粘滯阻尼減震結(jié)構(gòu)最優(yōu)極點(diǎn)配置與隨機(jī)振動(dòng)分析

杜永峰, 李春鋒, 李 慧

(1．蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，蘭州 730050；2．河西學(xué)院 土木工程學(xué)院, 甘肅 張掖 734000；3．西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，蘭州 730050)

粘滯阻尼器僅提高結(jié)構(gòu)的阻尼而不改變剛度，具有在較寬頻域范圍內(nèi)保持粘滯線性反應(yīng)、環(huán)境溫度不敏感、產(chǎn)生的阻尼力與位移異相、較好的可靠性和耐久性等特點(diǎn)，在土木工程結(jié)構(gòu)減震控制設(shè)計(jì)與研究中得到了廣泛的應(yīng)用[2-7]。

鑒于建筑結(jié)構(gòu)減震控制分析的多目標(biāo)性，使得極點(diǎn)配置算法在結(jié)構(gòu)減震控制設(shè)計(jì)與應(yīng)用中的使用受到了一定程度的限制，文獻(xiàn)[1]針對(duì)結(jié)構(gòu)減震控制的多目標(biāo)性，在考慮外界擾動(dòng)的情況下對(duì)多目標(biāo)情形下極點(diǎn)最優(yōu)配置唯一性實(shí)現(xiàn)問(wèn)題進(jìn)行了研究，較好的處理了這一局限性，為該算法在土木工程行業(yè)的應(yīng)用提供了一些幫助。然而文獻(xiàn)[1]所得的控制力矩陣在物理意義上同LQR算法均表現(xiàn)出了控制力剛度不為零的現(xiàn)象，當(dāng)結(jié)構(gòu)減震控制使用粘滯阻尼器時(shí)，使得該算法的應(yīng)用受到了限制。為克服文獻(xiàn)[1]的不足，本文提出基于粘滯阻尼減震結(jié)構(gòu)最優(yōu)極點(diǎn)配置算法，以補(bǔ)充文獻(xiàn)[1]算法的不足。

此外，由于結(jié)構(gòu)減震控制中地震作用的不確定性，利用隨機(jī)振動(dòng)理論構(gòu)造隨機(jī)激勵(lì)，并結(jié)合現(xiàn)有算法對(duì)最優(yōu)極點(diǎn)配置前后粘滯阻尼減震結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析，以此證明所提供最優(yōu)極點(diǎn)配置算法的有效性與正確性，為實(shí)際工程的應(yīng)用與相關(guān)科學(xué)研究提供一些幫助。

1 粘滯阻尼減震結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型建立

1.1 線性震動(dòng)微分方程的建立

地震下線性結(jié)構(gòu)震動(dòng)受控系統(tǒng)的微分方程為：

(1)

1.3 非線性震動(dòng)微分方程建立及等效線性化

建筑結(jié)構(gòu)在強(qiáng)震作用下處于彈塑性狀態(tài)，表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性特性，其形式主要表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)阻尼項(xiàng)和剛度項(xiàng)或兩者的組合，依據(jù)本文討論，建立非線性震動(dòng)微分方方程：

(2)

(3)

其中：vi為第i層的層間相對(duì)位移，vi=xi-xi-1，zi為第i層滯回位移，ki為第i層屈服前剛度，αi為第i層屈服后剛度與屈服前剛度之比，Ai,βi,γi,ni為滯回曲線的參數(shù)。

由此，可寫(xiě)出系統(tǒng)等效線性方程：

(4)

(5)

式中，[Ke]為彈性剛度矩陣，為αi與層剪切剛度乘積的矩陣轉(zhuǎn)換，[Kh]為滯遲剛度矩陣，為(1-αi)與層剪切剛度乘積矩陣轉(zhuǎn)換，實(shí)際計(jì)算時(shí)需特別注意X，V區(qū)別，[Ceqx]表達(dá)形式詳見(jiàn)文獻(xiàn)[8-9]。其中，[Ceqv]=diag([ceqi])，[Keq]=diag([keqi])，結(jié)構(gòu)為混凝土結(jié)構(gòu)時(shí)[10]，可取Ai=1，ni=2，γi=-0.5(1-αi)/xy,xy為屈服強(qiáng)度與屈服前剛度比值，βi=-3γi。

(6)

1.3 結(jié)構(gòu)減震控制系統(tǒng)狀態(tài)方程

(7)

[A]為狀態(tài)矩陣，[D]為輸入矩陣，[C0]為單位陣，線性系統(tǒng)時(shí)自由度為2n,非線性系統(tǒng)時(shí)自由度數(shù)為3n。具體為：

當(dāng)系統(tǒng)為線性系統(tǒng)時(shí)：

(8a)

當(dāng)系統(tǒng)為彈塑形形態(tài)時(shí)：

(8b)

粘滯阻尼器可看作一種無(wú)剛度速度相關(guān)型阻尼器，依據(jù)能量相等原理進(jìn)行等效線性化后的力學(xué)模型可表示為：

(9)

式(7)中，[G]=[0,Cd]為控制力反饋增益矩陣，其中[Cd]為等效粘滯阻尼系數(shù)矩陣。此處可與文獻(xiàn)[1]對(duì)比發(fā)現(xiàn)：在粘滯阻尼控制下，結(jié)構(gòu)剛度部分的矩陣系數(shù)全為0，這為進(jìn)行振動(dòng)控制算法研究提出了一些要求。

1.4 結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)矩陣

由于傳遞函數(shù)矩陣是系統(tǒng)輸入輸出的描述，依據(jù)傳遞函數(shù)矩陣的不變性，在進(jìn)行控制系統(tǒng)的零極點(diǎn)配置時(shí)有必要對(duì)地震下建筑結(jié)構(gòu)震動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣進(jìn)行詳細(xì)討論。

(1) 地震下結(jié)構(gòu)震動(dòng)系統(tǒng)的輸入輸出模型

零初始條件下的未控系統(tǒng)輸出輸入關(guān)系可表示為：

{Y(s)}=[T(s)]{Xg(s)}=

[C0](s[I]-[A])-1[D]{Xg(s)}

(10)

式中，T(s)為未控系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣，當(dāng)輸入地震擾動(dòng)矩陣為一維向量時(shí)，具體可寫(xiě)為：

[T(s)]=[C0](s[I]-[A])-1[D]=

[g1,1(s)g2,1(s) …gq,1(s)]T

(11)

零初始條件下的受控系統(tǒng)輸出輸入關(guān)系可表示為：

{Y(s)}=[Tc(s)]{Xg(s)}=

[C0](s[I]-[A]+[B][G])-1[D]{Xg(s)}

(12)

(2) 傳遞函數(shù)矩陣討論

為討論零極點(diǎn)位置變化對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制系統(tǒng)的影響，以非控結(jié)構(gòu)震動(dòng)控制系統(tǒng)為例，將微分方程右端地震輸入前負(fù)號(hào)并入地震波中，從而在地震作用作用下，傳遞函數(shù)矩陣為對(duì)角矩陣，其位移傳遞函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程中如下：

(13)

(14)

地震作用下結(jié)構(gòu)的位移傳遞函數(shù)為：

(15)

其中，D1=m1s2+(c1+c2)s+(k1+k2)

Di=mis2+(ci+ci+1)s+(ki+ki+1)，(2≤i≤n-1)

Dn=mns2+cns+kn，Ni=cis+ki,(2≤i≤n)

上面各式中，mi，ci，ki為各樓層的層質(zhì)量、層阻尼系數(shù)和層剛度。

此外，當(dāng)結(jié)構(gòu)體系的阻尼為瑞利阻尼[C]=a[M]+b[K]時(shí)，則有：

D1=m1s2+cR1s+(k1+k2),

cR1=αm1+β(k1+k2)

Di=mis2+cRis+(ki+ki+1)，

cRi=αmi+β(ki+ki+1)

Dn=mns2+cRns+kn，

cRn=αmn+βkn

Ni=βki(s+1), (2≤i≤n-1),

Nn=βkn(s+1)

從上面的推導(dǎo)可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)中施加粘滯阻尼控制器時(shí)，粘滯阻尼系數(shù)的增加將使結(jié)構(gòu)的零極點(diǎn)發(fā)生很大的變化，結(jié)構(gòu)的輸入輸出與結(jié)構(gòu)零極點(diǎn)位置間存在較大依賴(lài)關(guān)系，為使結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)盡可能減小，進(jìn)行最優(yōu)極點(diǎn)配置是使其減小的一種內(nèi)在措施。

2 粘滯阻尼結(jié)構(gòu)最優(yōu)極點(diǎn)配置

2.1 粘滯阻尼結(jié)構(gòu)最優(yōu)極點(diǎn)的確定

結(jié)構(gòu)減震控制的主要目的是通過(guò)增大結(jié)構(gòu)的阻尼以減小結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)。由于粘滯阻尼器可看作一種無(wú)剛度速度相關(guān)型阻尼器，粘滯阻尼減震結(jié)構(gòu)在施加粘滯阻尼器的前后結(jié)構(gòu)的自振周期不變，增加阻尼器后，結(jié)構(gòu)體系的極點(diǎn)變化是在以非控結(jié)構(gòu)自振頻率ω為半徑的圓周上移動(dòng)，此外，系統(tǒng)阻尼值的增加主要通過(guò)極點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的移動(dòng)來(lái)體現(xiàn)，極點(diǎn)距離虛軸越遠(yuǎn)，極點(diǎn)與原點(diǎn)連線矢量與負(fù)實(shí)軸的夾角越小，即系統(tǒng)阻尼越大(β2<β1)，如圖1所示，圖中P1為未控系統(tǒng)某個(gè)極點(diǎn)，P2為P1在自振頻率ω不變前提下沿圓周移動(dòng)后目標(biāo)極點(diǎn)，β1、β2及ω1、ω2分別為結(jié)構(gòu)受控前后阻尼角和自振頻率。具體有：

系統(tǒng)的極點(diǎn)?？杀硎緸椋?/p>

(16)

系統(tǒng)阻尼角：

βi=cos-1(ξi)

(17)

為獲得具有工程意義的最優(yōu)配置極點(diǎn)，觀察式(16)、(17)及圖1，假定P1為未控系統(tǒng)固有極點(diǎn)，P2為受控系統(tǒng)期望極點(diǎn)，可以得出：粘滯阻尼器的施加實(shí)際是使結(jié)構(gòu)的極點(diǎn)沿原未控結(jié)構(gòu)自振頻率的圓周向遠(yuǎn)離復(fù)平面虛軸的方向移動(dòng)，距離越遠(yuǎn)，結(jié)構(gòu)體系阻尼越大。因此，在結(jié)構(gòu)目標(biāo)阻尼比一定的條件下，可通過(guò)極點(diǎn)在復(fù)平面的移動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)(目標(biāo))極點(diǎn)的確定。

2.2 粘滯阻尼結(jié)構(gòu)最優(yōu)零點(diǎn)的確定

由1.4部分傳遞函數(shù)矩陣討論可以發(fā)現(xiàn)：① 極點(diǎn)左移的同時(shí)，導(dǎo)致零點(diǎn)隨之左移；② 零點(diǎn)移動(dòng)的幅度隨極點(diǎn)移動(dòng)幅度確定，具體可參照極點(diǎn)平移確定。下面簡(jiǎn)要介紹其確定方法：

首先，根據(jù)式(7)確定未控系統(tǒng)的零點(diǎn)：

(18)

最后，依據(jù)確定的最優(yōu)(或目標(biāo))零、極點(diǎn)構(gòu)造傳遞函數(shù)陣。

圖1 復(fù)平面最優(yōu)極點(diǎn)配置圖

2.3 最優(yōu)極點(diǎn)配置算法總結(jié)

針對(duì)上述最優(yōu)(目標(biāo))極點(diǎn)確定及配置的思路，為條理性現(xiàn)將其總結(jié)如下：

(1) 對(duì)給定未控制系統(tǒng)，求取其傳遞函數(shù)矩陣，令式(15)傳遞函數(shù)矩陣中各子式分母、分子為零，求出零、極點(diǎn)；

(2) 根據(jù)(1)所得零、極點(diǎn)分布情況，由2.1, 2.2內(nèi)容確定最優(yōu)(期望)零、極點(diǎn)；

(3) 根據(jù)最優(yōu)(期望)零、極點(diǎn)，求其在零輸入下的傳遞函數(shù)矩陣[Gc]；

(4) 針對(duì)獲得的傳遞函數(shù)陣，確定系統(tǒng)狀態(tài)方程的目標(biāo)最小實(shí)現(xiàn)：∑(Ac,Bc,Cc,Dc)；傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)讀者可參考文獻(xiàn)[1]提供的步驟進(jìn)行。

3 結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析

隨機(jī)振動(dòng)分析是計(jì)算結(jié)構(gòu)體系動(dòng)力可靠度的基礎(chǔ)，減震結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)隨機(jī)地震作用下隨機(jī)響應(yīng)的計(jì)算步驟可歸納為：

令

(19)

式(7)的解設(shè)為：

{W}={H(ω)}eiωt

(20)

其次，將式(19)、式(20)代入式(7)，則有：

{W}={H(ω)}·eiωt=

(22)

最后，利用前述響應(yīng)量，按式(22)計(jì)算自相關(guān)、互相關(guān)矩陣及對(duì)應(yīng)統(tǒng)計(jì)量。

(23)

這里符號(hào)?表示兩矩陣相乘產(chǎn)生一同階矩陣。然后由式(23)可以很容易的利用下式求出其對(duì)應(yīng)的方差值：

(24)

4 工程算例

4.1 工程應(yīng)用舉例

為驗(yàn)證本文結(jié)論的正確性，選用文獻(xiàn)1給定的算例，結(jié)構(gòu)各相關(guān)參數(shù)重新列些如下：結(jié)構(gòu)層質(zhì)量與層剛度分別為：mi=4×105kg，ki=2×108N/m(i=1，2，3)，結(jié)構(gòu)阻尼采用瑞利阻尼，前兩階振型的阻尼比ξ1=ξ2=5%，假定工程所在地的抗震設(shè)防烈度為8度，場(chǎng)地土較堅(jiān)硬，屬于《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB50011—2010)中Ⅰ1類(lèi)第2組。

4.2 地震地面運(yùn)動(dòng)的加速度功率譜模型

為進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析，采用Clough和Penzien建議的零均值平穩(wěn)雙過(guò)濾白噪聲功率譜來(lái)描述地面運(yùn)動(dòng)，即地震動(dòng)的單邊功率譜可表達(dá)為：

(25)

其中，S0為基巖運(yùn)動(dòng)的白噪聲單邊功率譜強(qiáng)度，HkT(ω)為日本金井清-田治見(jiàn)宏建議的過(guò)濾器，Hcp(ω)為美國(guó)學(xué)者克拉夫-彭津提出低頻過(guò)濾器。

(26)

(27)

其中，ωg為工程場(chǎng)地的卓越頻率取ωg=20.94，ζg為場(chǎng)地的阻尼比ζg=0.64；ωc和ζc分別為低頻過(guò)濾器的特征頻率和阻尼比；取ωc=0.15ωg，ζc=ζg。推算小震作用下單邊功率譜強(qiáng)度為:S0=2×5.247 5×10-4m-2·s-3，大震作用下單邊功率譜強(qiáng)度為: S0=2×1.713 5×10-2m-2s-3，其輸入的功率譜密度曲線見(jiàn)圖2。圖中左縱標(biāo)表示小震幅值，右縱標(biāo)表示大震幅值。

圖2 場(chǎng)地土輸入功率譜

4.3 隨機(jī)響應(yīng)分析

為便于討論，僅列出本文算法與LQR算法所得的反饋增益矩陣，從中可以得出：由于粘滯阻尼減震結(jié)構(gòu)僅改變結(jié)構(gòu)的阻尼力而不改變結(jié)構(gòu)的剛度，從而使反饋增益矩陣剛度分量部分的系數(shù)全為0，這是LQR算法無(wú)法實(shí)現(xiàn)的；從矩陣系數(shù)來(lái)看，采用本文算法提供的阻尼力矩陣與LQR算法提供阻尼力矩陣非常接近，讀者可進(jìn)一步根據(jù)反饋增益矩陣求得控制力矩陣BG進(jìn)行驗(yàn)證。

(1) LQR算法所得的反饋增益矩陣：

(2) 本文算法所得反饋增益矩陣：

結(jié)構(gòu)體系在地震作用下，無(wú)論是小震作用下的線性響應(yīng)還是大震作用下的非線性響應(yīng)(對(duì)非線性進(jìn)行等效線性化)，采用隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法求得的位移均方差和速度均方差如表1所示，通過(guò)表1可以得出：LQR控制算法和基于最優(yōu)極點(diǎn)配置的粘滯阻尼控制算都能使結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)得到較大程度的減小，且在兩種控制算法下的響應(yīng)均方差非常接近，最大差異約僅為2%，這主要是由于在較為恰當(dāng)?shù)腝和R選擇下LQR算法設(shè)計(jì)的主動(dòng)控制力主要以阻尼力的形式施加于結(jié)構(gòu)上，但本文提出的最優(yōu)極點(diǎn)配置下的粘滯阻尼算法的物理意義更明確，也更符合實(shí)際，從而也說(shuō)明本文所提供分析理論的正確性和有效性。

表1 小震下結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)

表2 大震下結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)

5 結(jié) 論

粘滯阻尼減震結(jié)構(gòu)在土木工程中的大量使用，使得阻尼控制器的最優(yōu)配置為更多的學(xué)者和工程人員所關(guān)注，本文在文獻(xiàn)1基礎(chǔ)上對(duì)其內(nèi)容做了進(jìn)一步探討。由于地震作用的不確定性，采用LQR最優(yōu)控制算法和粘滯阻尼結(jié)構(gòu)中的最優(yōu)極點(diǎn)配置算法并結(jié)合隨機(jī)振動(dòng)理論對(duì)本文給定算例進(jìn)行了詳細(xì)討論，具體結(jié)論為：

(1) 由于粘滯阻尼結(jié)構(gòu)僅改變結(jié)構(gòu)的阻尼力而不改變結(jié)構(gòu)的剛度，為獲得剛度系數(shù)為0的最優(yōu)反饋增益矩陣，本文算法給予了較好的實(shí)現(xiàn)，這是LQR算法所不能實(shí)現(xiàn)的。

(2) 結(jié)合隨機(jī)振動(dòng)理論，對(duì)給定算例采用兩種算法在大震、小震下進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析，所得結(jié)果非常接近，從而驗(yàn)證了本文所提供算法的正確性和有效性。

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