含間隙曲柄滑塊系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的隨機(jī)性分析

趙 寬, 陳建軍, 曹鴻鈞, 云永琥

(西安電子科技大學(xué) 電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710071)

在機(jī)構(gòu)多體系統(tǒng)中，由于裝配誤差、摩擦磨損以及機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的需要，運(yùn)動(dòng)副間隙是不可避免的，這將導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)與理想運(yùn)動(dòng)之間出現(xiàn)偏差，且在運(yùn)動(dòng)過程中運(yùn)動(dòng)副會(huì)因間隙的存在出現(xiàn)瞬間失去接觸，待再接觸時(shí)將產(chǎn)生碰撞，從而引起振動(dòng)、產(chǎn)生噪音、加速磨損，甚至?xí)?yán)重影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，降低系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度、穩(wěn)定性、可靠性以及使用壽命[1]。另一方面，由于制造、裝配、摩擦、沖擊、溫變等因素，將使包含間隙在內(nèi)的機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的幾何參數(shù)和物理參數(shù)都具有一定的隨機(jī)性，綜合考慮這些隨機(jī)因素下的系統(tǒng)響應(yīng)，將使分析結(jié)果更接近工程實(shí)際，同時(shí)也為含間隙系統(tǒng)的可靠性分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

目前，國內(nèi)外對(duì)關(guān)節(jié)間隙所帶來的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象以及優(yōu)化、控制等方面開展了許多研究工作。文獻(xiàn)[2]分別對(duì)含間隙鉸和潤(rùn)滑鉸的機(jī)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)研究，數(shù)值仿真表明接觸碰撞力對(duì)含間隙鉸系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性有較大的影響，而潤(rùn)滑鉸和理想鉸的性能十分接近。文獻(xiàn)[3]分別對(duì)含間隙和潤(rùn)滑球鉸的空間柔性多體系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。文獻(xiàn)[4]利用遺傳算法對(duì)含間隙鉸的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)角進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[5]基于Pyragas方法對(duì)含間隙鉸的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。但在以上文獻(xiàn)的模型中是將所有參數(shù)和作用載荷均視為確定性量或參數(shù)，而實(shí)際上在隨機(jī)因素的作用下這些參數(shù)的取值可能呈現(xiàn)出某種程度的隨機(jī)性。對(duì)含有間隙的精密機(jī)械系統(tǒng)，參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響是不容忽視的。文獻(xiàn)[6-7]對(duì)無間隙的不確定參數(shù)彈性連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了分析。然而，對(duì)于含有間隙和摩擦的隨機(jī)參數(shù)多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析研究卻鮮有報(bào)道。

本文基于以上研究成果，建立了含間隙和摩擦的曲柄滑塊系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)綜合考慮系統(tǒng)物理參數(shù)和幾何參數(shù)的隨機(jī)性，利用BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)逼近能力，建立起系統(tǒng)基本隨機(jī)變量和系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)間的映射關(guān)系，利用矩法獲得了各響應(yīng)量的均值和均方差隨時(shí)間的變化規(guī)律，考察了系統(tǒng)各隨機(jī)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響，并通過Monte-Carlo(MC)模擬法對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，得出了一些有意義的結(jié)論。

1 曲柄滑塊系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性分析

圖1為曲柄滑塊系統(tǒng)理想模型的示意圖，曲柄AB和連桿BC的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1和L2，曲柄以角速度ω繞支點(diǎn)A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則滑塊的位移xC可表為：

(1)

圖1 曲柄滑塊系統(tǒng)

設(shè)幾何參數(shù)L1和L2為相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，對(duì)上式利用矩法[8]可求得滑塊C在任意時(shí)刻位移xC的均值μC和均方差σC分別為：

(2)

(3)

式中，μL1和μL2分別為L(zhǎng)1和L2的均值，σL1和σL2分別為L(zhǎng)1和L2的均方差。

將式(1)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，同理可求出滑塊C的速度和加速度的均值和均方差。

2 含間隙曲柄滑塊系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模

2.1 間隙旋轉(zhuǎn)鉸模型

由于旋轉(zhuǎn)鉸間隙的存在，使得系統(tǒng)成為變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)，一種是不含約束的自由運(yùn)動(dòng)；另一種是具有單邊約束的運(yùn)動(dòng)。目前處理鉸間隙問題主要有三種模型，一是無質(zhì)量剛性桿模型，該模型無法考慮接觸時(shí)的沖擊效應(yīng)，難以描述運(yùn)動(dòng)副間的動(dòng)力特性以及碰撞對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響；二是等效彈簧阻尼模型，該模型難以描述碰撞過程中能量轉(zhuǎn)移的物理本質(zhì)。為此，本文采用了第三種模型，將間隙鉸視為兩個(gè)彈性碰撞體，即圖2所示的旋轉(zhuǎn)鉸模型，設(shè)軸承和軸頸的半徑分別為rB和rJ，中心距為r，則間隙大小為：

rc=rB-rJ

(4)

軸承和軸頸接觸點(diǎn)的法向穿透深度為：

δBJ=r-rc

(5)

圖2 間隙旋轉(zhuǎn)鉸

目前，對(duì)于描述鉸間隙處碰撞接觸過程中力與位移之間的關(guān)系，最常用的有Hertz接觸力模型和Lankarani與Nikravesh提出的連續(xù)接觸力模型，前者是一種純彈性碰撞模型，不考慮碰撞過程中的能量損失，主要用于早期的碰撞問題；后者不僅考慮碰撞接觸速度、構(gòu)件的材料屬性以及碰撞體的幾何特性等因素，而且有利于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的穩(wěn)定求解，因此得到了廣泛的應(yīng)用。故本文采用了后者，則軸承和軸頸法向接觸力Fn可表為[9]：

(6)

(7)

當(dāng)兩間隙物體接觸后，由于切向摩擦力的作用會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)或粘滯，進(jìn)一步影響到整個(gè)間隙系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)，因此有必要考慮摩擦力對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響。對(duì)鉸間隙碰撞接觸處采用了Ambrosio提出的Coulomb摩擦模型，切向摩擦力的表達(dá)式為[11]：

(8)

式中，cd為動(dòng)態(tài)修正系數(shù)；cf為動(dòng)摩擦因數(shù)；vT為相對(duì)切向速度。

2.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

(9)

該方程綜合了旋轉(zhuǎn)間隙鉸脫離接觸自由運(yùn)動(dòng)和接觸碰撞兩個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)模式，有利于實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的動(dòng)力學(xué)仿真。

3 含間隙曲柄滑塊系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的隨機(jī)性分析

方程(9)為確定性系統(tǒng)的分析模型?，F(xiàn)考慮系統(tǒng)具有隨機(jī)性的情況，假設(shè)含間隙曲柄滑塊系統(tǒng)中共有m0個(gè)相互獨(dú)立的服從正態(tài)分布的隨機(jī)參數(shù)，將這些隨機(jī)參數(shù)代入式(9)中，則系統(tǒng)模型成為含隨機(jī)參數(shù)的不確定性模型。由于含間隙的曲柄滑塊是一個(gè)變結(jié)構(gòu)、含碰撞、非定常、且非線性很強(qiáng)的系統(tǒng)，利用傳統(tǒng)的算法難以對(duì)其進(jìn)行隨機(jī)性分析，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法較多項(xiàng)式響應(yīng)面法具有更高的穩(wěn)定性和更好的精度[13]，因此，本文利用該方法獲得系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)和動(dòng)力響應(yīng)的近似函數(shù)關(guān)系式以及系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)對(duì)各隨機(jī)參數(shù)的靈敏度，然后應(yīng)用矩法對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行隨機(jī)性分析。

3.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法

(10)

(11)

(12)

式中fi(·)(i=1,2)為傳遞函數(shù)。

3.2 系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的隨機(jī)性分析

(13)

式中Y(X)=[y1(X),y2(X),…,ym3(X)]。

由于系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的隨機(jī)性分析中需要系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，即系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)對(duì)各隨機(jī)參數(shù)的靈敏度，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得：

(14)

其中yl(l=1,2,…,m3)表示第l個(gè)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)，由矩法可得yl的均值和均方差分別為：

μyl=yl(μX)

(15)

(16)

綜合以上分析過程，給出利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)含間隙和摩擦的曲柄滑塊系統(tǒng)隨機(jī)性分析的具體步驟如下：

(1) 選取廣義坐標(biāo)，建立式(9)所示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，具體建模和編程過程可參考文獻(xiàn)[12]和[14];

(2) 確定系統(tǒng)隨機(jī)輸入?yún)?shù)的分布類型，隨機(jī)抽取50組輸入?yún)?shù)，采用自適應(yīng)4階龍哥庫塔算法求出與輸入隨機(jī)參數(shù)X相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)Y；

(3) 以數(shù)據(jù){X,Y}為學(xué)習(xí)訓(xùn)練樣本，利用Levenberg-Marquardt法[7]對(duì)圖3所示的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，得到系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的近似表達(dá)式，再由式(14)得到系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)對(duì)各隨機(jī)參數(shù)的靈敏度；

(4) 利用式(15)和(16)求出系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的均值和均方差。

4 數(shù)值算例

圖4 含間隙的曲柄滑塊系統(tǒng)

考慮間隙和摩擦的隨機(jī)參數(shù)曲柄滑塊系統(tǒng)如圖4所示，其中點(diǎn)A、B兩處為理想鉸，點(diǎn)C處為間隙鉸。曲柄以轉(zhuǎn)速150 r/min定軸旋轉(zhuǎn)，滑塊的質(zhì)量為0.14 kg，取軸承和軸頸碰撞過程中的能量恢復(fù)系數(shù)ce為0.95?，F(xiàn)考慮系統(tǒng)中曲柄和連桿的兩者的彈性模量E、長(zhǎng)度Li(i=1,2)、質(zhì)量mi(i=1,2)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ii(i=1,2)，以及軸承和軸頸的半徑rB和rJ、軸承和軸頸的滑動(dòng)摩擦系數(shù)cf等均為相互獨(dú)立的正態(tài)分布隨機(jī)參數(shù)，它們的均值見表1。借助Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱編制程序，選取步長(zhǎng)為10-6s，針對(duì)無間隙和摩擦的理想模型及含間隙和摩擦的間隙模型兩種情況，對(duì)一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的隨機(jī)性進(jìn)行分析，并將計(jì)算結(jié)果以時(shí)間歷程圖的方式給出。

表1 系統(tǒng)構(gòu)件尺寸及物理參數(shù)的均值

圖5、圖6分別給出了理想模型和考慮間隙的確定性模型其滑塊速度響應(yīng)和加速度響應(yīng)的時(shí)間歷程圖。圖7、圖9給出了系統(tǒng)各參數(shù)的變異系數(shù)均取0.01時(shí)滑塊速度均值和加速度均值在隨機(jī)參數(shù)理想模型和含間隙模型中隨時(shí)間變化的對(duì)比曲線。圖8、圖10給出了系統(tǒng)各隨機(jī)參數(shù)的變異系數(shù)均取0.01時(shí)滑塊速度均方差和加速度均方差在隨機(jī)參數(shù)理想模型和含間隙模型中隨時(shí)間變化的對(duì)比曲線。從這些圖中顯見：① 在確定性理想模型中，滑塊的速度和加速度響應(yīng)是平滑的，而間隙模型中則有較大的波動(dòng)，原因是在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中，由于鉸間間隙和摩擦的存在，使得軸承和軸頸間發(fā)生從不接觸到接觸碰撞、再到不接觸的連續(xù)循環(huán)狀態(tài)，這與文獻(xiàn)[5]的計(jì)算結(jié)果相近，說明計(jì)算結(jié)果的正確性；② 滑塊速度和加速度的均值出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，這是由系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性使得間隙處接觸碰撞的時(shí)間發(fā)生微小改變而引起的；③ 與不考慮間隙和摩擦的隨機(jī)理想模型相比，含間隙模型中滑塊速度和加速度的均方差偏大，這有可能造成整個(gè)系統(tǒng)的功能失效或破壞，因此有必要就各隨機(jī)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響進(jìn)行分析，從中找出關(guān)鍵參數(shù)以提高系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)功能的可靠性。

為了考察各隨機(jī)參數(shù)的分散性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響，表2列出了在0.01 s時(shí)刻所有隨機(jī)參數(shù)的變異系數(shù)vall均取0(確定性模型)和0.01，以及同種類隨機(jī)參數(shù)的變異系數(shù)取0.01，而其余為0時(shí)滑塊位移、速度和加速度均值和均方差的計(jì)算結(jié)果，表中第4行為Monte-Carlo(MC)法模擬1 000次的結(jié)果。對(duì)表中結(jié)果分析可見：① 本文方法的結(jié)果與MC法模擬的結(jié)果兩者吻合較好，表明該方法的可行性； ② 與確定性模型相比，隨機(jī)模型中參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)滑塊位移和速度的影響不大，但對(duì)加速度的影響較大；③ 在諸隨機(jī)參數(shù)中，彈性模量對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)隨機(jī)性的影響最小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量次之，而間隙的影響最大。

圖5 滑塊速度的響應(yīng)時(shí)程

圖8 滑塊速度均方差的時(shí)間歷程圖

表2 不同隨機(jī)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)數(shù)字特征的影響

5 結(jié) 論

文中在考慮鉸間摩擦以及系統(tǒng)參數(shù)具有隨機(jī)性的情況下，對(duì)含間隙的曲柄滑塊系統(tǒng)其動(dòng)力響應(yīng)問題進(jìn)行了分析。建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法拓展應(yīng)用于含間隙及摩擦的曲柄滑塊系統(tǒng)的隨機(jī)性分析中，通過算例驗(yàn)證了文中模型和方法的合理性和正確性，并得出以下結(jié)論：① 通過與MC法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比表明，本文方法可行且具有一定的精度；② 系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性將有可能增強(qiáng)系統(tǒng)間隙處的碰撞，使系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的分散性增大；③ 系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)含間隙系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響不容忽略，其中間隙的隨機(jī)性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分散性的影響最大。故欲提高系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能，應(yīng)首先降低該參數(shù)的分散性。

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