α-混合序列生成的平穩(wěn)線性過程矩完全收斂性的精確漸近性

鄒 廣 玉

(長春工程學(xué)院 理學(xué)院, 長春 130012)

α-混合序列生成的平穩(wěn)線性過程矩完全收斂性的精確漸近性

鄒 廣 玉

(長春工程學(xué)院 理學(xué)院, 長春 130012)

利用α-混合序列的矩不等式及α-混合序列生成的平穩(wěn)線性過程部分和的漸近分布, 得到α-混合序列生成的平穩(wěn)線性過程部分和的矩完全收斂性的精確漸近性.

α-混合序列; 線性過程; 矩完全收斂性; 精確漸近性

0 引言及主要結(jié)果

設(shè){εt;t∈}為定義在概率空間(Ω,F,P)的隨機變量序列, 實數(shù)列{aj;j∈}滿足|aj|<∞, 且定義線性過程目前, 關(guān)于線性過程的極限性質(zhì)研究已取得許多結(jié)果, 如: 文獻(xiàn)[1]得到了獨立同分布序列生成線性過程二階矩收斂的精確漸近性; 文獻(xiàn)[2]討論了NA序列生成線性過程的大偏差原理; 文獻(xiàn)[3]對于一般的擬權(quán)函數(shù)和邊界函數(shù)給出了PA列生成線性過程的精確漸近性; 文獻(xiàn)[4]給出了鞅差序列生成平均移動過程的完全收斂性及Marcinwikiewcz-Zygmund強大數(shù)定律; 文獻(xiàn)[5]討論了φ-混合序列生成線性過程關(guān)于矩完全收斂的精確漸近性.

α-混合序列是諸多混合序列中限制條件較少的一種, 定義如下:

文獻(xiàn)[6]得到了由α-混合序列生成線性過程精確漸近性的一般形式, 本文在此基礎(chǔ)上討論α-混合序列生成線性過程的矩完全收斂性的精確漸近性.

下面設(shè){εj;j∈}為嚴(yán)平穩(wěn)α-混合隨機變量序列, 滿足Eε1=0, 且對某個r>2,δ>0,E<∞, 混合系數(shù)滿足

實數(shù)列{aj;j∈}滿足|aj|<∞, 且線性過程設(shè)記

定理1

定理2對于0≤p<2, 有

1 引 理

證明可參見文獻(xiàn)[7]中定理2.2.

證明可參見文獻(xiàn)[8]中推論1.

引理3在本文假設(shè)條件下, 存在不依賴于n的常數(shù)B, 使得對任意的n≥1, 有

證明： 利用引理2， 類似文獻(xiàn)[9]中引理4的證明可得結(jié)論.

2 定理的證明

不失一般性, 假設(shè)τ2=1.

2.1定理1的證明

記b(ε)=[ε-2].定理1可由以下幾個命題推得.

證明:

證明:

其中:

其次估計Δn2.由引理3和Markov不等式, 有

最后估計Δn3.由Markov不等式, 有

由引理1可得Δn→0(n→∞), 從而由式(3)～(5)有

再由式(6)及Toeplitz引理知命題3成立.

證明:

證明: 由Markov不等式及引理3, 有

下面證明定理1.由于

因此為了證明式(1), 只需證明下面兩式成立:

由命題1可知式(7)成立, 由命題2～命題5及三角不等式可得式(8).從而定理1得證.

2.2定理2的證明

令d(ε)=[Mε-2],M≥1.定理2可由以下幾個命題推得.

命題6當(dāng)0

證明: 由文獻(xiàn)[10]中命題4.1可得.

命題7當(dāng)p>0時, 有

證明類似文獻(xiàn)[5]中命題4.1的證明.

命題8當(dāng)p>0時, 有

證明類似文獻(xiàn)[5]中式(4.8)的證明.

命題9當(dāng)p>0時, 有

|Sn|≥x}dx=0.

證明: 注意到r>2, 由Markov不等式及引理3, 有

下面證明定理2.由于當(dāng)p=0時,

從而由命題1知此時定理2成立.因此只需驗證當(dāng)0

從而為了證明式(2), 只需證明下面兩式成立:

由命題1可知式(9)成立, 由命題6～命題9及三角不等式可得式(10).從而定理2得證.

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PreciseAsymptoticsinCompleteMomentConvergenceforLinearProcessofα-MixingSequences

ZOU Guangyu
(SchoolofScience,ChangchunInstituteofTechnology,Changchun130012,China)

Applying the moment inequality ofα-mixing sequence and the asymptotic distribution for linear processes generated byα-mixing sequences, the author obtained some results on precise asymptotics in complete moment convergence for linear process generated byα-mixing sequences.

α-mixing sequence; linear process; complete moment convergence; precise asymptotics

2014-02-28.

鄒廣玉(1982—), 男, 漢族, 博士, 講師, 從事概率極限理論的研究, E-mail: jingyang999@126.com.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號: 11401090)、吉林省教育廳項目(批準(zhǔn)號： 120120113)和長春工程學(xué)院青年基金(批準(zhǔn)號： 320130019).

O211.4

A

1671-5489(2014)06-1186-05

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.15

趙立芹)