時箱體的運動響應(yīng)會發(fā)生快速變化；Tajali等[10]利用總模態(tài)法研究了吃水深度、系泊的有無，以及波浪入射方向?qū)︺q接多浮體系統(tǒng)運動響應(yīng)的影響．總模態(tài)法中根據(jù)浮體間連接處的力和位移特性補充方程時一些學(xué)者也利用不同的方法進行實現(xiàn)，勾瑩等[9]根據(jù)兩漂浮方箱連接點處的位移匹配條件直接補充運動約束方程求得各浮體的運動響應(yīng)；沈慶等[11]利用虛功率原理導(dǎo)出多體系統(tǒng)凱恩方程求解各浮體的運動響應(yīng)；Sun等[12-13]利用拉格朗日乘子法引入約束矩陣，聯(lián)合各浮體的運動方程導(dǎo)出系統(tǒng)的整體運動方程，與前兩種方法相比，當浮體的個數(shù)較多，且浮體間的連接方式比較復(fù)雜時引入約束矩陣表達形式更為簡潔，也更適合計算機編程計算．

本文利用總模態(tài)法對多浮體系統(tǒng)進行水動力分析，通過引入約束矩陣建立多浮體系統(tǒng)的運動方程，研究水深、鉸接位置及結(jié)構(gòu)布置方式對鉸接多浮體系統(tǒng)運動響應(yīng)的影響．

1 邊界積分方程的建立及速度勢求解

假定波浪中有N個作小幅簡諧振蕩的浮體A，B，C，…，浮體間為剛性鉸連接，如圖1所示，整體坐標系OXYZ為固定坐標系，坐標系O1X1Y1Z1，O2X2Y2Z2，O3X3Y3Z3，…為局部坐標系，所有坐標系原點均位于靜水面上．

圖1 坐標系定義

在流域內(nèi)，函數(shù)u和v在邊界上具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，且滿足第二格林公式：

(1)

式中：Ω為流域；n為物面的單位法向量，指出流體流向為正；S=Sb+Sf+Sd+S∞，為流域邊界，Sb為物面，且Sb=SbA+SbB+SbC，…，Sf、Sd、S∞分別為自由水面、水底面、無窮遠處水面．令φ=u為速度勢函數(shù)，G=v為源點在(X0，Y0，Z0)的格林函數(shù)．針對不同問題和邊界條件，采用不同形式的格林函數(shù)，本文采用滿足除物面條件以外所有邊界條件的格林函數(shù)，使積分區(qū)域僅限于物體表面Sb上，即格林函數(shù)G滿足以下控制方程和邊界條件：

-h

Gz=0；z=-h

Gr=0；r→∞

(2)

John[14]于1950年導(dǎo)得了滿足上面條件的格林函數(shù)G：

(3)

式中：r=[(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2]1/2；r1=[(x-x0)2+(y-y0)2+(z+z0+2h)2]1/2；ν=ω2/g，為深水中的波數(shù)．將速度勢φ和上述格林函數(shù)應(yīng)用第二格林公式(1)可得積分方程

(4)

其中α為固角系數(shù)，其取值分別為

(5)

式中：Θ為物體表面所占的空間角度．

流場中速度勢可以表達為如下形式：

(6)

當波浪的入射角與x軸的夾角為β時，流場中的入射勢φi可以寫為

(7)

式中：A為入射波的波幅；g為重力加速度；k為波數(shù)，且波浪頻率與波數(shù)之間的關(guān)系滿足色散方程ω2=gktanhkh；φd為繞射勢；φj(j=6(I-1)+1，…，6(I-1)+6)(其中1≤I≤N)表示浮體I作單位幅值運動，其他浮體不動時產(chǎn)生的輻射勢；εj(j=6(I-1)+1，…，6(I-1)+6)(其中1≤I≤N)表示浮體I的運動幅值．綜合式(4)和式(6)可以求出繞射勢和輻射勢，進而求出附加質(zhì)量、輻射阻尼，以及波浪激振力．

2 運動方程的建立

對于簡諧波與結(jié)構(gòu)物相互作用問題，浮體的運動響應(yīng)也應(yīng)是同頻率下的簡諧運動，因此將浮體的運動響應(yīng)分離出時間因子，得到復(fù)值形式的運動響應(yīng)ε．根據(jù)線性勢流理論，考慮浮體間水動力耦合的影響，利用總模態(tài)法，在頻域內(nèi)建立系統(tǒng)的運動響應(yīng)方程，對于有連接的多浮體系統(tǒng)，各浮體的運動方程表達形式為

(8)

式中：n為浮體的數(shù)量，M、a、b、C、fex、fl分別為浮體的質(zhì)量矩陣、附加質(zhì)量陣、輻射阻尼陣、恢復(fù)力矩陣、波浪激振力矩陣、浮體間的連接所產(chǎn)生的作用力和力矩，下標II表示由于浮體I運動在浮體I自身上引起的物理量，下標IJ表示由于浮體J運動在浮體I上引起的物理量，為表達方便將式(8)簡化為如下形式：

Kε=F

(9)

式中：K、ε、F分別為剛度陣、物體位移向量、系統(tǒng)所受外力向量，所以系統(tǒng)內(nèi)勢能的大小可以表示為

(10)

對于有連接的多浮體系統(tǒng)，在連接點處應(yīng)滿足位移連續(xù)條件，即Dε=0，所以應(yīng)用拉格朗日乘子法有

(11)

令m表示系統(tǒng)中所有約束連接點處約束個數(shù)的總和，則F、ε、K、D、λ的大小分別為6n×1、6n×1、6n×6n、m×6n、m×1．對方程(11)兩邊同時變分得到

Kε+DTλ=F

Dε=0

(12)

將方程(12)進行整理得到

(13)

該方程即為系統(tǒng)的運動方程．以兩個鉸接浮體結(jié)構(gòu)I、J為例對建立約束矩陣D的過程進行說明，當結(jié)構(gòu)僅可以繞y軸轉(zhuǎn)動時，在鉸接點處滿足位移連續(xù)條件：

ξI1=ξJ1，ξI2=ξJ2，ξI3=ξJ3，ξI4=ξJ4，ξI6=ξJ6

(14)

式中：ξI和ξJ分別表示浮體I和浮體J在鉸接點處的平動位移和轉(zhuǎn)角．其中

ξI1=εI1+Z0×εI5-Y0×εI6

(15)

ξJ1=εJ1+Z0×εJ5-Y0×εJ6

(16)

式中：(X0，Y0，Z0)是鉸接點處的坐標，εI1，…，εI6為浮體I的平動位移和轉(zhuǎn)角，εJ1，…，εJ6為浮體J的平動位移和轉(zhuǎn)角，且上述計算均相對于整體坐標系．同理可以得到ξI2、ξI3、ξI4、ξI6和ξJ2、ξJ3、ξJ4、ξJ6的表達式，將這些表達式代入式(14)中，得到約束矩陣D的表達式為

(17)

3 數(shù)值驗證及分析

3.1 數(shù)值驗證

采用與文獻[5]相同的數(shù)值模型，模型結(jié)構(gòu)如圖2所示，其中方箱各處密度均勻，每個方箱的長、寬、高、吃水深度分別為300、80、12、6 m，水的密度取1 025 kg/m3，在每個方箱表面長、寬、高方向分別劃分30、8、2個單元，總的單元數(shù)為1 832，總的節(jié)點數(shù)為5 913．利用上文中的方法建立5個鉸接方箱的約束矩陣，計算了當水深為無限水深，來浪方向為0°時該鉸接系統(tǒng)的運動響應(yīng)，并與文獻[5]的計算結(jié)果進行對比，其中波浪入射角為來浪方向與x軸正向的夾角．

圖3為0°方向來浪時，各鉸接點處的升沉位移，從圖中可以看出本文的計算結(jié)果與文獻[5]的計算結(jié)果吻合較好，表明程序是正確的．

圖2 五方箱鉸接俯視圖(單位：m)

(a) 鉸1

(b) 鉸2

(c) 鉸3

(d) 鉸4

圖3 鉸的升沉位移

Fig.3 Heave responses of hinges

3.2 水深對系統(tǒng)運動響應(yīng)的影響

取3個方箱組成的鉸接系統(tǒng)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示，每個方箱均為均質(zhì)方箱，方箱的長、寬、高、吃水深度分別為100、30、10、5 m，方箱間的間隔為2 m，水的密度取1 025 kg/m3，波浪入射角為來浪方向與x軸正向的夾角．在每個方箱表面劃分40×10×2個單元，總的單元數(shù)為1 800，總的節(jié)點數(shù)為5 703，本文計算了來浪方向為0°，水深分別為80、60、40、20 m時結(jié)構(gòu)的運動響應(yīng)(坐標原點定在方箱2中心，P1、P2、P3、P4點的坐標分別為P1(152，0，0)，P2(51，0，0)，P3(-51，0，0)，P4(-152，0，0))．

圖4 三方箱鉸接俯視圖(單位：m)

圖5為P1、P2、P3、P4垂向運動響應(yīng)隨周期的變化情況，從圖中可以看出隨著水深的增加，在一定的周期范圍內(nèi)，P1、P2、P3、P4的垂向運動響應(yīng)逐漸增大，且垂向位移峰值所對應(yīng)的周期逐漸減小，當周期較大時P1、P2、P3、P4的垂向位移隨著水深的增大而逐漸減小，最終趨近于一個定值．從4個點的垂向運動響應(yīng)比較中可以看出當水深H=80、60、40 m時P1、P2、P3、P4的垂向運動響應(yīng)變化不大；但當H=20 m時其垂向運動響應(yīng)變化較大，說明水深對浮體的運動響應(yīng)有一定影響，且隨著水深的變化浮體的運動響應(yīng)呈非線性變化．當水深較深時浮體的運動響應(yīng)接近于深水情況，浮體的運動響應(yīng)變化不大；當水深較淺時浮體的運動響應(yīng)受水深的影響變化比較明顯．同時從圖中還可以看出迎浪側(cè)的P4點垂向運動響應(yīng)最大，其次為背浪側(cè)的P1點，中間兩點最小．圖6為水深20 m時，P4點運動響應(yīng)達到最大時結(jié)構(gòu)整體的位形圖，從圖中可看出此時各浮體結(jié)構(gòu)間的相對運動情況．圖7分別為鉸1、2的垂向剪切力隨周期的變化情況，該力除以ρgAL2進行量綱一化，其中ρ、g、A、L分別代表流體的密度、重力加速度、波幅、方箱長度，從圖中可以看出當周期小于10 s時，水深對鉸接點垂向剪切力的影響不大，說明此時水深對結(jié)構(gòu)的相對運動響應(yīng)影響較小，可視為深水情況．但當周期逐漸增大對應(yīng)的入射波浪波長增長時，水深的變化對垂向剪切力有明顯的影響．水深越小，在同一周期時垂向剪切力越大，說明結(jié)構(gòu)間的相對運動越大．并且水深越小，垂向剪切力峰值越大，其對應(yīng)的周期也越大．

(a) P1點

(b)P2點

(c)P3點

(d)P4點

圖5 不同水深下各鉸接點的升沉位移

Fig.5 Heave responses of hinge points under different water depths

圖6 H=20 m，T=14 s時結(jié)構(gòu)整體位形圖

(a) 鉸1

(b) 鉸2

圖7 鉸的垂向剪切力

Fig.7 Vertical shear forces acting on hinges

3.3 鉸接點位置對系統(tǒng)運動響應(yīng)的影響

為了便于研究參數(shù)影響規(guī)律，取3個方箱組成的鉸接系統(tǒng)開展研究．每個方箱均為均質(zhì)方箱，方箱的寬、高、吃水深度以及布置方式與圖4相同，方箱間的間隔為2 m，方箱的總長度為定值，即2L1+L2=300 m，其中L1為方箱1、3的長度，L2為方箱2的長度．計算了無限水深條件下，來浪方向為0°時，L2分別為50、100、150、200 m時結(jié)構(gòu)的運動響應(yīng)(P1、P2、P3、P4點的坐標分別為P1(152，0，0)，P2(L2/2+1，0，0)，P3(-L2/2-1，0，0)，P4(-152，0，0))．

圖8分別為P1、P2、P3、P4垂向運動響應(yīng)隨周期的變化情況，從圖中可以看出隨著方箱2長度的增加，在結(jié)構(gòu)垂向運動響應(yīng)峰值對應(yīng)的周期附近P1、P2、P3的垂向運動響應(yīng)逐漸減小，但P4則相反，其垂向運動響應(yīng)逐漸增大．在短周期時，各點的運動響應(yīng)結(jié)果都波動較大，當周期約大于14 s時結(jié)構(gòu)的運動逐漸趨于平穩(wěn)，此時鉸接點位置對結(jié)構(gòu)的運動響應(yīng)影響不大，這是因為當T=14 s時，波長約為306 m，近似于結(jié)構(gòu)的特征長度，因此在周期大于14 s以后鉸接位置對結(jié)構(gòu)整體的運動響應(yīng)影響不大．根據(jù)圖8的結(jié)果可知，當L2分別為50、100、150和200 m時，P4點峰值對應(yīng)的周期分別約為10.6、10.8、11.0和8.4 s，即當L2分別為50、100、150 m時，P4點峰值所對應(yīng)的周期隨著L2的增加而增加，但當L2=200 m時，P4點峰值對應(yīng)的周期減小到8.4 s．其原因在于當L2為100 m時，結(jié)構(gòu)各段的長度相同，P4點的運動響應(yīng)只出現(xiàn)一個峰值，當L2為50、150和200 m時，結(jié)構(gòu)中L1=L3≠L2，此時P4點的運動響應(yīng)出現(xiàn)兩個明顯的變化過程，但當L2為50、150 m時，L1、L3對前一個變化過程影響不明顯，當L2等于200 m時，L1、L3對前一個變化過程的影響比較明顯，在此處出現(xiàn)峰值．在圖9中給出了這4個周期時結(jié)構(gòu)的整體位形圖．從圖中可以看出當L2=200 m時結(jié)構(gòu)各浮體相對運動較小，比較平穩(wěn)．圖10為鉸1、2在不同鉸接位置時的垂向剪切力隨周期的變化情況，將該垂向剪切力除以ρgAL2進行量綱一化，其中L取為100 m．對圖10(b)中鉸2的結(jié)果進行仔細分析，可以看出雖然在計算周期范圍的左右兩側(cè)，即短周期和長周期部分，L2=200 m時的剪切力較大，但是在垂向剪切力出現(xiàn)較大峰值時，L2=200 m情況的剪切力峰值顯著降低；L2=100 m即3個方箱結(jié)構(gòu)特征尺度一樣時其垂向剪切力最大；在大多數(shù)周期情況下L2=50 m情況的剪切力較?。?/p>

(a) P1點

(b)P2點

(c)P3點

(d)P4點

圖8 不同L2下各鉸接點升沉位移

Fig.8 Heave responses of hinge points under differentL2

圖9 結(jié)構(gòu)整體位形圖

(a) 鉸1

(b) 鉸2

圖10 不同L2下鉸的垂向剪切力

Fig.10 Vertical shear forces acting on hinges under differentL2

4 結(jié) 論

(1)采用總模態(tài)法可以使多浮體系統(tǒng)的水動力分析問題得到很好的解決，同時通過引入約束矩陣D使系統(tǒng)的運動方程有了統(tǒng)一寫法，其表達形式更為簡潔，也更適合統(tǒng)一編程計算求解．

(2)將不同水深情況下系統(tǒng)的運動響應(yīng)進行對比可以得到，隨著水深的增大，周期較小時結(jié)構(gòu)的垂向運動響應(yīng)逐漸增大，對于周期較大的情況則相反，結(jié)構(gòu)的垂向位移隨著水深的增大而逐漸減小，最終趨于定值；當周期較小時，水深對鉸接點的垂向剪切力影響不大，但當周期逐漸增大時，水深越小垂向剪切力峰值對應(yīng)的周期越大，并且水深越小同一周期時的垂向剪切力也越大．

(3)通過不同鉸接位置情況下系統(tǒng)的運動響應(yīng)對比可知，當結(jié)構(gòu)總長度一定時，在一定的周期范圍內(nèi)，隨著中間結(jié)構(gòu)長度的增加，在結(jié)構(gòu)垂向運動響應(yīng)峰值對應(yīng)的周期附近背浪側(cè)結(jié)構(gòu)的垂向運動響應(yīng)逐漸減小，迎浪側(cè)結(jié)構(gòu)的垂向運動響應(yīng)逐漸增大，當波長大于結(jié)構(gòu)的特征長度時結(jié)構(gòu)的運動逐漸趨于平穩(wěn)，此時鉸接點位置對結(jié)構(gòu)的運動響應(yīng)影響不大；同時還可以得出當中間結(jié)構(gòu)長度較大時各浮體間的相對運動較小，此時結(jié)構(gòu)比較平穩(wěn)．可根據(jù)實際工程需要設(shè)計各結(jié)構(gòu)的特征長度．

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Motionresponsesofhingedmultiplefloatingbodiesunderregularwaveaction

WANG Gui-bo, GOU Ying*, TENG Bin, CAO Guang-lei

( State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

Motion responses of hinged multiple floating bodies in regular waves are studied by modal analyses in frequency domain based on the linear potential flow theory. Hydrodynamic coefficients and exciting forces are obtained by solving the boundary integral equations, which are developed by boundary element method. The system motion equations for solving motion amplitude response of motion modals are established by the adoption of constrained matrix, which is derived by the principle of minimum potential energy and the method of Lagrange multipliers. The validity and effectiveness of the presented method is verified by a satisfactory agreement with published results of motion responses of five hinged floating barges under regular waves. At last, taking three hinged floating barges as examples, the influences of water depth and hinged position on motion response are discussed, respectively. The experimental results show that water depth and hinged position have certain impact on the motion response of the structure, and for the different wave periods, the influences are different.

higher-order boundary element method; hinged connection; multiple floating bodies; motion responses

1000-8608(2014)06-0618-08

2014-01-09；

: 2014-09-20．

創(chuàng)新研究群體科學(xué)基金資助項目(51221961)；“九七三”國家基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃資助項目(2013CB036101)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(DUT14ZD203).

王桂波(1987-)，男，碩士生；勾 瑩*(1977-)，女，講師，E-mail:gouying@dlut.edu.cn；滕 斌(1958-)，男，教授,博士生導(dǎo)師.

O35

：Adoi:10.7511/dllgxb201406004