數(shù)值級(jí)數(shù)法求解一類時(shí)滯微分方程

邱 寧

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院， 山東 青島 266106)

數(shù)值級(jí)數(shù)法求解一類時(shí)滯微分方程

邱 寧

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院， 山東 青島 266106)

采用級(jí)數(shù)形式給出半離散差分格式在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的數(shù)值解以及計(jì)算級(jí)數(shù)中的每一項(xiàng)遞推公式。離散后差分格式收斂性、穩(wěn)定性分析表明該格式收斂且穩(wěn)定，數(shù)值算例驗(yàn)證該方法有效。

時(shí)滯微分方程; 數(shù)值級(jí)數(shù)法; 收斂性; 穩(wěn)定性

0 引 言

延遲微分方程是描述眾多物理現(xiàn)象的一類方程之一，目前對(duì)延遲微分方程解析解的性質(zhì)研究的文獻(xiàn)較多[1-8]，而對(duì)數(shù)值解的研究較少。文中利用數(shù)值級(jí)數(shù)法求解一類初邊值時(shí)滯微分方程。

(1)

(2)

對(duì)vk(xm,tn)給出遞推公式進(jìn)行精確計(jì)算，在數(shù)值算例中只需取級(jí)數(shù)前8項(xiàng)就可以達(dá)到很高的精度。

1 數(shù)值級(jí)數(shù)法格式的構(gòu)造

xm=mh

tn=nΔt

將式(1)在點(diǎn)(xm,t)處半離散得到

(3)

在區(qū)間[tn,t],t∈(tn,tn+1]上對(duì)式(3)積分得到

(4)

(5)

由式(5)給出遞推公式:

(6)

當(dāng)m=0時(shí)，

(7)

當(dāng)m=M時(shí)，

(8)

當(dāng)m=1,2,…,M-1時(shí)，將t=tn,t=tn+1分別代入式(6)，利用梯形積分公式得

(9)

和

(10)

則可以得到

(11)

2 收斂性證明

(12)

寫成矩陣方程的形式為：

(13)

其中

由文獻(xiàn)[4]知式(11)收斂。

3 穩(wěn)定性證明

定理2 數(shù)值級(jí)數(shù)格式(10)無條件收斂。

證明 在等式

(14)

(15)

根據(jù)式(11)進(jìn)一步整理得

(16)

相應(yīng)得出誤差關(guān)系式：

(17)

寫成矩陣方程：

(18)

進(jìn)一步寫成

(19)

其中C=tridiag(r,-r)。

由文獻(xiàn)[4]知成立誤差估計(jì)

(20)

其中,ε0=(1+2k1τ)‖E0‖2,穩(wěn)定性證畢。

4 數(shù)值算例

精確解為:

u(x,t)=x2+t2

在數(shù)值計(jì)算時(shí)取Δt=0.005,取級(jí)數(shù)前8項(xiàng)，計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 數(shù)值解的相對(duì)誤差

從表1可以看出，數(shù)值級(jí)數(shù)法解決此類問題是一個(gè)有效的方法。

[1] 劉安平,肖莉,劉婷,等.拋物型時(shí)滯偏微分方程解振動(dòng)的充要條件[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2003,19(3):231-233.

[2] Jin Cheng Ri, Liu Ming Zhu. A new modification of adomian decomposition meehod for solving a kind of evolution equation [J]. Appl.Math.Comput,2005,169(2):953-962.

[3] 劉安平.非線性中立雙曲型偏微分方程解的振動(dòng)性質(zhì)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué),2002,23(6):604-610.

[4] 劉明鼎.數(shù)值級(jí)數(shù)法求解時(shí)滯拋物型方程[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2014,40(1):38-41.

[5] 郭長(zhǎng)勇,趙景軍,劉明珠.二階延遲微分方程解析解的漸近穩(wěn)定性[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2002(3):5-7.

[6] 劉麗環(huán),常晶,高艷超.二階常微分方程邊值問題的格林函數(shù)求法[J].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011，32(1):102-104.

[7] 杜穎,梅長(zhǎng)林.一類具有分布式記憶的帶跳隨機(jī)延遲微分方程半隱式歐拉數(shù)值解的收斂性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2014(2):215-228.

[8] 譚英賢,甘四清,王小捷.隨機(jī)延遲微分方程平衡方法的均方收斂性與穩(wěn)定性[J].計(jì)算數(shù)學(xué),2011(1):25-36.

Numerical series method for delay differential equation

QIU Ning

(Qingdao Technological University Qindao College, Qingdao 266106， China)

Numerical series is used to express the numerical solution of half-discrete differential equation and every recursion formula. Both the example and the analysis of the convergence and stability for the differential equation show that the numerical series method is feasible.

delay differential equation; numerical series method; convergence; stability.

2014-05-08

邱 寧(1980-)，女，漢族，山東煙臺(tái)人，青島理工大學(xué)琴島學(xué)院講師,碩士，主要從事非線性振動(dòng)控制和穩(wěn)定性分析方向研究,E-mail:524916281@qq.com.

O 175.26

A

1674-1374(2014)05-0589-04