水中環(huán)肋圓錐殼振動(dòng)特性分析

陳美霞，鄧乃旗，張 聰，魏建輝

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院,武漢 430074)

環(huán)肋圓錐殼為工程中常見結(jié)構(gòu)。支撐水下航行體螺旋槳與軸系艉部結(jié)構(gòu)常采用該結(jié)構(gòu)形式。水下航行體主要噪聲源之一為由槳的脈動(dòng)力激起艇體艉部振動(dòng)并輻射聲而產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)振動(dòng)噪聲。為研究水下航行體振動(dòng)噪聲機(jī)理，本文針對(duì)截頂環(huán)肋圓錐殼在水中的振動(dòng)特性，將螺旋槳脈動(dòng)激勵(lì)模擬為對(duì)圓錐殼施加縱向點(diǎn)激勵(lì)，通過考慮圓錐殼在點(diǎn)力下受迫振動(dòng)位移響應(yīng)研究螺旋槳激起艇體振動(dòng)機(jī)理，提出適合解決任意邊界條件下水中環(huán)肋圓錐殼振動(dòng)特性的計(jì)算方法。

錐殼在水中與流體耦合振動(dòng)會(huì)改變其動(dòng)力特性。由振動(dòng)方程知，由于錐頂角的存在，錐殼半徑隨母線方向不斷變化，使殼體本構(gòu)方程出現(xiàn)拉彎耦合項(xiàng)，方程系數(shù)由圓柱殼時(shí)的常系數(shù)變?yōu)樽兿禂?shù)，難于求其精確解。國內(nèi)的研究主要集中于圓錐殼強(qiáng)度、穩(wěn)定性、固有振動(dòng)特性。王安穩(wěn)等[1]提出關(guān)于圓錐殼軸對(duì)稱變形的有矩理論方程。崔維成等[2]由旋轉(zhuǎn)殼體的基本微分方程出發(fā)，重新推導(dǎo)圓錐殼應(yīng)力計(jì)算精確解。崔維成等[3]將圓錐殼有矩問題求解的基本微分方程轉(zhuǎn)換成二階復(fù)常系數(shù)常微分方程式可用于圓錐殼邊界效應(yīng)。對(duì)圓錐殼振動(dòng)分析研究尚少。駱東平等[4]用Flügge殼體理論及遷移矩陣法研究環(huán)肋圓錐殼自由振動(dòng)。Crenwelge等[5]用能量法計(jì)算簡支環(huán)肋圓錐殼自由振動(dòng)。Tong等[6]用冪級(jí)數(shù)解各向異性圓錐殼自由振動(dòng)。Caresta等[7-9]沿用文獻(xiàn)[6]方法并考慮流體負(fù)載作用，研究水中圓錐殼、圓柱殼及錐柱結(jié)合殼在各種邊界條件下的振動(dòng)特性。Efraim等[10]采用冪級(jí)數(shù)法求解包括圓錐、圓柱、圓板在內(nèi)的軸對(duì)稱局部殼體固有頻率。Leissa[11]用解析法、試驗(yàn)法分析錐柱殼的模態(tài)及振型。吳仕昊等[12-13]基于區(qū)域分解方法研究圓錐殼-圓柱殼-球殼組合殼體的固有振動(dòng)。文獻(xiàn)[10]僅考慮真空中殼體結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)，未考慮流體負(fù)載影響，而文獻(xiàn)[7]則未考慮環(huán)肋對(duì)殼體振動(dòng)特性影響；為此，本文采用冪級(jí)數(shù)法與波傳播法結(jié)合方法對(duì)水中環(huán)肋圓錐殼固有及受迫振動(dòng)特性進(jìn)行研究。冪級(jí)數(shù)法求解錐殼振動(dòng)，用波傳播法考慮分段等效圓柱殼上流體載荷，搜索水中復(fù)波數(shù)，用平攤法等效環(huán)肋，分析水流體負(fù)載、環(huán)肋、邊界條件、半錐角及長度對(duì)振動(dòng)特性影響。國內(nèi)將該方法用于水中環(huán)肋圓錐殼振動(dòng)特性研究尚少見。

1 水中環(huán)肋圓錐殼振動(dòng)耦合方程求解

1.1 環(huán)肋圓錐殼運(yùn)動(dòng)方程

Flügge殼體理論描述的圓錐殼運(yùn)動(dòng)方程[14]為

(1)

(2)

(3)

式中：uc,vc分別為殼體中面沿x，θ方向位移；wc為殼體中面沿z方向法向位移，理論模型見圖1；ρ為殼體密度；h為殼體厚度；α為半錐角；R為錐殼任意位置x處半徑；R1，R2分別為錐殼小、大端半徑；Nx,Nθ,Nθx,Nxθ,Qx,Qθ為錐殼內(nèi)力項(xiàng)，見附錄A。

本文將環(huán)肋圓錐殼等效為正交各向異性殼體，考慮等肋骨間距的環(huán)肋圓錐殼。環(huán)肋內(nèi)力、內(nèi)力矩表達(dá)式[15]為

(4)

(5)

圖1 圓錐殼幾何模型與環(huán)肋尺寸示意圖

(6)

(7)

(8)

1.2 流體負(fù)載處理

由于圓錐殼各位置x處半徑是變化的，求流體負(fù)載較難。故將圓錐殼劃分成N段窄錐殼，每錐段等效成以錐殼分段平均半徑為半徑的圓柱殼，見圖2。認(rèn)為作用于每錐段的流體壓力大小等同于作用于同長度的圓柱殼流體壓力大小，通過該近似處理方法可得作用于圓錐殼的流體壓力。

圖2 錐殼分段與等效柱殼坐標(biāo)系圖

用Flügge方程描述分段圓柱殼運(yùn)動(dòng)方程為

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

u(x,θ,t)=Uejknxcos(nθ)e-jωt

(14)

v(x,θ,t)=Vejknxsin(nθ)e-jωt

(15)

w(x,θ,t)=Wejknxcos(nθ)e-jωt

(16)

式中：U,V,W分別為軸向、周向、徑向位移幅值。將通解代入式(9)～式(11)，得帶U,V,W項(xiàng)的線性方程為

(17)

式中：Aij[7]為矩陣微分算子項(xiàng)。

對(duì)非齊次方程解，式(17)中矩陣行列式值必為0。展開行列式可得由kn，ω項(xiàng)構(gòu)成的特征值方程。對(duì)每個(gè)ω，行列式值為關(guān)于結(jié)構(gòu)波數(shù)kn的八階控制方程。由于式(13)中漢克爾函數(shù)及貝塞爾函數(shù)的存在，特征方程為非線性，無法直接求解。因此須用數(shù)值方法求解kn。本文用搜索法。在無流體負(fù)載(Pa=0)情況下求解特征方程獲得4對(duì)解。每對(duì)解中取1個(gè)解，該4個(gè)解作為流體負(fù)載的初始解。對(duì)實(shí)數(shù)解與虛數(shù)解，分別在實(shí)域、虛域范圍內(nèi)初始解附近搜索，獲得能使控制方程為0的解。對(duì)復(fù)數(shù)解將初始解分解成實(shí)部、虛部，即kn=kre+jkim，其中kre為阻尼效應(yīng)，kim為質(zhì)量效應(yīng)?？刂品匠桃部煞纸鉃閷?shí)部、虛部C=Cre+jCim，在初始解附近搜索同時(shí)使控制方程實(shí)部、虛部為0的解，即將控制方程C=0化為{Cre=0Cim=0}并求解。由于求解方法較復(fù)雜，可將流體負(fù)載逐步增加，先估計(jì)無流體負(fù)載解附近的帶一半流體負(fù)載(0.5 Pa)的特征方程的解，再求解一半流體負(fù)載解附近的加載全部流體負(fù)載的復(fù)波數(shù)解。文獻(xiàn)[14]給出每個(gè)錐殼分段的母線方向長度滿足不等式Li≤2R0,iT%/sinα，其中T為分段系數(shù)，對(duì)同一錐殼模型，T保持不變。

1.3 連續(xù)條件

錐殼分段用力及位移連續(xù)條件連接，每錐段均需8個(gè)基本參數(shù)唯一描述，共需8N個(gè)基本參數(shù)確定整個(gè)錐殼振動(dòng)，每兩錐段間需滿足位移、內(nèi)力、內(nèi)力矩連續(xù)條件。

位移連續(xù)條件：

(18)

力平衡連續(xù)條件：

(19)

式中：uc,i,vc,i,wc,iNx,i,Nxθ,iMx,i,Mxθ,iVx,i為每個(gè)錐殼第i分段處位移及內(nèi)力；Ri為第i分段大徑，i=1，2…N-1。

1.4 水中環(huán)肋圓錐殼自由、受迫振動(dòng)求解

圓錐殼振動(dòng)方程冪級(jí)數(shù)形式的一般解為

uc(x,θ,t)=uccos(nθ)e-iωt

(20)

vc(x,θ,t)=vcsin(nθ)e-iωt

(21)

wc(x,θ,t)=wccos(nθ)e-iωt

(22)

式中：n為錐殼周向模態(tài)數(shù)。

用冪級(jí)數(shù)表示位移分量：

(23)

(24)

(25)

將式(20)～式(25)代入式(6)～式(8)，可得序列數(shù)am，bm，cm的遞推關(guān)系。據(jù)Flügge理論導(dǎo)出其表達(dá)式為

(26)

(27)

(28)

式中：Aai、Bai、Cai為相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)。據(jù)遞推關(guān)系只需用8個(gè)基本參數(shù)a0,a1,b0,b1,c0,c1,c2,c3即可表示任意am(m≥2)，bm(m≥2)，cm(m≥4)。uc(x)，vc(x)，wc(x)可表示為

uc(x)=[u1(x)…u8(x)][a0a1b0b1c0c1c2c3]T

(29)

vc(x)=[v1(x)…v8(x)][a0a1b0b1c0c1c2c3]T

(30)

wc(x)=[w1(x)…w8(x)][a0a1b0b1c0c1c2c3]T

(31)

將內(nèi)力、位移各項(xiàng)表示成關(guān)于a0,a1,b0,b1,c0,c1,c2,c38個(gè)未知系數(shù)的表達(dá)式。殼體兩端邊界條件與殼體分段間連續(xù)條件可組成矩陣方程Acxc=F，其中xc=[xc1T…xcNT]T;F為激勵(lì)力列向量。

(32)

對(duì)第i分段，上式中位移、力連續(xù)條件矩陣為

位移連續(xù)矩陣：

(33)

內(nèi)力連續(xù)條件矩陣：

(i=1,2…N)

(34)

組合矩陣中，最初、最后兩矩陣B1，BN為由錐殼兩端邊界條件決定。自由、簡支、固支三種條件下矩陣為

自由端：

(i=1,N)

(35)

固支端：

(36)

簡支端：

(37)

方程Acxc=F中激勵(lì)力項(xiàng)F為0時(shí)，可求解環(huán)肋圓錐殼在水中的自由振動(dòng)。令系數(shù)矩陣Ac的行列式值為0，即可求出固有頻率ω。F不為0時(shí)，則可求解環(huán)肋圓錐殼在水中的受迫振動(dòng)。激勵(lì)力下殼體位移的頻率響應(yīng)函數(shù)可通過將激勵(lì)力視為部分邊界條件求得。對(duì)錐殼小大端自由、簡支及固支情況，殼體在小半徑端施加一沿母線方向點(diǎn)力F1或法向點(diǎn)力F2，平均幅值F0=1 N。見圖3。

圖3 圓錐殼點(diǎn)力受迫振動(dòng)

求錐殼某點(diǎn)點(diǎn)力位移響應(yīng)時(shí)用柱坐標(biāo)系(x0c,θ,y0c)表達(dá)。其中y0c為錐殼任意位置半徑方向長度坐標(biāo)，θ為錐殼某截面周向角度坐標(biāo)，x0c為錐殼軸向長度坐標(biāo)。在柱坐標(biāo)(x0c,θ,y0c)下，位于(x0,θ0,R(x0))處的點(diǎn)力可用δ函數(shù)表示(R(x0)為錐殼x0處半徑)：

F(x,θ,t)=F0δ(x-x0)δ(θ-θ0)e-jωt

(38)

對(duì)殼體自由端，將激勵(lì)力考慮成邊界條件的一部分，在xi=x0處加載沿母線方向點(diǎn)力F1，該點(diǎn)邊界條件中Nx的表達(dá)式為

Nx=F0δ(x-x0)δ(θ-θ0)e-jωt

(39)

代入x=x0，并對(duì)cos(nθ)在-π～π范圍內(nèi)積分，得：

Nx=εF0cos(nθ0)

(40)

當(dāng)n為0時(shí)ε=1/2πR(x0)，n大于等于1時(shí)ε=1/πR(x0)。

同理，對(duì)法向激勵(lì)F2，有

Vx=εF0cos(nθ0)

(41)

任意方向激勵(lì)力均可分解到母線及法向求解。

對(duì)每個(gè)周向模態(tài)n，所有邊界條件、連續(xù)條件及激勵(lì)力均由矩陣方程Acxc=F表示，其中F為8N×1的力向量，只有一個(gè)非零項(xiàng)εF0。結(jié)果表示成一系列頻率響應(yīng)函數(shù)形式，該函數(shù)對(duì)每個(gè)頻率、周向模態(tài)n求解方程Acxc=F，取前20個(gè)周向模態(tài)位移(n=0:20)疊加，即可求得錐殼面任點(diǎn)位移頻率響應(yīng)。位移響應(yīng)在總體坐標(biāo)系軸向x0c及徑向y0c的分量為

ux0c,i=uc,icosα-wc,isinα

(42)

uy0c,i=uc,isinα+wc,icosα

(43)

2 數(shù)值計(jì)算與結(jié)果分析

為驗(yàn)證解析法的正確性，本文將解析法計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圓錐殼參數(shù)：錐殼母線向長度L=8.9 m，軸線向長度L′=8.46 m。殼體厚度h=0.014 m，小端半徑R1=0.5 m，大端半徑R2=3.25 m，平均半徑R0=1.875 m，半錐角α=18°，材料密度ρ=7 800 kg/m3，楊氏模量E=2.1×1011 N/m2，泊松比μ=0.3。在殼體表面均布環(huán)肋，肋厚br=0.014 m，肋高h(yuǎn)r=0.04 m，肋間距l(xiāng)=0.21 m。流體聲速cf=1 500 ms-1，流體密度ρf=1 000 kgm-3，結(jié)構(gòu)損耗因子ηs=0.02。數(shù)值法用有限元軟件ANSYS求解，殼體建模用shell63單元，環(huán)肋用beam188單元，外部流場(chǎng)用fluid30單元，吸聲邊界層用fluid130單元，共劃分25萬網(wǎng)格。

2.1 環(huán)肋圓錐殼固有頻率

本文考慮三種邊界條件的錐殼固有頻率，即小端自由-大端自由(FR-FR)、小端自由-大端簡支(FR- SD)、小端自由-大端固支(FR-CL)。計(jì)算每個(gè)周向模態(tài)n下最低固有頻率。水中環(huán)肋圓錐殼在三種邊界條件下的固有頻率計(jì)算結(jié)果見圖4。由圖4看出，解析法與數(shù)值法計(jì)算三種邊界條件下固有頻率結(jié)果吻合較好，由此驗(yàn)證本文解析法求解水中環(huán)肋圓錐殼固有頻率的正確性。較高周向模態(tài)出現(xiàn)誤差主要源于環(huán)肋的平攤法等效。

圖4 三種邊界條件下固有頻率

圖5為有無流體負(fù)載對(duì)圓錐殼固有頻率影響對(duì)比。由圖5看出，錐殼在水中的固有頻率均小于在真空中固有頻率。此因外部流體負(fù)載以附連水質(zhì)量或阻尼形式作用于殼體振動(dòng)法向，而附連水質(zhì)量使殼體振動(dòng)等效質(zhì)量增加，故水中固有頻率低于真空中固有頻率。

為研究錐殼振動(dòng)特有規(guī)律，考慮不同半錐角、殼體長度的錐殼固有振動(dòng)特性。在錐殼結(jié)構(gòu)參數(shù)基礎(chǔ)上，不改變平均半徑R0及軸向長度L′，僅改變半錐角α，兩端簡支條件下水中固有頻率計(jì)算結(jié)果見圖6。由圖6看出，半錐角為0°的圓柱殼固有頻率最高。隨半錐角的減小，固有頻率增大。n=1～3時(shí)半錐角影響不大，n=4～10時(shí)，半錐角越小，其變化對(duì)固有頻率影響越大。半錐角減小時(shí)，錐殼結(jié)構(gòu)沿軸向逐漸趨于對(duì)稱，至圓柱殼時(shí)完全對(duì)稱，錐殼剛度隨之增大，模態(tài)數(shù)越高其固有頻率也相應(yīng)增大。

不改變錐殼平均半徑R0及半錐角，僅改變軸向長度L′，兩端簡支條件下軸向長度對(duì)固有頻率影響見圖7。由圖7看出，在相同半錐角及平均半徑條件下，錐殼長度越短固有頻率越高。而錐殼長度在周向模態(tài)數(shù)較低時(shí)影響亦較大。

圖7 軸向長度L′對(duì)固有頻率影響

2.2 點(diǎn)力下圓錐殼諧響應(yīng)分析

為驗(yàn)證水中環(huán)肋圓錐殼受迫振動(dòng)解析方法的正確性，用有限元軟件ANSYS分析計(jì)算錐殼在水中的點(diǎn)力諧響應(yīng)，并與解析法結(jié)果對(duì)比。理論計(jì)算模型見圖3。圓錐殼小端為自由邊界條件，端部加載沿母線方向單位點(diǎn)力F1或沿端部徑向單位點(diǎn)力F3，大端固支約束。位移響應(yīng)點(diǎn)取錐殼端部激勵(lì)點(diǎn)A(0,0,0.5)或殼體中部點(diǎn)B(4.11,0,1.84)，取點(diǎn)軸向、徑向位移幅值響應(yīng)。用平攤法等效環(huán)肋，計(jì)算頻率為1～250 Hz，計(jì)算F1激勵(lì)下A點(diǎn)軸向響應(yīng)，結(jié)果見圖8，圖中Re=10E-12 m/N。由圖8看出，計(jì)算頻率在1～116 Hz時(shí)解析法與有限元法峰值位置、位移幅值吻合良好，而在117～250 Hz時(shí)位移幅值誤差較大，峰值位置出現(xiàn)偏移。說明平攤法等效環(huán)肋只適用較低頻率范圍?？紤]工程實(shí)際中螺旋槳脈動(dòng)產(chǎn)生的激勵(lì)頻率也在低頻范圍，本文取計(jì)算頻率1～100 Hz，可保證計(jì)算的準(zhǔn)確性。

圖8 計(jì)算頻率范圍分析

圖9、圖10分別為F1，F(xiàn)3激勵(lì)下環(huán)肋錐殼端點(diǎn)A及中間點(diǎn)B的軸向、徑向位移幅值響應(yīng)。由二圖看出，① 解析法與有限元ANSYS計(jì)算結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了冪級(jí)數(shù)法的正確性。誤差主要源于流體載荷的近似處理及平攤法等效環(huán)肋。② 水中響應(yīng)峰值位置相對(duì)于真空峰值位置偏向低頻，且響應(yīng)幅值較小。此因?yàn)橥獠苛黧w負(fù)載以附連水質(zhì)量及阻尼形式作用于殼體的動(dòng)響應(yīng)，殼體振動(dòng)阻尼增加，使殼體峰值響應(yīng)幅值減?。桓竭B水質(zhì)量作用相當(dāng)于振動(dòng)時(shí)殼體質(zhì)量增加，減小水中峰值對(duì)應(yīng)的固有頻率。

圖11為環(huán)肋對(duì)水中錐殼響應(yīng)影響。由圖11知，環(huán)肋錐殼峰值小于不加肋骨峰值，且峰值位置相對(duì)偏向高頻。此因?yàn)榄h(huán)肋以質(zhì)量及剛度平攤方式作用于殼體，使殼體等效剛度及質(zhì)量增加，而等效剛度增加的作用大于等效質(zhì)量增加的作用，故峰值位置對(duì)應(yīng)的固有頻率變大。剛度增加限制殼體的振動(dòng)位移，從而使峰值幅值變小。

圖12為邊界條件對(duì)水中環(huán)肋錐殼響應(yīng)影響。錐殼小端為自由邊界，大端分別為自由、簡支、固支三種。由圖12看出，頻率較低時(shí)(1～30 Hz)，小端自由-大端簡支與小端自由-大端自由邊界條件響應(yīng)曲線相近或重合；頻率較高時(shí)(31～100 Hz)，小端自由-大端簡支與小端自由-大端固支邊界條件響應(yīng)曲線相近或重合。研究表明，頻率較低時(shí)錐殼軸向約束作用較大，而大端簡支與自由兩種邊界條件均無軸向約束，故兩種邊界條件下曲線相近；頻率較高時(shí)，錐殼徑向、周向約束作用較大，大端簡支與大端固支均對(duì)錐殼徑向、周向有約束，故兩種邊界條件下曲線相近。

圖9 F1激勵(lì)下流體負(fù)載對(duì)環(huán)肋錐殼A點(diǎn)位移響應(yīng)影響

圖12 F3激勵(lì)下邊界條件對(duì)水中環(huán)肋錐殼A點(diǎn)響應(yīng)影響

以上結(jié)果已表明本文解析方法的正確性、適用性。該方法優(yōu)點(diǎn)在于由殼體運(yùn)動(dòng)方程及力法角度分析殼體，能反應(yīng)殼體的運(yùn)動(dòng)特性，采用冪級(jí)數(shù)法可靈活處理任意邊界條件，且可用連續(xù)條件將不同殼體結(jié)構(gòu)拼接計(jì)算組合結(jié)構(gòu)。而傳統(tǒng)有限元方法則將結(jié)構(gòu)離散成微元，由動(dòng)力學(xué)方程求解，無法反映殼體結(jié)構(gòu)特性。冪級(jí)數(shù)法計(jì)算速度快，用ANSYS12.1計(jì)算水中環(huán)肋錐殼單個(gè)頻率需15 min(2.8 GHz、8 G內(nèi)存)，而用冪級(jí)數(shù)法在MATLAB2012b中編程計(jì)算僅需5 s，計(jì)算速度極大提升。處理流體負(fù)載方法簡便，僅需改變流體參數(shù)及分段數(shù)，而有限元軟件則需建流場(chǎng)單元，較耗時(shí)。故用冪級(jí)數(shù)法可通過修改結(jié)構(gòu)及流體參數(shù)高效分析錐殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性及規(guī)律，提取任意節(jié)點(diǎn)位移速度等信息，便于分析殼體聲輻射，亦可將冪級(jí)數(shù)法編制計(jì)算軟件，可更方便應(yīng)用于工程實(shí)際中。

圖9～圖12中，Re=10E-12 m/N。

3 結(jié) 論

(1) 本文基于殼體振動(dòng)的Flügge理論，采用冪級(jí)數(shù)法研究水中環(huán)肋圓錐殼固有振動(dòng)及受迫振動(dòng)特性。環(huán)肋采用剛度各向異性法，等效為殼體附加質(zhì)量。通過將圓錐殼分段，將每段圓錐殼等效為圓柱殼考慮流體負(fù)載影響，采用搜索法搜獲得水中復(fù)波數(shù)。數(shù)值法與本文冪級(jí)數(shù)法結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的正確性。

(2) 通過對(duì)流體負(fù)載、環(huán)肋、邊界條件、半錐角及軸向長度對(duì)錐殼固有振動(dòng)、受迫振動(dòng)特性影響研究，計(jì)算結(jié)果表明，流體負(fù)載以附連水質(zhì)量、阻尼形式作用于殼體，會(huì)使錐殼固有頻率降低、振動(dòng)響應(yīng)幅值減??；環(huán)肋主要以增加剛度形式作用于殼體，使殼體峰值對(duì)應(yīng)的固有頻率增高，且約束殼體振動(dòng)，減小振動(dòng)響應(yīng)幅值；半錐角減小、軸向長度變短均會(huì)使固有頻率增高；頻率較低時(shí)錐殼以軸向約束作用為主，頻率較高時(shí)以徑向、周向約束作用為主。

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附錄A

(A1)

(A2)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

(A8)

(A9)

(A10)

(A11)

式中：E,μ,h分別為楊氏模量、泊松比、殼體厚度。