中國古人在籌算、算法方面的成就

王利公

我國是世界上最早的文明國家之一.很早以前，我們的祖先在漁獵農事活動中就接觸到了計算和測量，并在這方面積累了大量的知識.我國古代的計算不是用記數文字直接進行，而是用算籌，很有特色.在開始的時候，人們是用一些小樹枝來計數，一根小樹枝代表一頭牲畜、一堆谷物或者一件農具.后來，逐漸形成了一套計算方法，小樹枝也慢慢變成了竹制、鐵制、牙制的小棍，外形規(guī)格齊整，這就是算籌.籌算可以進行整數和分數的加、減、乘、除、開方等各種運算.直到元、明以前，籌算一直是我國的主要計算方法.籌算的記數法既是十進，又按位值分別表示不同單位，和現(xiàn)代記數法相似.

著名的數學著作《九章算術》，大約編于公元四五十年間的東漢初期.這部書是采用問題集的形式編的，共有二百四十六個問題，分成方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章.方田章講的是各種分數計算和方田、梯形田、斜方形田、圓田、半圓形田、弧田、環(huán)形田等的面積計算；粟米章講的是糧食交易的簡單比例計算；衰分章講的是一些按比例分配的問題；少廣章講的是由已知面積和體積，反求邊的長短和面的寬廣的問題，其中總結出了開平方和開立方的方法；商功章講的是計算各種體積的方法，主要解決筑城、建堤、挖溝、修渠等實際工程問題；均輸章講的是糧食運輸均勻負擔的計算方法；盈不足章講的是盈虧計算法和它的應用；方程章講的是正負數算法，還有各種三元一次和四元一次聯(lián)立方程的解法；勾股章敘述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理，以及相似直角三角形解法的問題.

《周髀算經》是我國另一部有名的天文學、數學著作，大約時是公元前一百年前后的西漢年間成書.書里明確給出了勾股定理的一般形式，即勾2+股2=弦2.書中介紹了在兩地利用標桿測出日影，再進一步利用勾股定理算出太陽高度的方法，書中還談到了用一根直徑一寸、長八尺的中空竹管觀測太陽，使太陽的圓影正好與竹管的視線吻合，再進一步利用勾股定理推算出太陽直徑的方法.這說明我們的祖先至少在西漢年間，就能正確地應用直角三角形的勾股定理了.等到三國時代，吳國人趙爽用幾何方法對勾股定理進行了相當嚴格的論證.

我國最早用嚴密的數學方法來求算圓周率數值的是劉徽.他認為古率為3，是圓內接正六邊形的周長對直徑的比值，這比圓周長對直徑的比值要小得多.劉徽把圓內接正六邊形各邊所對的弧平分，做出圓內接正十二邊形，利用勾股定理求出它的邊長.同理，可以求出圓內接正二十四、四十八、九十六邊形的邊長.內接正多邊形的邊數越多，求出的圓周率數值也就越準確.這就是劉徽的“割圓術”.“割圓術”用折線逐步逼近曲線，用圓內接正多邊形的面積逐步逼近圓面積，這種用有限來逼近無限的方法，不僅提供了比較精確的圓周率的數值，而且為后來計算圓周率的人們奠定了堅實可靠的理論基礎.endprint