上連續(xù)完備模格的半單性*

牛娟寧,黎奇升

(吉首大學(xué),湖南 吉首 416000)

上連續(xù)完備模格的半單性*

牛娟寧,黎奇升

(吉首大學(xué),湖南 吉首 416000)

對(duì)于上連續(xù)完備模格L,證明了L是局部原子格等價(jià)于1是原子的并,也等價(jià)于1是獨(dú)立原子的并,并進(jìn)一步給出了1可分解為有限個(gè)原子并的若干等價(jià)條件.

完備格;半單性;獨(dú)立子集;緊生成;上連續(xù)

1 獨(dú)立集的基本性質(zhì)

命題1 設(shè)L是上連續(xù)的完備模格，S?L{0}，則S是獨(dú)立的當(dāng)且僅當(dāng)S是弱獨(dú)立的.

證明必要性是顯然的，下證充分性.

引理1 設(shè)L為完備模格，S?L{0}，則S是弱獨(dú)立的當(dāng)且僅當(dāng)S的任意子集是弱獨(dú)立的.

命題2 設(shè)L為上連續(xù)的完備模格，?≠S?L{0}，則S包含極大弱獨(dú)立子集.

命題4 設(shè)L為完備模格,D為L的弱獨(dú)立子集，則對(duì)任意彼此不同的元素ai,bj∈D(i=1,2，…，n;j=1,2，…，m),有

(1)

證明施數(shù)學(xué)歸納法于n.

2 完備模格的直并分解

定義2 設(shè)L為完備格，若1為原子的并，則稱L為半單格.

引理3[3]設(shè)L為上連續(xù)的完備格，則L的原子是緊的.

引理4[3]設(shè)L為模格，a,b∈L,則區(qū)間格[a∧b,a]與區(qū)間格[b,∨b]同構(gòu).

在命題5中令a=0即可得推論2.

推論3 設(shè)L為上連續(xù)的完備模格，若L為半單格，則L是可補(bǔ)的.

作為直接推論，立得如下結(jié)果：

推論4[3]設(shè)L為上連續(xù)的完備模格，若L為局部原子格，則L是可補(bǔ)的.

定理1 設(shè)L為上連續(xù)的完備模格，則有:(ⅰ)L是半單的當(dāng)且僅當(dāng)L是局部原子格；(ⅱ)若L是半單的，則L是緊生成的.

證明(ⅰ)充分性是顯然的，下證必要性.

(ⅱ)因L是上連續(xù)的,由引理3知每一個(gè)原子是緊的,據(jù)(ⅰ)知L是緊生成的.

以下例子說明推論2去掉條件“上連續(xù)”后不再成立，定理1去掉“上連續(xù)”與“模格”2個(gè)條件中的一個(gè)后不再成立.

例1 設(shè)N為正整數(shù)集，令L=N∪{∞}.對(duì)?m,n∈L,定義m≤n當(dāng)且僅當(dāng)n=∞，或m,n∈N并且m整除n,則有:(ⅰ)≤是L上的偏序關(guān)系;(ⅱ)L關(guān)于該偏序關(guān)系作成模格且最大元為∞,最小元為整數(shù)1;(ⅲ)L不是上連續(xù)的格；(ⅳ)n是L的原子當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)；(ⅴ)L是半單的但不是局部原子格;(ⅵ)L不是可補(bǔ)的.

例2 設(shè)L={1,2,4,3,12},對(duì)?m,n∈L，m≤n當(dāng)且僅當(dāng)m整除n，則有:(ⅰ)≤是L上的偏序關(guān)系;(ⅱ)L關(guān)于該偏序關(guān)系作成上連續(xù)的格;(ⅲ)L不是模格;(ⅳ)L是半單的但不是局部原子格.

命題6 設(shè)L為可補(bǔ)的完備模格，0≠a∈L，若a是緊元素的并，則存在原子c0≤a.

設(shè)x∈L,且x

命題6的證明蘊(yùn)含了如下結(jié)論：

推論5 設(shè)L為可補(bǔ)的完備模格，0≠a∈L為緊元素的并，則區(qū)間格[0,a]有極大元.

定理2 設(shè)L是完備模格,則以下幾條等價(jià)：(ⅰ)L是上連續(xù)的半單格；(ⅱ)L是上連續(xù)的且1是獨(dú)立原子集的并；(ⅲ)L是上連續(xù)的且L是局部原子格；(ⅳ)L是緊生成且可補(bǔ)的；(ⅴ)L是緊生成的局部原子格.

證明據(jù)推論2知(ⅰ)?(ⅱ).據(jù)定理1有(ⅰ)?(ⅲ)，且(ⅲ)?(ⅴ)成立.因緊生成的格是上連續(xù)的，據(jù)命題5知，(ⅴ)?(ⅳ)成立.

命題7 設(shè)L為完備模格，a∈L.(ⅰ)若a是緊的，則a是有限生成的；(ⅱ)若L是上連續(xù)的，a是有限生成的，則a是緊的.

(ⅱ)見文獻(xiàn)[6]定理2.

命題8 設(shè)L為上連續(xù)的完備模格.若L是緊致的和可補(bǔ)的,則L是半單的,且1是有限個(gè)獨(dú)立原子的并.

定理3 設(shè)L為上連續(xù)的完備模格,則以下幾條等價(jià)：(ⅰ)1是有限個(gè)原子的并；(ⅱ)1是有限個(gè)獨(dú)立原子的并；(ⅲ)L是緊致的并且是可補(bǔ)的;(ⅳ)L是可補(bǔ)的且1是有限生成的；(ⅴ)L是緊致的并且不含真的本質(zhì)元；(ⅵ)L不含真的本質(zhì)元且1是有限生成的；(ⅶ)L每一個(gè)非零元是有限個(gè)原子的并；(ⅷ)L每一個(gè)非零元是有限個(gè)獨(dú)立原子的并.

證明由推論2知(ⅰ)?(ⅱ)成立.由命題7知(ⅲ)?(ⅳ)與(ⅴ)?(ⅵ).(ⅲ)?(ⅴ)顯然成立.

(ⅲ)?(ⅰ).格L為緊致上連續(xù)有補(bǔ)的完備模格，根據(jù)命題8知L是半單的,且1是有限個(gè)原子的并.

仿定理1(ⅰ)的證明知(ⅱ)?(ⅷ).?0≠a∈L，應(yīng)用推論2于子格[0,a]可知，(ⅶ)?(ⅷ)成立.

由文獻(xiàn)[3]，格L稱為Noether的，如果L的任意非空子集有極大元.不難驗(yàn)證Noether格是上連續(xù)的且每個(gè)元素是有限生成的，于是有下面的推論：

推論6 設(shè)L為Noether完備模格，則以下幾條等價(jià)：(ⅰ)1是有限個(gè)原子的并；(ⅱ)1是有限個(gè)獨(dú)立原子的并；(ⅲ)L每一個(gè)非零元是有限個(gè)原子的并；(ⅳ)L每一個(gè)非零元是有限個(gè)獨(dú)立原子的并；(ⅴ)L是可補(bǔ)的；(ⅵ)L不含真的本質(zhì)元.

注2 因格L具有有限長度當(dāng)且僅當(dāng)L既是Neother的又是Artin的，故由推論6可立得文獻(xiàn)[4]的主要結(jié)果.

[1] ANDERSON F W,FULLER K R.Rings and Categories of Modules[M].Berlin Heidelberg,New York:Springer Verlag,1974.

[2] 劉紹學(xué).環(huán)與代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[3] BO STENST M.Rings of Quotients[M].Berlin Heidelberg,New York:Springer Verlag,1975.

[4] 張 霞,陳裕群.模格與半單代數(shù)[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004(2):20-25.

[5] GRATZER G.General Lattice Theory[M]//Pure and Applied Math. Series.New York:Academic Press,1978.

[6] 庹 清,羅慧明.關(guān)于具有0,1元素的格[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1999,20(1):34-36.

(責(zé)任編輯 向陽潔)

SemisimplicityforUpperContinuousandCompleteModularLattices

NIU Juanning,LI Qisheng

(College of Mathematics and Statics,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

It is proved that for an upper continuous and complete modular latticeL,Lis locally atomic if and only if 1 is a join of atoms,and if and only if 1 is a join of independent atoms.Moreover,some conditions under which 1 can be expressed as a join of finite atoms are given.

complete lattice;semi-simplicity;independent set;compactly generated;upper continuous

1007-2985(2014)05-0013-05

2014-04-15

湖南省研究生創(chuàng)新科研基金資助項(xiàng)目(CX2014B434)；吉首大學(xué)校級(jí)課題資助項(xiàng)目(14JDY049)

牛娟寧(1987—),女,陜西寶雞人,吉首大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，主要從事同調(diào)代數(shù)研究;黎奇升(1964-),男,湖南張家界人,吉首大學(xué)教授，博士,主要從事同調(diào)代數(shù)與K-理論研究.

O153.1

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.05.004