數(shù)學建模對高職院校學生職業(yè)能力的培養(yǎng)

李 波，干國勝，王燕娜

(湖北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院 公共課部,湖北 十堰 442000)

隨著高等數(shù)學教學的改革及發(fā)展，高校對于數(shù)學建模的認識和重視程度也隨之提高。作為數(shù)學知識與應(yīng)用橋梁的數(shù)學建模活動[1]，在提高學生學習數(shù)學興趣，激發(fā)學生的求知欲以及培養(yǎng)學生各方面能力起到非常重要作用。

一、數(shù)學建模介紹

數(shù)學建模的實質(zhì)就是將實際問題數(shù)學模型化，運用我們所學的數(shù)學知識建立合理的數(shù)學模型，結(jié)合計算機軟件來充分的解決。數(shù)學模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的等式或不等式以及圖像、圖表、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學結(jié)構(gòu)表達式。數(shù)學是實際需要中產(chǎn)生的，要解決實際問題就一定要建立數(shù)學模型，數(shù)學建模的步驟大致可分為如下六步[2]：

(1)模型準備：首先了解實際問題的背景，利用網(wǎng)絡(luò)查找相關(guān)知識點，搜集必要的各種信息，盡量弄清問題的特征，明確建模的目的，進而初步確定建立模型的類型。

(2)模型假設(shè)：根據(jù)實際問題的內(nèi)在要求以及建模的目的，抓住問題的主要思想，忽略次要因素，對問題提出合理的、必要的理想假設(shè)，這是建模比較關(guān)鍵的一步，要求建模者發(fā)揮想象力，判斷力和洞察力，盡量使問題線性化、均勻化，具體問題具體分析。

(3)模型建立：根據(jù)所做的假設(shè)，分析研究各個要素的關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學工具，對數(shù)學語言加以刻畫，建立問題的數(shù)學結(jié)構(gòu)，從而得到現(xiàn)實問題的數(shù)學模型。因人而異，建立的模型可以是方程、函數(shù)、圖像等。

(4)模型求解：根據(jù)建立的數(shù)學模型，應(yīng)用合適的數(shù)學方法求解，可以采用解方程、畫函數(shù)圖像、證明理論、數(shù)值運算、差值擬合等數(shù)學方法，特別是應(yīng)用計算機技術(shù)，需要借助Word、Excel、Mathematica、Matlab等數(shù)學軟件進行復雜的計算，所以要求對數(shù)學軟件有基本的了解。

(5)模型驗證：數(shù)學模型總是在不斷的分析、驗證、論斷、評價中進行，要進行不斷的改進和完善。對模型的改進和評價要貫穿整個數(shù)學建模的始終。無論哪種情況都需要進行誤差評估，數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析。建立模型的目的是為了解決實際問題。因此，一個模型必須反映現(xiàn)實問題，滿足解決實際問題的需求，把模型的解帶入實際中驗證。

(6)模型推廣：為了使模型更好地應(yīng)用到實際中，發(fā)揮數(shù)學的應(yīng)用價值，把模型做適當?shù)耐茝V。

二、數(shù)學建模對學習高等數(shù)學的作用

1.激發(fā)學生學習高等數(shù)學的興趣

高等數(shù)學課程是高職院校相關(guān)專業(yè)必修的一門重要的基礎(chǔ)課和工具課，是我院工作過程系統(tǒng)化“211”課程體系中的公共平臺的重要課程，是學生學習專業(yè)、發(fā)展技能的基礎(chǔ)。但由于數(shù)學學時不斷的減少，學生對學習重要性缺乏了解，專業(yè)教學改革對數(shù)學教學存在偏見，甚至有忽視數(shù)學教學傾向，師生時間和精力有限，不能專門訓練，學生積極性不高，數(shù)學教學進展緩慢。為解決這一困難，數(shù)學教師十分重視，將建模的思想逐步融入日常教學與教改中，形成“數(shù)學教學貼近高職特點、貼近專業(yè)特色、貼近社會生活實際、以能力培養(yǎng)為本位”的高職數(shù)學教學理念。

傳統(tǒng)的大學高數(shù)課本主要講解理論，學生學習興趣也不濃厚，對我院高職學生不太適合。如果降低難度，學生學不到應(yīng)有的知識，達不到教學目的[3]。如何讓學生學起來容易，而又不降低學習質(zhì)量，培養(yǎng)具有能力和應(yīng)用型的人才呢？這就要求我院教師進行教學改革，推出一套全新的教學方法。不但使學生學到知識，還要提高學生的學習興趣，提高分析問題和解決問題的能力。而數(shù)學建模正是高等數(shù)學教學改革的全新思路，下面就一個簡單的建模例子說明數(shù)學建模對學習高等數(shù)學的作用。

層次分析法 ——手機的選購問題：

信息化時代已經(jīng)來臨，手機早已走進千家萬戶，而我們大學生對手機的需求也大大增加。如何選購一款適合自己，性價比高的手機？

問題提出：選購手機，一般會考慮價格、像素、內(nèi)存、網(wǎng)絡(luò)制式等4個準則，如何根據(jù)這幾個準則對已知的小米3、努比亞 Z5SMINI、華為3C作出選擇呢？

(1)模型準備：對問題仔細分析，需要小組成員對這三種手機的參數(shù)、相關(guān)評價、信譽度等進行查閱，可以上網(wǎng)或者到手機店咨詢等。

(2)模型假設(shè)：假設(shè)選擇的手機只受這四個準則限制；只考慮題目的三種手機；成對比較法對價格等準則進行定性的兩兩比較。

(3)模型建立：Saaty等人提出通過使用尺度1～9對定性關(guān)系進行量化，具體表示見下表：

定性關(guān)系量化表

根據(jù)相關(guān)準則建立層次結(jié)構(gòu)模型：

通過調(diào)查分析得準則層的成對比較矩陣，而成對比較矩陣一定是正互反矩陣：

其中

B1價格對三種手機的成對比較矩陣；

B2像素對三種手機的成對比較矩陣；

B3內(nèi)存對三種手機的成對比較矩陣；

B4網(wǎng)絡(luò)制式對三種手機的成對比較矩陣；

(4)模型求解：計算權(quán)向量，利用MATLAB軟件可計算成對比較陣的最大特征根，歸一化特征向量得到下列結(jié)果：

ans=4.2072

w1=0.21180.1430.19280.4523

計算權(quán)向量得：

0.4236>0.3548>0.2200

即在3部手機中應(yīng)該選擇小米3

(5)模型驗證：對模型進行一致性檢驗：

CR=0.076<0.10,通過 一致性檢驗，CR1=0.059； CR2=0.031，

CR3=0.003，CR4=0，其值均小于0.10，故均通過一致性檢驗。

(6)模型推廣：電腦的選購、汽車的選購等都可以用類似的方法求解。

此建模題目是將矩陣的相關(guān)知識點結(jié)合生活當中的實際例子展開研究的。一方面在今后的生活中購買手機、電腦等可以作為依據(jù)；另一方面也鞏固了數(shù)學的知識點。這也正是高職數(shù)學改革的方向，在高職數(shù)學的教學中融入數(shù)學建模思想的具體方法，將枯燥的數(shù)學內(nèi)容與豐富多彩的社會生活聯(lián)系在一起，激發(fā)學生的學習興趣。

2.讓學生體驗數(shù)學在實際中的應(yīng)用

在高等數(shù)學的教學中滲透數(shù)學建模的思想，適時開展數(shù)學建模課程，在該課程的教學中注重理論聯(lián)系實際，注重數(shù)學思想和方法的訓練和培養(yǎng)，在高等數(shù)學教材或者網(wǎng)絡(luò)中找到一些具有現(xiàn)實意義的例題，適當?shù)匾霐?shù)學建模的賽題。實際上，許多數(shù)學建模賽題是課本上內(nèi)容的推廣。在講函數(shù)的連續(xù)性時，可以引入數(shù)學建模的初等模型:椅子在不平的地面上能否放穩(wěn)[4]:

問題提出：日常生活中一個普通的事實，把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩(wěn)了。這個看來似乎與數(shù)學無關(guān)的現(xiàn)象能用數(shù)學語言給以表述，并用數(shù)學工具來證實嗎？

(1)模型準備：通常椅子三只腳著地，放穩(wěn)后四只腳著地。

(2)模型假設(shè)：四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形；地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面；地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。

(3)模型建立：用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來，如下圖:用 θ(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置，四角著地就代表椅腳與地面距離為零，并且距離是θ的函數(shù)，利用正方形(椅腳連線)的對稱性，四個距離可以用兩個距離代替。設(shè)AC 兩腳與地面距離之和為f(θ)；BD 兩腳與地面距離之和為g(θ)。由于地面為連續(xù)曲面，故f(θ)，g(θ)是連續(xù)函數(shù)，又因為椅子在任意位置至少三只腳著地，所以對任意θ,f(θ)，g(θ)至少一個為0。

(4)模型求解：將實際問題轉(zhuǎn)化為下列數(shù)學問題：已知f(θ)，g(θ)是連續(xù)函數(shù)，對任意θ，f(θ)·g(θ)=0，且g(0)=0，f(0) > 0證明：存在θ0，使f(θ0) =g(θ0) = 0。

簡單證明：將椅子旋轉(zhuǎn)90度，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(π/2)=0 ,g(π/2)>0。令h(θ)= f(θ)-g(θ)，則h(0)>0和h(π/2)<0

由f，g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)，據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，必存在θ0，使h(θ0)=0，即f(θ0) =g(θ0)，因為f(θ) ·g(θ)=0，所以f(θ0) =g(θ0) = 0。

(5)模型推廣：考慮四角成長方形的椅子。

以上例子都是生活中的實際案例，這些問題都通俗易懂，也能激發(fā)學生的好奇心，開拓知識面，為讓學生解決實際問題奠定良好的基礎(chǔ)，對開展高等數(shù)學的教學也起到舉足輕重的作用。在講解高數(shù)內(nèi)容時結(jié)合專業(yè)，結(jié)合實際去選擇案例，使學生體會數(shù)學來源于實際，又服務(wù)于實際。在教學中施行分組教學，小組之間可以產(chǎn)生競爭力，促進學生學習，班級也有良好的學習氛圍。分組去分析，調(diào)查，解決問題，探索數(shù)學的魅力，培養(yǎng)學生的團隊意識及創(chuàng)新能力，提高學生應(yīng)用數(shù)學去解決實際問題的意識。

三、學生能力的培養(yǎng)

在我們?nèi)粘Ｉ钪校瑪?shù)學建模無處不在，無論是初中、高中還是大學，處處都存在數(shù)學模型。將數(shù)學建模的思想引入數(shù)學教學越早越有利培養(yǎng)學生的素養(yǎng)。

數(shù)學建?？梢耘囵B(yǎng)學生多方面的能力[5](1)培養(yǎng)學生的“表達”能力，用數(shù)學語言將實際問題抽象化，形成數(shù)學模型，應(yīng)用數(shù)學的理論進行推導和驗算，并用較通俗的語言表達出來，只有把想法、模型表達出來，人們才可以接受認可。例如：椅子在不平的地面上能否放穩(wěn)問題中，可以把椅子四角連線看成正方形，地面看成數(shù)學上的連續(xù)曲面，椅角與地面的距離看成函數(shù)等，把這個實際問題抽象出數(shù)學模型來驗證椅子能放穩(wěn)。(2)培養(yǎng)學生對實際問題的聯(lián)想與歸納能力，對于不同的實際問題，可以提煉出相同或相似的數(shù)學模型，例如：手機的選購問題可以推廣為電腦的選購、汽車的選購等，這也正是數(shù)學應(yīng)用的推廣。(3)培養(yǎng)學生獨立思考能力和洞察力，在數(shù)學建模中經(jīng)過鍛煉可以培養(yǎng)學生一眼看出問題要點的能力，遇到題目能夠獨立思考解決。例如：在椅子問題中假設(shè)椅子的四角與地面的接觸地是正方形，因為正方形具有對稱性，所以四角距離只需計算兩個即可，抓住問題的關(guān)鍵。(4)培養(yǎng)學生的自學能力。事先教師把建模題目留給學生，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，培養(yǎng)學生主動探索，努力進取的學風，例如在手機的選購問題中，學生可以上網(wǎng)查閱相關(guān)手機的信息或者到手機店查閱，培養(yǎng)學生的學習主動性，進而培養(yǎng)學生從事科研工作的初步能力，形成一個生動活潑的環(huán)境和氣氛。(5)培養(yǎng)學生分析和解決實際問題的能力，學生將學過的數(shù)學知識串聯(lián)一起靈活應(yīng)用，在數(shù)學建模中反復應(yīng)用數(shù)學方法對實際問題進行分析、理解、推理和計算，才能找出最適合的數(shù)學模型，求出模型的最優(yōu)解，所以可以提高學生的解決實際問題的能力。例如在手機選購問題中，采用的是層次分析法，也可以使用運籌學知識點或概率的知識，但經(jīng)過分析比對各種方法，層次分析法相對而言更容易理解。(6)培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，數(shù)學建模的題目相對較活，題目沒有統(tǒng)一的答案，只會有一個求解范圍，所以只要模型建立正確，推導合理就可以，但要想數(shù)學建模拿到獎項，就必須要求模型具有創(chuàng)新點，具有特色。通過數(shù)學建模的練習，可以逐漸培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。例如手機的選購問題中，成對比矩陣的建立就是一個創(chuàng)新。(7)培養(yǎng)學生的應(yīng)用計算機能力，由于數(shù)學建模競賽需要處理大量的數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)只能通過計算機軟件來解決，所以學生會學習Excel、Mathematica、Matlab等很多計算機語言語法，例如手機的選購中就應(yīng)用到Matlab數(shù)學軟件求解矩陣的特征向量，對于今后工作也會有很大幫助。(8)培養(yǎng)學生的團隊合作能力，數(shù)學建模競賽是一個團隊的合作，要求三個人都各有優(yōu)勢，各具有某方面的能力，最終三人研究統(tǒng)一的方案，這就要求學生具有團隊意識，為這個小集體服務(wù)，也為學生步入社會提供工作經(jīng)驗。

高職數(shù)學與數(shù)學建模的結(jié)合，不只是創(chuàng)新教學方法和教學手段，更是提高學生學習興趣，培養(yǎng)學生能力的一種教學模式。數(shù)學建模所體現(xiàn)的創(chuàng)新思維意識，獨立思考能力及團隊合作競賽也正是我們這個時代所需要的，是高校數(shù)學教師必須努力的方向。開展數(shù)學建模競賽，學生的實踐能力和計算機應(yīng)用能力都得到了鍛煉，學生的視野也得到開闊，從而達到實現(xiàn)教學改革的目標，提高教學質(zhì)量的目的。

[參考文獻]

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