浮基兩剛體模型強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)力響應(yīng)分析

王 丙， 江召兵,2， 陳徐均， 黃亞新

(1.解放軍理工大學(xué) 野戰(zhàn)工程學(xué)院，南京 210007； 2.上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院， 上海 200240)

浮基兩剛體系統(tǒng)為最簡(jiǎn)單的浮基多體系統(tǒng)。而起重船系統(tǒng)與其較相似。在起重船非線性動(dòng)力學(xué)研究中有兩類常用模型：①將船體對(duì)吊重的作用直接簡(jiǎn)化為纜索吊頭點(diǎn)處簡(jiǎn)諧激勵(lì),即將吊重視為空間擺[1-3]。研究表明,吊點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)在一定條件下亦會(huì)使吊重產(chǎn)生空間擺動(dòng),甚至發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)[2]；②將船舶運(yùn)動(dòng)與吊重?cái)[動(dòng)耦合分析,建立多體動(dòng)力學(xué)模型[4-6]。由于起重船與其它浮基多體系統(tǒng)的主要工作環(huán)境為海洋，因此對(duì)起重船等浮基多體系統(tǒng)在波浪作用下動(dòng)力響應(yīng)研究具有重要意義。李躍等[7]運(yùn)用多體動(dòng)力學(xué)休斯敦方法，考慮躉船橫搖及吊臂回轉(zhuǎn)，建立波浪中作業(yè)起重船的動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)懸吊載荷擺振進(jìn)行分析。高崇仁等[8]將起重船吊臂及吊索作為彈性體，基于柔性多體動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)吊重?cái)[動(dòng)軌跡影響進(jìn)行分析。陳新權(quán)等[9]對(duì)起重船在不規(guī)則波浪中的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，獲得不同回轉(zhuǎn)角度、浪向、吊索長(zhǎng)度下的吊索附加動(dòng)載荷，分析吊索附加動(dòng)載荷對(duì)起重船浮態(tài)及穩(wěn)性影響規(guī)律。葛慧曉等[10]通過(guò)對(duì)各種起重船穩(wěn)性衡穩(wěn)準(zhǔn)則進(jìn)行比較、分析，提出起重船穩(wěn)性衡準(zhǔn)建議。本文將浮基多體系統(tǒng)簡(jiǎn)化為兩剛體模型，利用傳遞矩陣法對(duì)浮基多體系統(tǒng)在波浪作用下動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行研究。

1 傳遞方程

動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)與動(dòng)力學(xué)方程數(shù)值解法為多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的主要內(nèi)容。隨工程技術(shù)的發(fā)展及需求，已有諸多研究及改進(jìn)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法，且：①均需建立系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程；②系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程涉及的矩陣階次高，易造成數(shù)值計(jì)算困難。為提高多體動(dòng)力學(xué)計(jì)算效率，芮筱亭等[11-15]提出多體系統(tǒng)離散時(shí)間傳遞矩陣法,該法建立元件動(dòng)力學(xué)方程后將方程按時(shí)間逐步離散線性化，保持傳遞矩陣法格式，拼裝多體系統(tǒng)傳遞方程、傳遞矩陣，逐步積分獲得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。

圖1為平面運(yùn)動(dòng)剛體，I為輸入端，O為輸出端，C為質(zhì)心。Oxy為慣性坐標(biāo)系，O1x1y1為平動(dòng)坐標(biāo)系，O2x2y2為連體坐標(biāo)系，剛體輸入端I固定于連體坐標(biāo)系原點(diǎn)，在連體坐標(biāo)系中，剛體輸出端坐標(biāo)為(b1,b2)，質(zhì)心坐標(biāo)為(c1,c2)。連體坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系夾角為θ，剛體質(zhì)量為m，JI為剛體相對(duì)I的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，fx,C、fy,C、mC分別為作用于剛體質(zhì)心的外力、力矩。在慣性坐標(biāo)系下有：

θO=θI=θ

(1)

xC=xI+c1cos(θI)-c2sin(θI)=xI+xIC

(2)

yC=yI+c1sin(θI)+c2cos(θI)=yI+yIC

(3)

xO=xI+b1cos(θI)-b2sin(θI)=xI+xIO

(4)

yO=yI+b1sin(θI)+b2cos(θI)=yI+yIO

(5)

(6)

(7)

其中：

(8)

(9)

圖1 平面運(yùn)動(dòng)剛體

(10)

(11)

式中：A、Bx、C、Dx為在第i個(gè)時(shí)間點(diǎn)是第i-1個(gè)時(shí)間點(diǎn)的已知函數(shù)，其中Bx，Dx為x的函數(shù)。

一端輸入一端輸出的平面運(yùn)動(dòng)剛體傳遞矩陣可表示為[12]：

(12)

式中：

u41=mA(yIO-yIC)，u42=mA(xIO-xIC)

u45=-yIO，u46=xIC

u43=-mAxIC(ti-1)xIO-mAyIC(ti-1)yIO+JIA

u47=-mC+u67xIO-u57yIO+JIB+

(mByI-fy,C)xIC+(fx,C-mBxI)yIC

u57=fx,C-mA(c1G1-c2G2)-mBxC

u67=fy,C-mA(c1G2+c2G1)-mByC

xIC(ti-1)=(c1cosθI-c2sinθI)|ti-1

yIC(ti-1)=(c1sinθI+c2cosθI)|ti-1

xIO(ti-1)=(b1cosθI-b2sinθI)|ti-1

yIO(ti-1)=(b1sinθI+b2cosθI)|ti-1

剛體間通過(guò)光滑鉸連接，光滑鉸兩端坐標(biāo)、力相等，內(nèi)力矩恒為零，即：

xO=xI,yO=yI

(13)

qx,O=qx,I,qy,O=qy,I

(14)

mO=mI=0

(15)

當(dāng)外接剛體輸出端內(nèi)力矩為零時(shí)，剛體另一端也為光滑鉸或自由邊界。由光滑鉸外接剛體傳遞方程得：

0=u41xO+u42yO+u43θO+u45qx,O+u46qy,O+u47(16)

式中：u41、u42、u43、u45、u46、u47為外接剛體傳遞矩陣元素。聯(lián)立式(13)～式(16)，得光滑鉸外接剛體輸出端內(nèi)力矩為零的光滑鉸傳遞矩陣[12]為：

(17)

式中：z=[x,y,θ,m,qx,qy,1]T為狀態(tài)矢量，x,y,θ為剛體位置坐標(biāo)及轉(zhuǎn)角；m,qx,qy為剛體所受力矩及內(nèi)力。

文獻(xiàn)[11]利用多體系統(tǒng)離散時(shí)間傳遞矩陣法求解光滑鉸連接的3剛體組成的平面運(yùn)動(dòng)三擺在重力作用下運(yùn)動(dòng)。并與用分析力學(xué)方法所得計(jì)算結(jié)果對(duì)比，兩種方法計(jì)算結(jié)果一致性較好，說(shuō)明可用多體系統(tǒng)離散時(shí)間傳遞矩陣法解決多剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。本文將該方法用于浮基多體系統(tǒng)在規(guī)則波作用下動(dòng)力響應(yīng)求解，并考慮附加質(zhì)量、阻尼對(duì)浮基起重系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)影響。

2 波浪作用

浮基多體系統(tǒng)在海上作業(yè)時(shí)受波浪作用而發(fā)生搖擺運(yùn)動(dòng)。與船舶在波浪中搖擺相同，浮基多體系統(tǒng)的浮基在波浪中的搖擺運(yùn)動(dòng)由波浪運(yùn)動(dòng)與浮基自由搖擺運(yùn)動(dòng)合成，浮基搖擺運(yùn)動(dòng)取決于兩運(yùn)動(dòng)周期比值[16]：

(18)

式中：α0為波浪最大波面角；Tθ為船舶搖擺周期；Tω為波浪周期；ω為波浪頻率。浮基在搖擺過(guò)程中所受靜水作用可用回復(fù)力矩表示[17]，即：

Mh=Volh

(19)

式中：Vol為船舶排水量；h為船舶重心G至浮心作用線垂直距離。

將浮基多體系統(tǒng)簡(jiǎn)化為平面兩剛體模型，見圖2。浮基、配重、吊臂簡(jiǎn)化為第一節(jié)剛體；繩索與重物簡(jiǎn)化為第二節(jié)剛體，兩節(jié)剛體間用光滑鉸連接，其中θ1，θ2分別為剛體1、2轉(zhuǎn)角(圖中轉(zhuǎn)角方向?yàn)檎?,浮基多體系統(tǒng)正浮狀態(tài)下θ1=0°,θ2=-90°。浮基多體系統(tǒng)各部件參數(shù)見表1。在對(duì)浮基多體系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，長(zhǎng)度比尺為1∶10，波浪波長(zhǎng)L=3.0m，波高H=0.04m，浮基模型在波浪中附加質(zhì)量系數(shù)及阻尼系數(shù)見表2。本文對(duì)浮基在橫搖角強(qiáng)迫振動(dòng)與波浪力作用下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，考察在強(qiáng)迫外力作用下兩剛體的角運(yùn)動(dòng)規(guī)律，本文結(jié)果均為系統(tǒng)在波浪中運(yùn)動(dòng)達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)結(jié)果。

表1 浮基多體系統(tǒng)各部件參數(shù)

表2 附加質(zhì)量系數(shù)和阻尼系數(shù)

圖2 浮基兩剛體模型

由于本文模擬浮基多體系統(tǒng)在微幅波作用下動(dòng)力響應(yīng)，故不考慮波浪輻射。據(jù)Froude-Krylov假設(shè)，波浪對(duì)浮基多體系統(tǒng)作用[17]的波浪水平力、垂直力、力矩分別為：

Ldsin[(kb/2)sinφ]sin(ωt)

(20)

(21)

(22)

其中：ρ為水的密度；g為重力加速度；k為波數(shù)；a,b為浮基長(zhǎng)、寬；L為波長(zhǎng)；φ為波向角；ω為波浪頻率；d為水深。

圖3為分別用傳遞矩陣法與式(18)對(duì)浮基兩剛體系統(tǒng)在波浪中橫搖運(yùn)動(dòng)的計(jì)算結(jié)果及與試驗(yàn)結(jié)果比較。試驗(yàn)用水池長(zhǎng)100 m，寬6 m，池水深2 m；用電液伺服驅(qū)動(dòng)控制的推板式造波機(jī)造波，造波頻率0.2～2 Hz，最大波高0.35 m；用光學(xué)運(yùn)動(dòng)測(cè)量?jī)x測(cè)量浮基運(yùn)動(dòng)參數(shù)及重物運(yùn)動(dòng)軌跡，光學(xué)運(yùn)動(dòng)測(cè)量?jī)x為K600型，誤差0.05 mm。由圖3可知，三種方法所得浮基橫搖運(yùn)動(dòng)周期吻合較好，但橫搖幅值相差較大。由于式(18)只考慮波浪與浮基的周期比，未考慮浮基配重、附加質(zhì)量及阻尼等因素影響，故所得橫搖角幅值與其它兩種結(jié)果相差較大；用傳遞矩陣法計(jì)算所得結(jié)果與試驗(yàn)較接近，說(shuō)明傳遞矩陣法對(duì)波浪中浮基多體系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算的正確性。

3 數(shù)值計(jì)算及分析

圖4、圖5分別為浮基兩剛體系統(tǒng)在不同幅值橫搖角強(qiáng)迫振動(dòng)作用下第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值及放大系數(shù)(即第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值與第一節(jié)剛體擺動(dòng)幅值比值)隨角強(qiáng)迫振動(dòng)頻率的變化。由二圖可知，當(dāng)?shù)谝还?jié)剛體所受橫搖角強(qiáng)迫振動(dòng)頻率增加時(shí)，第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值、擺動(dòng)放大系數(shù)逐漸增大。第一節(jié)剛體所受橫搖角強(qiáng)迫振動(dòng)幅值增加時(shí)，第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值逐漸增大，但擺動(dòng)放大系數(shù)基本不變?？赏茢?，第一節(jié)剛體所受角強(qiáng)迫振動(dòng)幅值及頻率繼續(xù)增加時(shí)，第二節(jié)剛體擺動(dòng)會(huì)更劇烈，甚至發(fā)生旋轉(zhuǎn)，出現(xiàn)較明顯放大現(xiàn)象。

表3為浮基兩剛體系統(tǒng)在幅值A(chǔ)=5°、不同頻率ω(s-1)的橫搖角強(qiáng)迫振動(dòng)作用下，第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值(°)隨剛體長(zhǎng)度l(m)的變化。由表3可知，第二節(jié)剛體長(zhǎng)度增加時(shí)，其擺動(dòng)幅值基本不變。

圖3 橫搖歷程對(duì)比圖

表3 第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值

圖6、圖7分別為浮基兩剛體系統(tǒng)(第二節(jié)剛體長(zhǎng)度l=0.3 m，吊臂仰角ψ=45°)在波浪作用下第一節(jié)剛體橫搖歷程與第二節(jié)剛體擺動(dòng)歷程隨系統(tǒng)起吊重物質(zhì)量變化比較圖。由二圖可知，起吊重物的質(zhì)量m=20 kg時(shí)，第一節(jié)剛體橫搖幅值與第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值達(dá)最大值，可能由于此時(shí)系統(tǒng)固有頻率較其它幾種工況更接近波浪頻率。隨起吊重物質(zhì)量的增加，浮基靜平衡傾角增大。兩節(jié)剛體均在自身平衡位置兩側(cè)對(duì)稱、規(guī)則擺動(dòng)。

圖6 第一節(jié)剛體橫搖歷程

圖8、圖9分別為浮基兩剛體系統(tǒng)(起吊重物質(zhì)量m=10 kg，吊臂仰角ψ=45°)在波浪作用下第一節(jié)剛體橫搖歷程與第二節(jié)剛體擺動(dòng)歷程隨第二節(jié)剛體長(zhǎng)度變化比較圖。由二圖可知，第一節(jié)剛體橫搖幅值與第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值隨第二節(jié)剛體長(zhǎng)度的增加而增大，且第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值的增加較第一節(jié)剛體橫搖幅值的增加大得多；l=0.4時(shí)第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值為l=0.2時(shí)4倍，重物擺動(dòng)更劇烈。

圖10、圖11分別為浮基兩剛體系統(tǒng)(第二節(jié)剛體長(zhǎng)度l=0.3，起吊重物質(zhì)量m=20 kg)在波浪作用下第一節(jié)剛體橫搖角歷程與第二節(jié)剛體擺動(dòng)歷程隨吊臂夾角變化比較圖，表4為對(duì)應(yīng)的第一節(jié)剛體橫搖幅值與第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值(°)。由二圖及表4知，吊臂仰角ψ=30°時(shí)，第一節(jié)剛體橫搖幅值與第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值較小，但過(guò)小的吊臂仰角會(huì)占用較多浮基甲板低層空間；吊臂仰角ψ=50°或ψ=60°時(shí)，第一節(jié)剛體橫搖幅值與第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值較大，而過(guò)大的吊臂仰角須增加吊臂長(zhǎng)度方能進(jìn)行起吊。

圖9 第二節(jié)剛體擺動(dòng)歷程

表4 剛體運(yùn)動(dòng)幅值

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)浮基兩剛體系統(tǒng)在橫搖角強(qiáng)迫振動(dòng)及波浪作用下動(dòng)力響應(yīng)數(shù)值模擬，結(jié)論如下：

(1)浮基兩剛體系統(tǒng)第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值隨第一節(jié)剛體所受橫搖角強(qiáng)迫振動(dòng)幅值及頻率的增加而增大，但第二節(jié)剛體長(zhǎng)度變化對(duì)擺動(dòng)幅值影響不大。

(2)在規(guī)則橫向波浪作用下，浮基兩剛體系統(tǒng)第一節(jié)剛體橫搖幅值及第二節(jié)剛體擺動(dòng)幅值隨起吊重物質(zhì)量的增加先增大后減小，隨第二節(jié)剛體長(zhǎng)度的增加而增大，隨吊臂仰角的增加而增大。

因此，當(dāng)浮基多體系統(tǒng)在海上進(jìn)行起吊作業(yè)時(shí)，在滿足起吊要求和操作方便的條件下，應(yīng)當(dāng)盡量減小繩索的長(zhǎng)度和吊臂的仰角，同時(shí)應(yīng)避免浮基多體系統(tǒng)固有頻率與波浪頻率接近，以減小浮基及起吊重物的變動(dòng)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]Henry R J, Masoud Z N, Nayfeh A H, et al. Cargo pendulation reduction of ship-mounted cranes via boom-luff angle actuation[J]. Journal of Vibration and Control, 2001,7(8):1253-1264.

[2]Chin C, Nayfeh A H, Abdel-Rahman E. Nonlinear dynamics of a boom crane[J].Journal of Vibration and Control, 2001, 7(2): 199-220.

[3]Chin C M, Nayfeh A H. Dynamics and control of ship-mounted cranes[J]. Journal of Vibration and Control, 2001, 7(6): 891-904.

[4]Ellermann K, Kreuzer E, Markiewicz M. Nonlineardynamics in the motion of a floating cranes [J]. Multibody, System,Dynamics,2003,9(4):377-387.

[5]Schellin T E, Jiang T,Sharma S D. Crane ship response to wave groups[J]. Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering,1999, 113(3):211-218.

[6]Idres M M, Youssef K S, MooK D T, et al. A nonlinear 8-dof coupled crane-ship dynamic model[C]//44th AIAA/ASME/ASCE/AHS Structures, Structural Dynamic, and Material Conference,Norfolk, 2003:1-8.

[7]李 躍, 沈 慶, 陳徐均. 波浪環(huán)境中作業(yè)起重船懸吊載荷的擺振分析[J]. 建筑機(jī)械, 2003(8):55-61.

LI Yue, SHEN Qing, CHEN Xu-jun. Swing analysis of suspended load of crane ship on the wave[J]. Construction Machinery, 2003(8):55-61.

[8]高崇仁, 任會(huì)禮. 海上起重船動(dòng)態(tài)特性仿真分析與實(shí)驗(yàn)研究[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2011,23(6):1233-1237.

GAO Chong-ren, REN Hui-li. Experimental and simulation studies on dynamic characteris of ship-mounted cranes[J]. Journal of System Simulation, 2011,23(6):1233-1237.

[9]陳新權(quán), 何炎平, 李洪亮,等. 全回轉(zhuǎn)起重船吊索動(dòng)力荷載及其對(duì)浮態(tài)及穩(wěn)性的影響 [J].上海交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 44(6):778-786.

CHEN Xin-quan, HE Yan-ping, LI Hong-liang, et al. Study on the dynamic load of rope and its effect on floating and stability of revolving crane vessel[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 2010,44(6):778-786.

[10]葛慧曉, 何炎平, 陳新權(quán),等. 起重船穩(wěn)性衡準(zhǔn)研究[J]. 中國(guó)港灣建設(shè),2010(3):69-71.

GE Hui-xiao, HE Yan-ping, CHEN Xin-quan, et al. Study on the stability criterion of crane ship[J]. China Harbour Engineering, 2010(3):69-71.

[11]芮筱亭. 多體系統(tǒng)傳遞矩陣法及其應(yīng)用[M]. 北京：科學(xué)出版社，2008

[12]Rui X T, He B, Lu Y Q, et al. Discrete time transfer matrix method for multibody system dynamics[J].Multibody System Dynamics, 2005,14(4):317-344.

[13]Rui X T, He B, Lu Y Q, et al. Discrete time transfer matrix method for multibody system dynamics[J]. Multibody System Dynamics, 2005,14(3-4):317-344

[14]李春明，芮筱亭. 多體系統(tǒng)傳遞矩陣法不須進(jìn)行違約修正的驗(yàn)證[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào),2005,3(3):7-12.

LI Chun-ming, Rui Xiao-ting. Validating on the transfer matrix method of multibody system without considering constraint violation correction[J]. Journal of Dynamics and Control, 2005,3(3):7-12.

[15]Rui X T, Rong B, He B, et al. Discrete time transfer matrix method of multi-rigid-flexible-body system[M]. New York: Proceedings of the International Conference on Mechanical Engineering and Mechanics,Science Press USA Inc., 2007:2244-2250.

[16]劉 紅. 船舶原理[M].上海:上海交通大學(xué)出版社，2009.

[17]王學(xué)林，尤心一，胡于進(jìn).規(guī)則波作用下起重船吊重動(dòng)力學(xué)仿真[J].中國(guó)機(jī)械工程,2010,21(9):1077-1082.

WANG Xue-lin, YOU Xin-yi,HU Yu-jin. Cargo pendulation analysis of moored crane ship under regular waves[J].Chinese Mechanical Engineering,2010,21(9): 1077-1082.

[18]賈欣樂(lè)，楊鹽生. 船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型[M].大連：大連海事大學(xué)出版社,1999.