線性擾動隨機SI系統(tǒng)的漸近行為

孫 艷, 劉振文, 趙亞男, 姜志俠, 譚海軍

(1.長春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022; 2.長春大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 長春130022)

線性擾動隨機SI系統(tǒng)的漸近行為

孫 艷1, 劉振文1, 趙亞男2, 姜志俠1, 譚海軍1

(1.長春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022; 2.長春大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 長春130022)

用Laypunov泛函方法研究隨機SI系統(tǒng)全局正解的存在唯一性、持久性或滅絕性以及在某些條件下的隨機漸近行為.結(jié)果表明: 隨機SI系統(tǒng)具有平穩(wěn)分布, 體現(xiàn)了遍歷性.

It公式; Lyapunov法; 正解存在唯一性; 持久性; 滅絕性; 平穩(wěn)分布; 遍歷性

0 引 言

由于各種傳染病頻繁發(fā)生, 因此生態(tài)流行病學(xué)受到人們廣泛關(guān)注.Kermack等[1]給出了經(jīng)典的SIR模型; 文獻[2-4]研究了一些確定性生態(tài)流行病系統(tǒng)的性質(zhì).但種群系統(tǒng)和傳染病系統(tǒng)經(jīng)常受各種隨機干擾的影響, 如神經(jīng)系統(tǒng)的隨機擾動、外界環(huán)境的隨機干擾以及基因的隨機變化等.因此, 研究隨機擾動如何影響種群系統(tǒng)和流行病系統(tǒng)具有重要意義[5-14].

考慮確定性SI模型:

在隨機干擾下, 系統(tǒng)(1)受環(huán)境白噪聲的影響.本文對系統(tǒng)(1)進行線性擾動, 考慮系統(tǒng):

1 系統(tǒng)(2)的隨機漸近行為

1.1系統(tǒng)(2)正解的存在唯一性

證明: 對t≥0, 系統(tǒng)

的初值為

u(0)=logS(0),v(0)=logI(0).

顯然, 方程(3)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件, 從而在t∈[0,τe)上存在唯一的局部解(u(t),v(t)), 這里τe為爆破時間[6].由It公式易得S(t)=eu(t),I(t)=ev(t)是系統(tǒng)(2)滿足初始條件(S(0),的唯一局部正解.

下面將證明該解是幾乎必然全局的, 只需證明τe=∞幾乎必然成立即可.選取充分大的k0≥0, 使S(0),I(0)全部位于區(qū)間[1/k0,k0]內(nèi), 且對任意整數(shù)k≥k0, 定義停時

τk=inf{t∈[0,τe): min{S(t),I(t)}≤1/k, max{S(t),I(t)}≥k}.

由于對任意的u>0有

dV′=LV′dt+σ[-(S-a′)I+k′(I-b′)S]dB(t),

其中

從而

于是

當k≥k1時, 令Ωk={τk≤T}.由式(4)有P(Ωk)≥ε.由于ω∈Ωk, 在S(τk,ω),I(τk,ω)中至少有一個達到k或1/k, 因此

這里1Ωk(ω)是Ωk上的示性函數(shù).令k→∞, 則

矛盾, 從而τ∞=∞幾乎必然成立.

1.2系統(tǒng)(2)的滅絕性和持久性

證明: 由隨機比較定理, 有

令S≤X, 其中X為方程

將式(6)兩邊從0到t積分, 有

將式(7)兩邊從0到t積分, 有

將式(8)從0到t積分, 有

且

從而

于是

1.3系統(tǒng)(2)的平穩(wěn)分布

其中:

從而

其中

因此

其中

再令V=MV1+V2(M>0), 則有

其中

進一步, 由定理3的證明可得: 若令

在定理3成立的條件下, 可得如下結(jié)論:

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AsymptoticBehaviorofStochasticSISystemwithLinearPerturbation

SUN Yan1, LIU Zhenwen1, ZHAO Yanan2, JIANG Zhixia1, TAN Haijun1
(1.SchoolofScience,ChangchunUniversityofScienceandTechnology,Changchun130022,China;
2.DepartmentofAppliedMathematics,ChangchunUniversity,Changchun130022,China)

We discussed the existence and uniqueness, persistence, extinction and asymptotic behavior of the globally nonnegative solution of the stochasticSIsystem under certain conditions with Lyapunov analysis method.The stochasticSIsystem possesses stationary distributions and is ergodicity.

It’s formula; Lyapunov method; existence and uniqueness of the positive solution; permanence; extinction; stationary distribution; ergodicity

2014-07-14.

孫 艷(1964—), 女, 漢族, 副教授, 從事微分方程的研究, E-mail: suny1014@163.com.通信作者: 劉振文(1979—), 男, 漢族, 博士, 講師, 從事隨機微分方程的研究, E-mail: lzw19790115765@sina.com.

國家自然科學(xué)基金(批準號: 11371085).

O211.63

A

1671-5489(2014)06-1196-07

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.17

趙立芹)