應(yīng)力波作用下彈性直桿動(dòng)力分叉屈曲研究

毛柳偉, 王安穩(wěn), 鄧 磊， 韓大偉

(海軍工程大學(xué) 理學(xué)院，武漢 430033)

直桿在軸向沖擊下的動(dòng)力屈曲問題已有大量研究。大多采用放大函數(shù)法[1]尋求任意初始缺陷發(fā)展最快時(shí)對(duì)應(yīng)的屈曲模態(tài)，亦稱最優(yōu)模態(tài)。經(jīng)典的放大函數(shù)法要求結(jié)構(gòu)具有某種初始缺陷，且假定屈曲發(fā)生時(shí)桿中各截面處于均勻的軸向受力狀態(tài)，對(duì)高速?zèng)_擊的桿局部動(dòng)力屈曲該方法不再適用。直桿在高速?zèng)_擊載荷作用實(shí)驗(yàn)[2-5]表明，屈曲一般發(fā)生在結(jié)構(gòu)的局部，該現(xiàn)象的解釋需考慮應(yīng)力波效應(yīng)。文獻(xiàn)[6]認(rèn)為壓應(yīng)力波作用的結(jié)構(gòu)屈曲伴會(huì)隨應(yīng)力波在結(jié)構(gòu)中傳播或反射波與入射波疊加發(fā)生。文獻(xiàn)[7-8]認(rèn)為考慮應(yīng)力波效應(yīng)時(shí)結(jié)構(gòu)屈曲與應(yīng)力波傳播會(huì)耦合。文獻(xiàn)[9]對(duì)直桿動(dòng)力屈曲研究認(rèn)為直桿橫向位移出現(xiàn)振蕩解向發(fā)散解的轉(zhuǎn)變標(biāo)志著屈曲開始，而在屈曲模態(tài)選取中卻采用隨時(shí)間放大最快的模態(tài)，該模態(tài)顯然非文中的屈曲開始時(shí)刻模態(tài)。文獻(xiàn)[10]將直桿橫向位移出現(xiàn)振蕩解向發(fā)散解轉(zhuǎn)變時(shí)刻記為臨界屈曲時(shí)刻，認(rèn)為在分叉的一瞬間，桿并未橫向慣性效應(yīng)。文獻(xiàn)[11]在受剛性質(zhì)量塊軸向撞擊桿動(dòng)力屈曲分析中屈曲判斷準(zhǔn)則與文獻(xiàn)[10]相同，忽略了分叉瞬間桿的橫向慣性效應(yīng)，但在階躍載荷作用下桿的動(dòng)力屈曲中卻記入橫向慣性影響。文獻(xiàn)[12]據(jù)能量率守恒原理獲得波前附加約束條件，用雙特征參數(shù)法求解壓應(yīng)力波作用下直桿動(dòng)力屈曲問題，指出考慮慣性效應(yīng)所得臨界應(yīng)力值是忽略慣性效應(yīng)計(jì)算值的2.5倍。文獻(xiàn)[13]在對(duì)應(yīng)力波作用下直桿的動(dòng)力屈曲研究中用臨界屈曲時(shí)間作為動(dòng)力屈曲指標(biāo)，認(rèn)為動(dòng)力屈曲中臨界屈曲時(shí)刻的角色與靜力失穩(wěn)中臨界失穩(wěn)載荷相當(dāng)。文獻(xiàn)[14]對(duì)考慮應(yīng)力波的直桿分叉屈曲的研究，計(jì)算中僅考慮階躍載荷。

動(dòng)態(tài)加載包括階躍載荷與時(shí)變動(dòng)載荷，兩種載荷作用下直桿動(dòng)力屈曲尚無統(tǒng)一判別形式。本文分析表明屈曲模態(tài)中放大最快模態(tài)對(duì)應(yīng)的位移同時(shí)能滿足屈曲控制方程及附加約束條件[12]，可統(tǒng)一雙特征參數(shù)法與最優(yōu)模態(tài)法思想，并建立直桿動(dòng)力屈曲求解的數(shù)值方法。該方法可用于時(shí)變動(dòng)載荷作用并考慮應(yīng)力波效應(yīng)直桿動(dòng)力屈曲研究，且對(duì)階躍載荷及時(shí)變動(dòng)載荷引起應(yīng)力波作用的屈曲問題具有統(tǒng)一屈曲判別形式。通過對(duì)實(shí)驗(yàn)計(jì)算對(duì)比說明，該方法準(zhǔn)確可靠。

1 彈性壓應(yīng)力波作用下直桿動(dòng)力屈曲控制方程

圖1 壓應(yīng)力波作用下桿中軸向力(應(yīng)力波未反射)

(1)

或用能量率守恒原理[15]，得直桿屈曲控制方程為：

(2)

2 彈性壓應(yīng)力波作用下直桿動(dòng)力屈曲準(zhǔn)則

式(1)、(2)為對(duì)同一問題的不同描述。用式(1)求解桿中壓應(yīng)力波為階躍載荷時(shí)，可得屈曲模態(tài)的解析形式，故便于求解；但對(duì)時(shí)變動(dòng)載荷，如質(zhì)量塊撞擊引起桿中應(yīng)力波非均勻分布情況，用式(1)則不能求解。用式(2)求解時(shí)一般需設(shè)定屈曲模態(tài)，屈曲模態(tài)設(shè)定的形式會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定影響。為克服此困難，本文在對(duì)彈性直桿在應(yīng)力波作用的動(dòng)力分叉屈曲進(jìn)行分析、探討基礎(chǔ)上，統(tǒng)一雙特征參數(shù)理論與最優(yōu)模態(tài)法思想，采用有限元離散，建立求解時(shí)變動(dòng)載荷作用、考慮應(yīng)力波效應(yīng)直桿動(dòng)力屈曲理論方法。

將直桿用兩節(jié)點(diǎn)Euler-Bernouli梁?jiǎn)卧x散，單元的形函數(shù)為：

單元幾何剛度矩陣為：

彎曲剛度矩陣為：

一致質(zhì)量矩陣為：

其中：l0為單元長(zhǎng)度；[C]=[A]′；[D]=[A]″。

按幾何非線性有限元理論，直桿動(dòng)力屈曲控制方程可表述為：

(3)

式中：[M]為結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量矩陣；[K]，[Kσ]分別為結(jié)構(gòu)整體彎曲剛度矩陣及幾何剛度矩陣；{δ}為整體節(jié)點(diǎn)位移陣。

令整體節(jié)點(diǎn)位移陣為：

(4)

(5)

式(5)為壓應(yīng)力波作用下直桿發(fā)生動(dòng)力分叉屈曲的特征方程。由式(4)可知λ>0時(shí)結(jié)構(gòu)存在發(fā)散解；若屈曲模態(tài)一定，特征參數(shù)λ將直接決定屈曲模態(tài)放大程度。λ為關(guān)于臨界屈曲長(zhǎng)度l(l=ctcr)及軸向分布載荷的函數(shù)，臨界屈曲時(shí)載荷在桿中分布一般為已知，故λ為關(guān)于臨界屈曲長(zhǎng)度的函數(shù)，令：

(6)

即可得一定外載作用下，結(jié)構(gòu)屈曲發(fā)展最快模態(tài)(即最優(yōu)模態(tài))對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度。

分離變量，將桿屈曲位移函數(shù)寫成：

w(x,t)=Y(x)T(t)

(7)

其中：Y(x)為屈曲模態(tài)；T(t)為時(shí)間函數(shù)。

將式(7)代入式(2)，分離變量，得：

(8)

3 彈性壓應(yīng)力波作用下直桿動(dòng)力屈曲求解

為驗(yàn)證本文理論的正確性，對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行計(jì)算(計(jì)算時(shí)逐漸增加應(yīng)力波傳播長(zhǎng)度，每一長(zhǎng)度可得一個(gè)數(shù)組，取該數(shù)組中最大值，若該值大于零時(shí)對(duì)其開方得對(duì)應(yīng)該長(zhǎng)度的λ，否則對(duì)其絕對(duì)值開方，開方所得值的負(fù)數(shù)即為對(duì)應(yīng)該長(zhǎng)度的λ，由此所得λ能反映結(jié)構(gòu)屈曲時(shí)模態(tài)放大程度)。

3.1 算例1

文獻(xiàn)[11]中用空氣動(dòng)力槍加載，分別對(duì)撞擊端為夾支與簡(jiǎn)支約束試件進(jìn)行軸向沖擊實(shí)驗(yàn)。試件用45號(hào)鋼，彈性模量E=201 GPa，屈服極限σs=417 MPa，材料密度ρ=7 890 kg/m3，長(zhǎng)度L=460 mm。矩形截面：h=5 mm，b=10 mm。桿在應(yīng)力波反射前發(fā)生屈曲，應(yīng)力波在桿中傳播過程可用階躍載荷表示：

(9)

圖2 撞擊端夾支試件特征值λ與長(zhǎng)度l關(guān)系

為便于對(duì)比，引入無量綱量：

(10)

由表1知兩端固支直桿靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)約為4；一端簡(jiǎn)支，一端固支直桿靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)約為2。與相應(yīng)長(zhǎng)度直桿靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)吻合良好。由于撞擊端固支下一階臨界力參數(shù)為8.92[11],撞擊端簡(jiǎn)支情況下一階臨界力參數(shù)為5.09。而理論計(jì)算[12]得撞擊端固支、簡(jiǎn)支下一階臨界力參數(shù)分別為10、5，相應(yīng)的動(dòng)力特征參數(shù)分別為3、2；撞擊端簡(jiǎn)支情況下二階臨界力參數(shù)為13，相應(yīng)的動(dòng)力特征參數(shù)為6。對(duì)比可知，本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)吻合較好。由圖2、圖4看出，沖擊載荷越大，臨界屈曲長(zhǎng)度越小。

表1 試件1～6臨界力參數(shù)及動(dòng)力特征參數(shù)值

3.2 算例2

由文獻(xiàn)[2]，矩形截面細(xì)長(zhǎng)直桿一端固定、一端被一質(zhì)量M=0.369 kg的剛性體以v0=6.3 m/s速度撞擊，據(jù)實(shí)驗(yàn)裝置直桿撞擊端為簡(jiǎn)支。試件(記試件7)為Ni-Cr鋼，截面尺寸b=8.7 mm，h=0.63 mm，彈性模量E=210 GPa，材料密度ρ=7 778 kg/m3，σs=310 MPa。桿在應(yīng)力波反射前發(fā)生屈曲，應(yīng)力波在桿中傳播過程可表示為[9]：

(11)

經(jīng)計(jì)算，λ與l關(guān)系見圖6。由圖6看出：l=0.023 5 m時(shí)λ=0，該點(diǎn)與相應(yīng)長(zhǎng)度直桿靜力失穩(wěn)狀態(tài)對(duì)應(yīng)；一階最優(yōu)屈曲模態(tài)對(duì)應(yīng)的臨界長(zhǎng)度為0.036 5 m；二階最優(yōu)模態(tài)對(duì)應(yīng)的臨界長(zhǎng)度為0.059 m；三階最優(yōu)模態(tài)對(duì)應(yīng)的臨界長(zhǎng)度為0.081 5 m。

圖5 試件4一、二階屈曲模態(tài)

試件7前三階屈曲模態(tài)計(jì)算結(jié)果見圖7。整理圖6中數(shù)據(jù)，記σ=ρcv0，代入式(10)計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 試件7臨界力參數(shù)及動(dòng)力特征參數(shù)值

由表2可知一端簡(jiǎn)支、一端固支直桿靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)約為2，與相應(yīng)長(zhǎng)度直桿靜力失穩(wěn)臨界力參數(shù)吻合良好。而文獻(xiàn)[11]中該臨界力參數(shù)為5.09，文獻(xiàn)[12]中理論計(jì)算撞擊端簡(jiǎn)支一、二、三階臨界力參數(shù)分別為5、13、25，動(dòng)力特征參數(shù)分別為2、6、12。經(jīng)對(duì)比可看出本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[11-12]結(jié)果吻合較好。

4 結(jié) 論

(2) 經(jīng)與有關(guān)文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較表明，該方法準(zhǔn)確可靠，可用于時(shí)變動(dòng)載荷及階躍載荷時(shí)考慮應(yīng)力波效應(yīng)直桿動(dòng)力屈曲研究。

參 考 文 獻(xiàn)

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