基于Prohl-Myklested方法的汽車變速器斜齒輪傳動系統(tǒng)建模及非線性分析

張宇白，袁惠群，寇海江

(1.東北大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，沈陽 110819；2.東北大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 110819)

汽車變速器傳動機構(gòu)由齒輪、軸、軸承等傳動件組成，為多齒輪盤-軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其齒輪傳動系統(tǒng)力學(xué)性能好壞直接影響汽車各項性能指標的優(yōu)劣?？紤]扭轉(zhuǎn)、擺動影響，傳動系統(tǒng)自由度達幾十個，建立運動微分方程較復(fù)雜。因此對其降維非常必要。Prohl-Myklested方法給出將實際轉(zhuǎn)子模型簡化為較少自由度的集中參數(shù)模型基本準則?？紤]各齒輪盤直徑與各軸段直徑相差不大，輪齒較寬，且嚙合齒輪剛度激勵對該系統(tǒng)動力學(xué)特性起重要作用，將該方法用于汽車變速器齒輪傳動系統(tǒng)可大大降低傳動系統(tǒng)自由度數(shù)。而此類研究目前未見報道。

對變速器傳動系統(tǒng)力學(xué)特性的研究[1-3]考慮嚙合剛度時變性影響，尤其重點考慮齒側(cè)間隙非線性影響，但現(xiàn)有研究多集中于較少自由度齒輪系統(tǒng)的非線性，且直齒輪居多，忽略齒側(cè)間隙及時變剛度的多自由度齒輪系統(tǒng)研究，據(jù)此建立的運動微分方程[4-5]忽略各自由度間耦合作用，會產(chǎn)生一定誤差。

本文基于改進的Prohl-Myklested方法對汽車變速器斜齒輪傳動系統(tǒng)進行降維處理，驗證其準確性。針對由該方法所得模型軸段剛度不同、兩端質(zhì)量集中、非對稱彈性支承等特點，本文提出圓盤兩端剛度不同時的矩陣計算公式，給出該類模型運動微分方程計算方法。提出考慮齒側(cè)間隙、時變剛度耦合作用的斜齒輪動態(tài)嚙合力表達式，研究各自由度耦合作用下斜齒輪傳動系統(tǒng)非線性力學(xué)行為特點，并提取故障特征。

1 Prohl-Myklested方法原理

實際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可視為由一根變截面軸與圓盤組成的系統(tǒng)，Prohl-Myklested方法即將連續(xù)轉(zhuǎn)子簡化為離散的盤-軸系統(tǒng)。當(dāng)節(jié)點間第i個軸段由k個非等截面軸段組成時，可將質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量集中于左右兩端構(gòu)成剛性薄圓盤，軸段則簡化為無質(zhì)量的等截面彈性軸。質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量、抗彎剛度分配原則據(jù)Prohl-Myklested方法[6]獲得。斜齒輪傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動較突出，抗扭剛度影響不可忽略，Prohl-Myklested方法中當(dāng)量抗扭剛度計算公式等效原則是純扭轉(zhuǎn)軸兩端相對扭轉(zhuǎn)角保持不變，計算式為

(1a)

(1b)

圖1 變速器齒輪傳動系統(tǒng)實物圖

圖1為變速器齒輪傳動系統(tǒng)實物圖。考慮三擋斜齒輪嚙合，其模型及齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。材料參數(shù)為彈性模量E=2×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3。利用Prohl-Myklested方法將其簡化為非對稱彈性支承、兩端集中質(zhì)量、軸段存在不同抗彎剛度及抗扭剛度的斜齒輪傳動系統(tǒng)模型見圖2，結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2，其中p為主動齒輪，g為從動齒輪。

表1 齒輪技術(shù)參數(shù)

圖2 變速器齒輪傳動系統(tǒng)集中參數(shù)模型圖

表2 變速器齒輪傳動系統(tǒng)集中參數(shù)模型結(jié)構(gòu)參數(shù)

2 仿真驗證

為驗證集中參數(shù)模型動力學(xué)行為的準確性，本文利用ANSYS進行有限元模態(tài)分析，結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料參數(shù)同前。嚙合齒輪由彈簧連接，考慮斜齒輪傳動的重合度較大，單對齒及雙對齒交替嚙合剛度波動幅度較小，設(shè)嚙合剛度為常值[7]，取其平均嚙合剛度1.133×108N/m。采用MASS21模擬齒輪轉(zhuǎn)子、Beam189模擬轉(zhuǎn)軸、COMBIN14模擬彈性支承，分別對模型進行模態(tài)分析。集中質(zhì)量模型與連續(xù)體模型各階次固有頻率值見圖4。由圖4看出，兩種模型所得前十二階模態(tài)吻合較好，誤差小于8%。

圖3 變速器傳動系統(tǒng)有限元模型

圖4 連續(xù)體模型與集中參數(shù)模型固有頻率對比

集中參數(shù)模型及質(zhì)量連續(xù)模型有限元法振型對比見圖5。其中圖5(a)、(b)為平行軸弓形彎曲振型圖，且彎曲方向一致；圖5(c)、(d)為輸出軸靜止、輸入軸彎曲振型圖；圖5(e)、(f)為輸入軸靜止、輸出軸高階彎曲振型圖；圖5(g)、(h)為輸出軸靜止、輸入軸高階彎曲振型圖。由圖5看出，兩模型計算結(jié)果吻合較好，證明簡化集中參數(shù)模型的準確性。即改進的Prohl-Myklested方法可較好描述變速器齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)特性。

圖5 集中參數(shù)模型及質(zhì)量連續(xù)模型振型對比

3 非線性動力學(xué)方程

3.1 斜齒輪非線性動態(tài)嚙合力

圖6 齒輪系統(tǒng)含齒側(cè)間隙及變剛度非線性動力學(xué)模型

斜齒輪系統(tǒng)齒側(cè)間隙、時變剛度非線性動力學(xué)模型見圖6，圖中k(t)為時變嚙合剛度，c為嚙合阻尼力，2bn為齒側(cè)間隙。主動齒輪嚙合處受力見圖7，圖中αn為法面壓力角，ατ為端面壓力角，β為螺旋角，βb為基圓螺旋角，F(xiàn)n為沿嚙合線方向動態(tài)嚙合力，其在徑向、切向投影分別為Fr，F(xiàn)a。兩齒輪所在節(jié)點自由度分別為xp，yp，φp，θxp，θyp，xg，yg，φg，θxg，θyg。三檔斜齒輪副沿嚙合線相對位移為

δ(t)=(xp-xg)sinαn+(yp-yg)cosβcosαn+(rpφp+

rgφg)cosβb+(rpcos(αtθyp)+rgcos(αtθyg))sinβb-

(rpsin(αtθxp)+rgsin(αtθxg))sinβb

(2)

式中：rp，rg分別為主動齒輪、從動齒輪分度圓半徑。采用齒輪嚙合線方向相對位移分段線性方法得間隙非線性位移函數(shù)[8]為

(3)

設(shè)m1為主動齒輪等效質(zhì)量；m2為從動齒輪等效質(zhì)量；ks為齒輪綜合嚙合剛度；ξ為阻尼比，取值范圍0.03～0.1，本文取0.05,嚙合阻尼計算式為

(4)

輪齒嚙合剛度可表示為輪齒所受載荷除以輪齒嚙合變形[9]。設(shè)齒輪嚙合對數(shù)為n，主、被動輪各嚙合輪齒變形為δpi(i=1,…,n)，δgi(i=1,…,n)，各嚙合齒對接觸力為Fi(i=1,…,n),則輪齒嚙合剛度[10]為

(5)

通過建立斜齒輪三維接觸有限元分析，既可確定輪齒間載荷分配，又可求出實際變形，即在某嚙合位置及給定載荷Fi下主動輪齒、被動輪齒的實際變形δpi，δgi及總變形δsi=δpi+δgi，從而求出每對齒嚙合綜合剛度。整個輪齒嚙合綜合剛度為各對齒剛度之和。取不同時刻可求出時變嚙合剛度數(shù)據(jù)值。傳動過程中嚙合剛度的明顯周期性變化，可用傅里葉級數(shù)形式表示為

(6)

考慮嚙合阻尼力及齒側(cè)間隙非線性彈性力作用，輪齒間動態(tài)嚙合力為

Fn=k(t)g(t)+cδ(t)

(7)

(8)

3.2 剛度矩陣計算方法

利用柔度影響系數(shù)法可求出圓盤的剛度矩陣，其柔度系數(shù)為

(9)

式中：a為圓盤至軸段左端點距離；l為盤軸總跨度；b=l-a。由于剛度、柔度矩陣互為逆陣，即

(10)

因此圓盤變形勢能表達式為

(11)

本文采用第二類拉格朗日方程建立考慮齒側(cè)間隙-時變嚙合剛度非線性的斜齒輪傳動系統(tǒng)運動學(xué)微分方程。傳動系統(tǒng)計算模型自由度共18個，且多個自由度間具有強耦合關(guān)系，但其與軸向自由度耦合程度較小，可忽略。設(shè)齒輪軸向充分固定，軸向剛度無窮大。傳動系統(tǒng)運動學(xué)微分方程為

(12)

4 非線性特性分析

4.1 隨轉(zhuǎn)速變化的傳動系統(tǒng)非線性行為

選齒側(cè)間隙50 μm，采用四階龍格-庫塔法計算傳動系統(tǒng)動力學(xué)特性。變速器非線性齒輪傳動系統(tǒng)隨主動輪自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速變化分岔圖見圖8，其中圖8(a)僅考慮時變嚙合剛度參數(shù)振動，該系統(tǒng)由周期運動開始，逐漸向混沌運動過渡，混沌運動與周期運動交替發(fā)生；圖8(b)考慮齒側(cè)間隙、時變嚙合剛度耦合作用，分岔圖出現(xiàn)與圖8(a)相似的非線性特征，但因齒側(cè)間隙的強非線性，振動行為更復(fù)雜，傳動系統(tǒng)不穩(wěn)定的混沌運動區(qū)間增大。

對比圖9、圖10，轉(zhuǎn)速相同情況下齒側(cè)間隙對傳動系統(tǒng)非線性振動重要影響清晰可見。不考慮齒側(cè)間隙時傳動系統(tǒng)相圖為雙周期運動，且閉曲線重合，幅值譜圖出現(xiàn)雙頻率成分。考慮齒側(cè)間隙時，相圖變?yōu)椴恢睾系膹?fù)雜曲線，幅值譜圖包含連續(xù)頻譜成分，表現(xiàn)為典型的混沌運動特征。因此，齒側(cè)間隙導(dǎo)致系統(tǒng)振動更復(fù)雜。

圖8 斜齒輪傳動系統(tǒng)分岔圖

圖11 變速器斜齒輪嚙合有限元應(yīng)力分布圖

4.2 齒側(cè)間隙故障非線性特征

用LS-DYNA有限元軟件模擬齒輪傳動系統(tǒng)嚙合運動，見圖11。

據(jù)三種工況，對輸出三檔齒輪施加168.8 Nm扭矩，兩齒輪靜態(tài)法向嚙合力為5 098.4 N，提取嚙合接觸面內(nèi)部激振力見圖12(a)，嚙合力曲線在4 000 N附近上下波動，范圍為3 500～4 500 N間。圖12(b)為齒側(cè)間隙非線性時嚙合力時域波形，與圖12(a)較平穩(wěn)的時域波形相比出現(xiàn)每隔一段時間的沖擊現(xiàn)象，振幅較正常嚙合時略有提高。對此工程實際中需調(diào)整并避免齒側(cè)間隙過大引起的非線性振動故障發(fā)生。對圖12(b)嚙合力數(shù)據(jù)進行傅里葉變換，獲得嚙合力幅頻特性曲線，見圖13，圖中形成調(diào)制邊頻帶。3 400～4 100 Hz間細化譜分析見圖14。由圖14看出，該邊頻帶中心頻率為傳動系統(tǒng)固有頻率3 691.8 Hz，調(diào)制頻率為齒輪旋轉(zhuǎn)頻率50 Hz，此即為齒側(cè)間隙故障頻率特征。

圖13 動態(tài)嚙合力幅頻特性曲線

圖14 細化譜分析

5 結(jié) 論

(1) 基于Prohl-Myklested方法降維處理，建立變速器齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型，數(shù)值仿真模擬驗證利用Prohl-Myklested方法對變速器齒輪傳動系統(tǒng)進行簡化的可行性及準確性。

(2) 提出圓盤兩端剛度不同情況下剛度矩陣計算公式，推導(dǎo)出非對稱彈性支承、兩端具有集中質(zhì)量、軸段存在不同抗彎剛度及抗扭剛度的斜齒輪傳動系統(tǒng)運動微分方程。

(3) 汽車變速器斜齒輪傳動系統(tǒng)非線性數(shù)值仿真研究結(jié)果表明，齒側(cè)間隙導(dǎo)致傳動系統(tǒng)非線性振動更復(fù)雜，不穩(wěn)定混沌運動區(qū)間增大。齒側(cè)間隙故障發(fā)生時，碰摩力時間歷程曲線中出現(xiàn)沖擊現(xiàn)象，振幅較正常嚙合時略高；頻譜成分具有以傳動系統(tǒng)固有頻率為中心頻率，以齒輪旋轉(zhuǎn)頻率為調(diào)制頻率特點。

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