非中心元的共軛類較少的有限群*1

李美艷，游興中

(長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 長沙 410004)

非中心元的共軛類較少的有限群*1

李美艷，游興中

(長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南 長沙 410004)

研究了有限群的非中心元的共軛類對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響,給出了至多有4個(gè)非中心的共軛類的有限群分類.

有限群；共軛類；Frobenius群

有限群共軛類個(gè)數(shù)對(duì)群結(jié)構(gòu)影響的問題已得到廣泛研究.例如,文獻(xiàn)[1]在早期刻畫了共軛類個(gè)數(shù)不大于5的有限群的分類,后來文獻(xiàn)[2-5]在此基礎(chǔ)上，刻畫了共軛類個(gè)數(shù)不大于14的有限群的結(jié)構(gòu).因?yàn)橛邢奕旱闹行脑荒芘c自身共軛,所以每一個(gè)中心元是一個(gè)類,于是自然地出現(xiàn)一個(gè)問題：僅考慮非中心元的共軛類的個(gè)數(shù),能否對(duì)有限群的結(jié)構(gòu)給出一些刻畫?筆者給出非中心的共軛類的個(gè)數(shù)不大于4的有限群分類.

文中令G為有限群,Z(G)為G的中心,Cn表示n階的循環(huán)群;對(duì)x∈G,o(x)表示x的階;xG表示G的含x的共軛類;若A?G,kG(A)表示G的與A的交非空的共軛類的個(gè)數(shù),則kG(G-Z(G))為G的非中心元的共軛類的個(gè)數(shù).當(dāng)A=G時(shí),記kG(A)=k(G);令N×fH表示以N為核、H為補(bǔ)的Frobenius群.其他的記號(hào)和術(shù)語都是標(biāo)準(zhǔn)的.

1 相關(guān)引理

引理1[1]設(shè)G為有限群,k(G)為G的共軛類的個(gè)數(shù)，則：

(ⅰ) 若k(G)=1,2,則G?1或C2;

(ⅱ) 若k(G)=3,則G?C3或S3;

(ⅲ) 若k(G)=4,則G?C4,C2×C2,D10或A4;

(ⅳ) 若k(G)=5,則G?C5,D8,Q8,D14,A5,C7×fC3,C5×fC4或S4.

引理2[6]設(shè)G為有限群,N為G的正規(guī)子群,H為G的子群且滿足G=HN和H∩N=1，則下列一些說法等價(jià)：

(ⅰ)G=N×fH;

(ⅱ)CG(n)≤N對(duì)所有1≠n∈N;

(ⅲ)CG(h)≤H對(duì)所有1≠h∈H.

引理4 若G為有限非交換群,N為G的正規(guī)群,則kG(G-N)=1當(dāng)且僅當(dāng)G是以N為核的Frobenius群，且|N|=|G|/2.

證明若kG(G-N)=1,令G-N=xG,因?yàn)閗G/N(G/N-N/N)≤kG(G-N),所以k(G/N)=2，從而|G/N|=2且kG/N(G/N-N/N)=kG(G-N)=1.由引理3(ⅱ)得|CG(x)|=|CG/N(xN)|=2,于是CG(n)≤N對(duì)任意1≠n∈N.由引理2(ⅱ)得G是以N為核的Frobenius群.

若G是以N為核的Frobenius群且|N|=|G|/2,令H為G的Frobenius補(bǔ),由引理2(ⅲ)可得CG(y)≤H對(duì)任意1≠y∈H.于是|CG(y)|=2且|yG|=|G:CG(y)|=|G|/2=|yN|，從而yG=yN,kG(G-N)=1.

引理5 若有限群G有一個(gè)元素x∈G使得|CG(x)|=4，令P∈Syl2(G),則或者|P|=4或者P為二面體群、半二面體群或廣義四元數(shù)群.特別地,|P/P′|=4且P有一個(gè)階為|P|/2的循環(huán)子群.

證明設(shè)P∈Syl2(G),由|CG(x)|=4可以假定CG(x)≤P,于是CG(x)=CG(x)∩P=CP(x),因此|CP(x)|=4.若P交換,則顯然有|P|=|CP(x)|=4;若P不交換,則4||P/P′|.但|CP(x)|=|P/P′|+Σχ∈Irr(P|P′)|χ(x)|2,因此Σχ∈Irr(P|P′)|χ(x)|2=0且|P/P′|=4.從而由文獻(xiàn)[7]的第3章定理11.9得引理5成立.

引理6 設(shè)G為有限群,Z(G)為G的中心,x∈G-Z(G),有：

(ⅰ) 若G/Z(G)為循環(huán)群,則G為交換群;

(ⅱ) 若|CG(x)|=p,其中p為素?cái)?shù),則Z(G)=1.

證明(ⅰ) 因?yàn)镚/Z(G)為循環(huán)群,所以G/Z(G)=xZ(G)對(duì)某個(gè)x∈G,因此G=x,Z(G)為交換群.

(ⅱ) 對(duì)任意x∈G-Z(G),顯然有Z(G)≤CG(x),于是|Z(G)|||CG(x)|.若|CG(x)|為素?cái)?shù)p,則|Z(G)|=1或p.若|Z(G)|=p,則CG(x)=Z(G),于是x∈Z(G),矛盾,故|Z(G)|=1,從而Z(G)=1.

引理7 若G為非交換的有限群且kG(G-Z(G))=4,則G/Z(G)為非交換群.

2 定理及其證明

定理1 若G為有限非交換群,則kG(G-Z(G))≥2,其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G?S3.

定理2 若G為有限非交換群,則kG(G-Z(G))=3當(dāng)且僅當(dāng)G?A4,D10,Q8或D8.

證明充分性是顯然的,只需證必要性.

定理3 若G為有限非交換群,則kG(G-Z(G))=4當(dāng)且僅當(dāng)G同構(gòu)于下列情形之一的群：A5,D12,Q12,D14,C7×fC3,C5×fC4或S4.

若kG(G-K)=1,由引理4,G是以K為核的Frobenius群且|G/K|=2，于是Z(G)=1,G?S3.但此時(shí)kG(G-Z(G))=2,矛盾.

若kG(G-K)=2,可設(shè)G-K=wG∪xG且K-Z(G)=yG∪zG,于是|wG|+|xG|=|G-K|=|G|/2,|yG|+|zG|=|G|/3,計(jì)算得|CG(w)|=|CG(x)|=4,|CG(y)|=|CG(z)|=6.因?yàn)閨Z(G)|||CG(w)|,|Z(G)|||CG(y)|,所以|Z(G)|=2,|G|=12,因此G?D12或Q12.

若kG(G-K)=3,可設(shè)G-K=wG∪xG∪yG且K-Z(G)=zG,則|K-Z(G)|=|zG|,計(jì)算得|CG(z)|=3,由引理6(ⅱ)得|Z(G)|=1,于是G?S3,矛盾.

[1] HUPPERT B.Character Theory of Finite Groups[M].Berlin New York:Walter De Gruyter,1998.

[2] POLAND J.Finite Groups with a Given Number of Conjugate Classes[J].Canad. J. Math.,1969,20:456-464.

[6] ISAACS I M.Character Theory of Finite Groups[M].New York:Academic Press,1976.

[7] HUPPERT B.Endlich Gruppen I[M].Berlian:Springer Verlag,1997.

(責(zé)任編輯 向陽潔)

FiniteGroupswithFewNoncenteralConjugacyClasses

LI Meiyan,YOU Xingzhong

(College of Mathematics and Computing Science,Changsha University of Science and Technology,Changsha 410004,China)

How the non central conjugacy classes of a finite group influence its structure is investigated and the finite groups with at most four non central conjugacy classes are classified.

finite group;conjugacy class;Frobenius group

1007-2985(2014)04-0013-04

2014-01-02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371072)

李美艷(1989-),女,湖南永興人,長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院研究生,主要從事群論研究

游興中(1968-)，男，湖南桃源人，長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授，博士，主要從事群論研究.

O152.1

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.04.003