具脈沖效應(yīng)的非線性時(shí)滯拋物系統(tǒng)的振動(dòng)分析

羅李平, 曾云輝, 羅振國(guó)

(衡陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系, 湖南 衡陽(yáng) 421002)

具脈沖效應(yīng)的非線性時(shí)滯拋物系統(tǒng)的振動(dòng)分析

羅李平, 曾云輝, 羅振國(guó)

(衡陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系, 湖南 衡陽(yáng) 421002)

利用新的處理非線性擴(kuò)散項(xiàng)的技巧及脈沖時(shí)滯微分不等式, 研究一類(lèi)具脈沖效應(yīng)和非線性擴(kuò)散項(xiàng)的時(shí)滯拋物系統(tǒng)在第一類(lèi)邊界條件下的振動(dòng)性, 得到了該類(lèi)系統(tǒng)所有解振動(dòng)的若干新的充分性條件.結(jié)果表明, 系統(tǒng)振動(dòng)是由脈沖和時(shí)滯效應(yīng)引起的.

脈沖效應(yīng); 拋物系統(tǒng); 振動(dòng)性; 非線性擴(kuò)散項(xiàng); 時(shí)滯

0 引 言

脈沖現(xiàn)象在實(shí)際應(yīng)用中普遍存在, 復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)特性和網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中存在脈沖現(xiàn)象, 如Internet網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)那袚Q信號(hào)、節(jié)點(diǎn)之間的連接就具有脈沖特點(diǎn).實(shí)際控制系統(tǒng)中普遍存在時(shí)滯現(xiàn)象, 而時(shí)滯常會(huì)導(dǎo)致控制系統(tǒng)性能的完全改變, 對(duì)于這種現(xiàn)象, 人們常用脈沖偏微分系統(tǒng)描述.脈沖控制因其易于操作及經(jīng)濟(jì)實(shí)用而被廣泛應(yīng)用, 可用于大型空間航天器的減震裝置、衛(wèi)星軌道的轉(zhuǎn)換技術(shù)、機(jī)器人的研制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、混沌控制和保密通訊等.因此, 對(duì)脈沖偏微分系統(tǒng)理論的研究已引起人們廣泛關(guān)注.振動(dòng)性是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的又一特征, 也是對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部特征“恢復(fù)力”的一種刻畫(huà).目前, 對(duì)脈沖偏微分系統(tǒng)解的振動(dòng)性研究已取得了一些結(jié)果[1-9], 但關(guān)于具非線性擴(kuò)散項(xiàng)脈沖偏微分系統(tǒng)解的振動(dòng)性研究報(bào)道較少.

考慮一類(lèi)具脈沖效應(yīng)和非線性擴(kuò)散項(xiàng)的時(shí)滯拋物偏微分系統(tǒng):

及第一類(lèi)邊界條件:

ui=0, (t,x)∈+×?Ω,t≠tk,k∈I∞,i∈Im,(3)

其中:Im={1,2,…,m};I∞={1,2,…};+=[0,∞);Ω?N是具有逐片光滑邊界?Ω的有界區(qū)域; Δ是N中的N維Laplace算子; 0

本文考慮系統(tǒng)(1)-(2)在第一類(lèi)邊界條件(3)下解的振動(dòng)性, 利用積分平均技巧和脈沖時(shí)滯微分不等式, 獲得了判別其所有解振動(dòng)的不需要利用Dirichlet特征值問(wèn)題的若干新的充分性判據(jù).所得結(jié)果充分反映了脈沖量和時(shí)滯量在系統(tǒng)振動(dòng)中的影響作用.

本文對(duì)系統(tǒng)(1)-(2)總假設(shè)下列條件成立:

(H1)τr(t)∈C(+,(0,∞)), 且0<τr(t)<τ,r∈In; 其中:σ是正常數(shù);bk>0為常數(shù);k∈I∞;

(H3)hi(ui),hir(ui)∈C1(,),uih(ui)≥0,uih(ui)≥0,hi(0)=0,hir(0)=0,i∈Im,r∈In.

定義1若對(duì)i∈Im,ui(t,x)滿足下列條件:

3) 對(duì)t≠tk,x∈?Ω,ui(t,x)滿足式(3).

則稱向量函數(shù)u(t,x)=(u1(t,x),u2(t,x),…,um(t,x))T為邊值問(wèn)題(1)-(3)的解.

定義2若數(shù)值函數(shù)ν(t,x):G→最終為正或最終為負(fù), 則稱其為非振動(dòng)的; 反之, 稱其為振動(dòng)的.若向量函數(shù)u(t,x):G→m的每一分量都是非振動(dòng)的, 則稱其為非振動(dòng)的; 若u(t,x)至少有一分量作為數(shù)值函數(shù)是振動(dòng)的, 則稱其為振動(dòng)的.

1 主要結(jié)果

定理1設(shè)存在常數(shù)β>0, 使得tk+1-tk≥β,k∈I∞, 且σ≥β.若

則邊值問(wèn)題(1)-(3)的所有解在區(qū)域G內(nèi)振動(dòng).

證明: 反證法.假設(shè)邊值問(wèn)題(1)-(3)有一個(gè)非振動(dòng)解u(t,x)=(u1(t,x),u2(t,x),…,um(t,x))T, 不失一般性, 設(shè)當(dāng)t≥T>0時(shí), 有|ui(t,x)|>0,i∈Im.令δi=sgnui(t,x), 則yi(t,x)=δiui(t,x)>0, (t,x)∈GT,i∈Im.令T1=T+max{τ,σ}, 則yi(t-τr(t),x)>0,yj(t-σ,x)>0, (t,x)∈GT1,i,j∈Im,r∈In.

(i) 當(dāng)t≥T1,t≠tk,k∈I∞時(shí), 式(1)的第一式兩邊關(guān)于x在Ω上積分, 有

由Green公式、邊值條件(3)及(H3), 有

其中: dS是?Ω上的面積元素;v表示?Ω的單位外法向量.

于是有

(ii) 當(dāng)t≥T1,t=tk,k∈I∞時(shí), 結(jié)合脈沖條件(2)及定義1中的條件1)可得

即

（10）

從而可知V(t)是脈沖時(shí)滯微分不等式(9),(10)的最終正解.由式(9)可知V′(t)≤-Q(t)V(t-σ)≤0,t≥T1,t≠tk.則當(dāng)t≥T1,t≠tk時(shí),V(t)在區(qū)間(tk,tk+1),k∈I∞上非增.對(duì)式(9)從tk到tk+β積分, 并注意到V(t)的非增性, 可得

類(lèi)似定理1的證明可得如下結(jié)論:

定理3設(shè)存在常數(shù)β>0, 使得tk+1-tk≥β,k∈I∞, 且β>σ.若存在常數(shù)b>0, 使得0

則邊值問(wèn)題(1)-(3)的所有解在區(qū)域G內(nèi)振動(dòng).

于是, 由式(13),(14)有

對(duì)充分大的t, 由式(9)可得

又由于

于是, 由式(15),(16)可得

這與條件(12)矛盾.證畢.

注1利用本文的方法可類(lèi)似地討論系統(tǒng)(1)-(2)滿足其他邊值條件(如第三類(lèi)邊界條件

其中β(x)∈C(?Ω,(0,∞)))的所有解的振動(dòng)結(jié)果.此時(shí)只要將假設(shè)條件(H3)改為:

(H3)′hi(ui),hir(ui)∈C1(,+),uih(ui)≥0,uih(ui)≥0,i∈Im,r∈In.

2 應(yīng) 用

例1考慮如下具非線性擴(kuò)散項(xiàng)的脈沖時(shí)滯拋物系統(tǒng):

邊界條件為

[1]羅李平, 羅振國(guó), 曾云輝.基于脈沖控制的非線性時(shí)滯雙曲系統(tǒng)的振動(dòng)分析 [J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 2013, 33(9): 1024-1032.(LUO Liping, LUO Zhenguo, ZENG Yunhui.Oscillation Analysis of Nonlinear Delay Hyperbolic Systems Based on Impulsive Control [J].J Sys Sci & Math Scis, 2013, 33(9): 1024-1032.)

[2]LUO Liping, WANG Yanqun.Oscillation for Nonlinear Hyperbolic Equations with Influence of Impulse and Delay [J].Int J Nonlinear Sci, 2012, 14(1): 60-64.

[3]羅李平, 俞元洪.具擬線性擴(kuò)散系數(shù)的脈沖中立型拋物系統(tǒng)的(強(qiáng))振動(dòng)性 [J].振動(dòng)與沖擊, 2011, 30(8): 183-186.(LUO Liping, YU Yuanhong.(Strong) Oscillation for Systems of Impulsive Neutral Parabolic Equations with Quasilinear Diffusion Coefficient [J].Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(8): 183-186.)

[4]羅李平.具非線性擴(kuò)散系數(shù)的脈沖時(shí)滯雙曲型方程組的振動(dòng)性 [J].自然科學(xué)進(jìn)展, 2008, 18(3): 341-344.(LUO Liping.Oscillation of Systems of Impulsive Delay Hyperbolic Equations with Nonlinear Diffusion Coefficient [J].Progress of Natural Science, 2008, 18(3): 341-344.)

[5]羅李平, 歐陽(yáng)自根.脈沖中立型時(shí)滯拋物偏微分方程組的振動(dòng)準(zhǔn)則 [J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 30(5): 822-830.(LUO Liping, OUYANG Zigen.Oscillation of Systems of Impulsive Neutral Delay Parabolic Equations about Boundary Value Problems [J].Acta Math Appl Sinica, 2007, 30(5): 822-830.)

[6]羅李平, 歐陽(yáng)自根.非線性脈沖中立型時(shí)滯拋物偏微分方程的振動(dòng)性 [J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2007, 45(1): 23-28.(LUO Liping, OUYANG Zigen.Oscillation of Nonlinear Impulsive Neutral Delay Parabolic Partial Differential Equations [J].Journal of Jilin University: Science Edition, 2007, 45(1): 23-28.)

[7]LUO Liping.Oscillation Theorem of Systems of Quasilinear Impulsive Delay Hyperbolic Equations [J].Northeast Math J, 2007, 23(3): 255-262.

[8]ZHANG Yutian, LUO Qi.On the Forced Oscillation of Solutions for Systems of Impulsive Neutral Parabolic Differential Equations with Several Delays [J].J of Math, 2006, 26(3): 272-276.

[9]LI Weinian.On the Forced Oscillation of Solutions for Systems of Impulsive Parabolic Differential Equations with Several Delays [J].J Comput Appl Math, 2005, 181(1): 46-57.

OscillationAnalysisofNonlinearDelayParabolicSystemswithImpulseEffect

LUO Liping, ZENG Yunhui, LUO Zhenguo
(DepartmentofMathematicsandComputationalScience,HengyangNormalUniversity,Hengyang421002,HunanProvince,China)

Using a new technique of treating nonlinear diffusion term and impulsive delay differential inequalities, the authors studied the oscillation problems for a class of delay parabolic systems with impulse effect and nonlinear diffusion term under first boundary condition and some new sufficient conditions are established for the oscillation of all solutions of such systems.The results obtained fully indicate that the system oscillation is caused by the effect of impulse and delay.

impulse effect; parabolic system; oscillation; nonlinear diffusion term; delay

2014-02-20.

羅李平(1964—), 男, 漢族, 教授, 從事脈沖微分系統(tǒng)解性態(tài)的研究, E-mail: luolp3456034@163.com.

湖南省自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào): 13JJ4098)和湖南省“十二五”重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào): 湘教發(fā)[2011]76號(hào)).

O175.26

A

1671-5489(2014)06-1131-05

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.05

趙立芹)