再生型顫振系統(tǒng)的Hopf分岔分析與控制

李鵬松, 盛桂全, 孟永永

(東北電力大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 吉林 132012)

(2iωc+2ζ+ωcτe-iωcτ)A′-2iδζA+HA2=0,(17)

再生型顫振系統(tǒng)的Hopf分岔分析與控制

李鵬松, 盛桂全, 孟永永

(東北電力大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 吉林 132012)

考慮一類(lèi)單自由度的非線性再生型切削顫振系統(tǒng), 利用多尺度法分析系統(tǒng)時(shí)滯參數(shù)對(duì)解穩(wěn)定性的影響, 并在此基礎(chǔ)上采用非線性位移反饋控制抑制Hopf分岔引起的顫振.理論分析和數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了所給控制方法在切削顫振控制模型中的有效性.

亞臨界Hopf分岔； 超臨界Hopf分岔； 非線性控制； 多尺度法

圖1 刀具切削過(guò)程中的再生效應(yīng)Fig.1 Regeneration effect of cutting process

機(jī)床、刀具和工件形成一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu), 在某種條件下, 系統(tǒng)會(huì)發(fā)生劇烈的振動(dòng).可將這種振動(dòng)分成三類(lèi)： 自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)、自激振動(dòng).在機(jī)床動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域自激振動(dòng)也稱(chēng)為“顫振”.常見(jiàn)的顫振主要有由速度反饋引起的切削顫振、模態(tài)藕合引起的切削顫振以及再生型機(jī)理因素引起的顫振.在工件材料切削過(guò)程中發(fā)生顫振, 常會(huì)使加工過(guò)程變得不穩(wěn)定, 導(dǎo)致加工表面質(zhì)量和金屬切削率下降, 嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)茐牡毒吆蜋C(jī)床.研究表明, 切削過(guò)程中的再生效應(yīng)是引起顫振的主要原因[1-4].一些外部擾動(dòng)或工件表面的一個(gè)斑點(diǎn)即可引起切削力的微小變化, 從而導(dǎo)致動(dòng)力系統(tǒng)的振動(dòng), 振動(dòng)可在工件表面留下波紋狀的切削痕跡， 如圖1所示.波紋狀的表面將影響后續(xù)的切削, 當(dāng)?shù)毒邚墓ぜ砻媲谐∑瑫r(shí), 振動(dòng)導(dǎo)致薄片不平.如果振動(dòng)振幅不斷衰退, 切削過(guò)程即為穩(wěn)定的.但在某種情況下, 振幅會(huì)變大, 同時(shí)產(chǎn)生顫振, 這種現(xiàn)象稱(chēng)為再生型顫振.發(fā)生再生型顫振的系統(tǒng), 通常因時(shí)滯參數(shù)變化導(dǎo)致平衡點(diǎn)失穩(wěn)而引起Hopf分岔.因此, 研究再生型顫振系統(tǒng)離不開(kāi)對(duì)Hopf分岔的研究[5-10].本文主要分析再生顫振系統(tǒng)在不同主軸旋轉(zhuǎn)周期情況下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性, 對(duì)系統(tǒng)失穩(wěn)的過(guò)程進(jìn)行分岔分析及類(lèi)型判定, 對(duì)發(fā)生Hopf分岔的系統(tǒng)設(shè)計(jì)合理的控制器, 從而將系統(tǒng)控制到穩(wěn)定, 并通過(guò)實(shí)際算例和仿真分析驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的實(shí)用性和有效性.

1 再生型顫振系統(tǒng)

Hanna等[11]針對(duì)刀具切削系統(tǒng), 提出了非線性再生型顫振理論, 并建立了單自由度無(wú)量綱形式的振動(dòng)方程

其中:xτ=x(t-τ),x(t)表示切削刀具尖端動(dòng)態(tài)位移,τ表示主軸的旋轉(zhuǎn)周期;ζ是阻尼比;w是切割寬度;α2和α3表示非線性切削力的系數(shù).系統(tǒng)(1)的線性形式為

若式(2)的解形式設(shè)為x(t)=x0eλt, 則式(2)的特征方程為

在復(fù)數(shù)域內(nèi), 令λ=σ+iω, 代入式(3)并分離實(shí)部、虛部得

1+w+2ζσ+σ2-ω2-we-στcos(ωτ)=0, 2(ζ+σ)ω+we-στsin(ωτ)=0.

當(dāng)σ>0時(shí), 隨t的增大x=x0e(σ±iω)t→∞, 系統(tǒng)(1)是不穩(wěn)定的； 當(dāng)σ<0時(shí), 隨t的增大x=x0e(σ±iω)t→0, 系統(tǒng)(1)是穩(wěn)定的； 當(dāng)σ=0時(shí),x=x0e(σ±iω)t被定義為系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定臨界點(diǎn), 即可能發(fā)生Hopf分岔的位置.為了找到該臨界點(diǎn), 可令式(3)中的σ=0, 得到復(fù)特征方程為

將式(4)分離實(shí)部與虛部得

設(shè)臨界點(diǎn)為(σ,τ,ω)=(0,τc,ωc), 此時(shí)系統(tǒng)(1)發(fā)生Hopf分岔, 因?yàn)槭?2)的兩個(gè)復(fù)共軛特征根λ=σ±iω穿過(guò)虛軸.為了說(shuō)明這種情況, 對(duì)式(3)做全微分, 可得λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)形式如下:

進(jìn)而有

此時(shí)系統(tǒng)(1)發(fā)生Hopf分岔.由式(5)可求得

其中:w和ζ均為小于1的正的常數(shù);k=1,2,3,….

2 再生型顫振系統(tǒng)的Hopf分岔類(lèi)型判定

引入新變量Tn=εnt(n=0,1,…), 即T0=t,T1=εt,T2=ε2t, …,ε表示一個(gè)無(wú)量綱的小參數(shù).其關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)定義為

（9）

如果系統(tǒng)(1)的解含有慢尺度變量T1=εt, 則將在O(ε3)處出現(xiàn)永年項(xiàng), 因此其解不應(yīng)含有慢尺度變量, 所以其解可近似表示為

令

其中δ為調(diào)諧參數(shù).將式(10),(11)代入式(1), 并比較方程兩邊ε,ε2和ε3的系數(shù), 可得下列攝動(dòng)方程:

其中xi=xi(T0,T2);xiτ=xi(T0-τ,T2).式(12)的解可寫(xiě)為

將式(15)代入式(13), 解得

將式(15),(16)代入式(14), 為消除永年項(xiàng), 令e±iωcτ的系數(shù)為零, 可得

在復(fù)數(shù)域內(nèi), 令A(yù)(T2)=u(T2)+iv(T2), 則式(17)化為

分離式(18)的實(shí)部、虛部得

其中h(u,v)和g(u,v)為不低于2次的非線性項(xiàng), 表示如下:

求得特征值為λ1,2=-βe±iυe.

當(dāng)βe=0,υe≠0時(shí), 式(22)存在一對(duì)純虛根λ1,2=±iυe, 根據(jù)Hopf分岔定理, 此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔.由于βe和υe是時(shí)滯參數(shù)τ的函數(shù), 因此調(diào)整時(shí)滯參數(shù)τ可控制Hopf分岔發(fā)生, 也將影響Hopf分岔方向和周期解的穩(wěn)定性.應(yīng)用Poincare-Birkhoff范式定理對(duì)系統(tǒng)(1)發(fā)生的Hopf分岔類(lèi)型進(jìn)行判斷, 令

將式(20),(21)代入式(23)得

當(dāng)βe=0,υe≠0時(shí),δ≠0,Q≠0, 所以根據(jù)βe=-2Qδζq2,υe=2Qδζq1有q2=0,q1≠0, 則式(24)變?yōu)?/p>

當(dāng)η<0時(shí), 系統(tǒng)(1)發(fā)生超臨界Hopf分岔, 產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)； 當(dāng)η>0時(shí), 系統(tǒng)(1)發(fā)生亞臨界Hopf分岔, 產(chǎn)生不穩(wěn)定的極限環(huán).

3 數(shù)值仿真

針對(duì)系統(tǒng)(1), 取參數(shù)ζ=0.003 2,w=0.012,α2=1,α3=1,δ=1,ωc=2.011 6.當(dāng)參數(shù)τ∈(0,3.908 8)時(shí), 系統(tǒng)(1)穩(wěn)定, 時(shí)間歷程與相軌跡如圖2所示, 此時(shí)τ=3.780 5; 當(dāng)參數(shù)τ∈(3.908 9,3.910 5)時(shí), 發(fā)生超臨界Hopf分岔, 時(shí)間歷程與相軌跡如圖3所示, 此時(shí)τ=3.908 9,η=-0.036 6; 當(dāng)τ∈(3.910 6,5.468 4)時(shí), 系統(tǒng)發(fā)生亞臨界Hopf分岔, 時(shí)間歷程與相軌跡如圖4所示, 此時(shí)τ=4.778 7,η=1.117 3; 當(dāng)τ∈(5.468 5,5.469 4)時(shí), 系統(tǒng)再次發(fā)生超臨界Hopf分岔(圖略); 當(dāng)參數(shù)τ>5.469 4時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定.

圖2 當(dāng)τ=3.780 5時(shí)穩(wěn)定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況Fig.2 Motion state of stable system for τ=3.780 5

圖3 當(dāng)τ=3.908 9時(shí)發(fā)生超臨界Hopf分岔系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況Fig.3 Movement of system with supercritical Hopf bifurcation for τ=3.908 9

圖4 當(dāng)τ=4.778 7時(shí)發(fā)生亞臨界Hopf分岔系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況Fig.4 Movement of system with subcritical Hopf bifurcation for τ=4.778 7

隨著參數(shù)的變化, 系統(tǒng)(1)會(huì)先由穩(wěn)定到發(fā)生超臨界Hopf分岔, 再發(fā)生亞臨界Hopf分岔, 然后再在某個(gè)參數(shù)的鄰域內(nèi)發(fā)生超臨界Hopf分岔, 最后當(dāng)參數(shù)大于該參數(shù)的鄰域時(shí)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.實(shí)際上, 如果系統(tǒng)(1)發(fā)生Hopf分岔, 則會(huì)使系統(tǒng)失去穩(wěn)定性, 即刀具器械在實(shí)際工作過(guò)程中將遭受?chē)?yán)重?fù)p壞.下面主要針對(duì)τ∈(0,10)區(qū)域, 為系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)合理、有效的控制器, 避免系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔.

4 再生型顫振系統(tǒng)的分岔控制

圖5 刀具振動(dòng)模型Fig.5 Tool vibration models

刀具及其刀具固定器可近似簡(jiǎn)化為一個(gè)單自由度的彈簧系統(tǒng), 其阻尼系數(shù)為C, 彈簧剛性系數(shù)為k, 刀具質(zhì)量為m.實(shí)際的工件切削厚度可由下式給出：

其中:μ表示切削寬度;M的大小與其切削參數(shù)有關(guān), 如切削速度、刀具的幾何形狀和f0大小等.假設(shè)M和μ均為常數(shù), 對(duì)式(28)關(guān)于f在f0處進(jìn)行三階Taylor展開(kāi)并代入方程(27), 對(duì)其進(jìn)行無(wú)量綱化得到具有位移反饋系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

其中:xτ0=x(t-τ0),τ0<τ;α2,α3,a和k0為常數(shù).

取參數(shù)ζ=0.003 2,w=0.012,α2=1,α3=1,k0=2.540 3×10-5,τ0=3.0,a=9.當(dāng)參數(shù)τ∈(0,3.908 8)和τ>5.469 4時(shí), 控制系統(tǒng)(31)穩(wěn)定; 當(dāng)參數(shù)τ∈(3.908 9,3.910 5)時(shí), 原系統(tǒng)發(fā)生超臨界Hopf分岔, 而通過(guò)數(shù)值仿真可驗(yàn)證控制系統(tǒng)(31)同樣穩(wěn)定, 原系統(tǒng)及控制系統(tǒng)的時(shí)間歷程如圖6所示, 此時(shí)τ=3.908 9; 當(dāng)τ∈(3.910 6,5.468 4)時(shí), 原系統(tǒng)發(fā)生亞臨界Hopf分岔, 而通過(guò)數(shù)值仿真可驗(yàn)證控制系統(tǒng)(31)仍然穩(wěn)定, 原系統(tǒng)及控制系統(tǒng)的時(shí)間歷程如圖7所示, 此時(shí)τ=4.778 7; 當(dāng)τ∈(5.468 5,5.469 4)時(shí), 原系統(tǒng)發(fā)生超臨界Hopf分岔, 而通過(guò)數(shù)值仿真可驗(yàn)證控制系統(tǒng)(31)仍然穩(wěn)定(圖略).

圖6 τ=3.908 9時(shí)臨界Hopf分岔的控制Fig.6 Supercritical Hopf bifurcation control for τ=3.908 9

圖7 τ=4.778 7時(shí)亞臨界Hopf分岔的控制Fig.7 Subcritical Hopf bifurcation control for τ=4.778 7

綜上所述, 本文針對(duì)再生切削顫振系統(tǒng), 利用多尺度法結(jié)合Poincare-Birkhoff范式定理, 分析了系統(tǒng)的分岔特性, 并針對(duì)系統(tǒng)發(fā)生的Hopf分岔, 設(shè)計(jì)了非線性延遲控制器, 將原系統(tǒng)發(fā)生的亞臨界Hopf分岔、超臨界Hopf分岔均控制為穩(wěn)定, 并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.

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AnalysisandControlofHopfBifurcationforRegenerativeChatterSystem

LI Pengsong, SHENG Guiquan, MENG Yongyong
(CollegeofSciences,NortheastDianliUniversity,Jilin132012,JilinProvince,China)

We considered a class of retarded one-degree-of-freedom nonlinear system, namely, the regenerative model of chatter in a lathe machine tool.The time-delay influence on the stability of the system solutions was analyzed with the aid of multiple scales.Nonlinear displacement feedback control can be used to suppress the self-sustained oscillation caused by Hopf bifurcation.The results of the theory analysis and numerical simulation show that the designed controller is valid for the cutting chatter system.

subcritical Hopf bifurcation; supercritical Hopf bifurcation; nonlinear control; method of multiple scales

2014-03-03.

李鵬松(1970—), 男, 漢族, 博士, 教授, 從事非線性動(dòng)力系統(tǒng)的研究, E-mail： li-pengsong@163.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)： 11072085)和吉林省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)： 20130101065JC).

O193

A

1671-5489(2014)06-1155-07

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.09

趙立芹)