橡皮擦下的明天

陸曉冬

經(jīng)常會(huì)有老師在測(cè)試后的評(píng)講中說(shuō)道：“這道題已經(jīng)做過(guò)講過(guò)好幾遍了，怎么還是有同學(xué)做錯(cuò)！”有些同學(xué)也有這樣的體會(huì)：明明這道題目老師上課講解過(guò)、作業(yè)做過(guò)、甚至考試考過(guò)，稍后做還是會(huì)做錯(cuò)，而且往往撞在同一棵樹(shù)上.這其實(shí)就是我們學(xué)習(xí)中的漏洞，我們要及時(shí)回顧這些錯(cuò)題，找出錯(cuò)誤的所在，理解產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因.這樣才能更有效地規(guī)避這些錯(cuò)誤，提高學(xué)習(xí)效率.

在選擇錯(cuò)題的時(shí)候我們應(yīng)該尋找周末練習(xí)、月測(cè)、單元測(cè)試中反復(fù)出現(xiàn)錯(cuò)誤的問(wèn)題.在這些測(cè)試中常常出現(xiàn)錯(cuò)誤的問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)也是自己的弱項(xiàng)，而在本章中這些問(wèn)題的出現(xiàn)往往會(huì)導(dǎo)致整道題目解題的失敗.大家善于處理一些直觀的、熟悉的問(wèn)題，對(duì)于具體而又抽象的問(wèn)題常常感到無(wú)所適從，在訂正的時(shí)候也往往無(wú)從下手，對(duì)于產(chǎn)生問(wèn)題的根本原因也很少反思.所以糾正錯(cuò)誤、預(yù)防錯(cuò)誤應(yīng)該是貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.下面我們一起來(lái)看看本章中容易出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤.

一、 不能正確判斷“三線八角”之間的位置關(guān)系

在“三線八角”的教學(xué)中老師往往會(huì)把同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的位置關(guān)系最后歸納為“F”型、“Z”型、“C”型. 大家很容易記住這些類(lèi)型，也很容易在簡(jiǎn)單的圖形中找到這些類(lèi)型，但是在復(fù)雜的圖形中卻不容易找出. 其實(shí)要規(guī)避這種錯(cuò)誤，我們可以在做題時(shí)動(dòng)筆描出這兩個(gè)角的兩條邊，找出公共邊（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角都有公共邊），這樣能更好地找出這些角之間的位置關(guān)系，從而通過(guò)角與角的數(shù)量關(guān)系得到線與線的位置關(guān)系.

【分析】本題出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，這是某位同學(xué)提供的一種證明方法.看似很好，在添加輔助線的時(shí)候也并不是很復(fù)雜，但是這位同學(xué)犯了典型“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤.“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和”，這個(gè)定理是運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理證明的，這很明顯是個(gè)“循環(huán)論證”.

【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，這種方法也是某位同學(xué)提供的證明方法，但是在上一題的講解后，相信已經(jīng)有同學(xué)能夠發(fā)現(xiàn)這種“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤了.

【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，在證明的時(shí)候利用了四邊形的內(nèi)角和為360°，我們可以發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和是由三角形內(nèi)角和為180°證明得到的，所以這種解法也犯了“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤.

四、 三角形中的各類(lèi)問(wèn)題

例如：能把三角形面積分成相等兩部分的是三角形的中線、角平分線、高？

在學(xué)習(xí)三角形之前已有了角的平分線是一條射線把角分成相等的兩個(gè)角這個(gè)先入為主的概念，但是在三角形中角平分線、中線、高是線段，而三角形面積的問(wèn)題應(yīng)該考慮的是底邊和高的乘積的一半，所以這里應(yīng)該考慮的是中線.

例如：三角形的高在作圖中的問(wèn)題

注意各邊的高應(yīng)該過(guò)相對(duì)的頂點(diǎn)，鈍角三角形有兩條高在三角形外部，直角三角形有兩條高在三角形邊上.

在學(xué)習(xí)時(shí)，每個(gè)人在理解上會(huì)有差異，而培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高自主學(xué)習(xí)能力對(duì)于中學(xué)生而言是很重要的.像上面的例子是大家學(xué)習(xí)初中幾何證明時(shí)經(jīng)常犯的錯(cuò)誤，因?yàn)閹缀巫C明題證明過(guò)程邏輯性很強(qiáng)，初學(xué)證明題時(shí)還不能將我們所學(xué)的知識(shí)串成一個(gè)系統(tǒng)，故而經(jīng)常犯這種錯(cuò)誤.對(duì)于錯(cuò)題進(jìn)行歸納分類(lèi)，避免以后犯相同的錯(cuò)誤，對(duì)于出現(xiàn)的問(wèn)題做到有效的預(yù)判，及時(shí)預(yù)防錯(cuò)誤的發(fā)生，能使我們的學(xué)習(xí)收到事半功倍的效果.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市江南中學(xué)）

經(jīng)常會(huì)有老師在測(cè)試后的評(píng)講中說(shuō)道：“這道題已經(jīng)做過(guò)講過(guò)好幾遍了，怎么還是有同學(xué)做錯(cuò)！”有些同學(xué)也有這樣的體會(huì)：明明這道題目老師上課講解過(guò)、作業(yè)做過(guò)、甚至考試考過(guò)，稍后做還是會(huì)做錯(cuò)，而且往往撞在同一棵樹(shù)上.這其實(shí)就是我們學(xué)習(xí)中的漏洞，我們要及時(shí)回顧這些錯(cuò)題，找出錯(cuò)誤的所在，理解產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因.這樣才能更有效地規(guī)避這些錯(cuò)誤，提高學(xué)習(xí)效率.

在選擇錯(cuò)題的時(shí)候我們應(yīng)該尋找周末練習(xí)、月測(cè)、單元測(cè)試中反復(fù)出現(xiàn)錯(cuò)誤的問(wèn)題.在這些測(cè)試中常常出現(xiàn)錯(cuò)誤的問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)也是自己的弱項(xiàng)，而在本章中這些問(wèn)題的出現(xiàn)往往會(huì)導(dǎo)致整道題目解題的失敗.大家善于處理一些直觀的、熟悉的問(wèn)題，對(duì)于具體而又抽象的問(wèn)題常常感到無(wú)所適從，在訂正的時(shí)候也往往無(wú)從下手，對(duì)于產(chǎn)生問(wèn)題的根本原因也很少反思.所以糾正錯(cuò)誤、預(yù)防錯(cuò)誤應(yīng)該是貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.下面我們一起來(lái)看看本章中容易出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤.

一、 不能正確判斷“三線八角”之間的位置關(guān)系

在“三線八角”的教學(xué)中老師往往會(huì)把同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的位置關(guān)系最后歸納為“F”型、“Z”型、“C”型. 大家很容易記住這些類(lèi)型，也很容易在簡(jiǎn)單的圖形中找到這些類(lèi)型，但是在復(fù)雜的圖形中卻不容易找出. 其實(shí)要規(guī)避這種錯(cuò)誤，我們可以在做題時(shí)動(dòng)筆描出這兩個(gè)角的兩條邊，找出公共邊（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角都有公共邊），這樣能更好地找出這些角之間的位置關(guān)系，從而通過(guò)角與角的數(shù)量關(guān)系得到線與線的位置關(guān)系.

【分析】本題出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，這是某位同學(xué)提供的一種證明方法.看似很好，在添加輔助線的時(shí)候也并不是很復(fù)雜，但是這位同學(xué)犯了典型“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤.“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和”，這個(gè)定理是運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理證明的，這很明顯是個(gè)“循環(huán)論證”.

【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，這種方法也是某位同學(xué)提供的證明方法，但是在上一題的講解后，相信已經(jīng)有同學(xué)能夠發(fā)現(xiàn)這種“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤了.

【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，在證明的時(shí)候利用了四邊形的內(nèi)角和為360°，我們可以發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和是由三角形內(nèi)角和為180°證明得到的，所以這種解法也犯了“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤.

四、 三角形中的各類(lèi)問(wèn)題

例如：能把三角形面積分成相等兩部分的是三角形的中線、角平分線、高？

在學(xué)習(xí)三角形之前已有了角的平分線是一條射線把角分成相等的兩個(gè)角這個(gè)先入為主的概念，但是在三角形中角平分線、中線、高是線段，而三角形面積的問(wèn)題應(yīng)該考慮的是底邊和高的乘積的一半，所以這里應(yīng)該考慮的是中線.

例如：三角形的高在作圖中的問(wèn)題

注意各邊的高應(yīng)該過(guò)相對(duì)的頂點(diǎn)，鈍角三角形有兩條高在三角形外部，直角三角形有兩條高在三角形邊上.

在學(xué)習(xí)時(shí)，每個(gè)人在理解上會(huì)有差異，而培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高自主學(xué)習(xí)能力對(duì)于中學(xué)生而言是很重要的.像上面的例子是大家學(xué)習(xí)初中幾何證明時(shí)經(jīng)常犯的錯(cuò)誤，因?yàn)閹缀巫C明題證明過(guò)程邏輯性很強(qiáng)，初學(xué)證明題時(shí)還不能將我們所學(xué)的知識(shí)串成一個(gè)系統(tǒng)，故而經(jīng)常犯這種錯(cuò)誤.對(duì)于錯(cuò)題進(jìn)行歸納分類(lèi)，避免以后犯相同的錯(cuò)誤，對(duì)于出現(xiàn)的問(wèn)題做到有效的預(yù)判，及時(shí)預(yù)防錯(cuò)誤的發(fā)生，能使我們的學(xué)習(xí)收到事半功倍的效果.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市江南中學(xué)）

經(jīng)常會(huì)有老師在測(cè)試后的評(píng)講中說(shuō)道：“這道題已經(jīng)做過(guò)講過(guò)好幾遍了，怎么還是有同學(xué)做錯(cuò)！”有些同學(xué)也有這樣的體會(huì)：明明這道題目老師上課講解過(guò)、作業(yè)做過(guò)、甚至考試考過(guò)，稍后做還是會(huì)做錯(cuò)，而且往往撞在同一棵樹(shù)上.這其實(shí)就是我們學(xué)習(xí)中的漏洞，我們要及時(shí)回顧這些錯(cuò)題，找出錯(cuò)誤的所在，理解產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因.這樣才能更有效地規(guī)避這些錯(cuò)誤，提高學(xué)習(xí)效率.

在選擇錯(cuò)題的時(shí)候我們應(yīng)該尋找周末練習(xí)、月測(cè)、單元測(cè)試中反復(fù)出現(xiàn)錯(cuò)誤的問(wèn)題.在這些測(cè)試中常常出現(xiàn)錯(cuò)誤的問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)也是自己的弱項(xiàng)，而在本章中這些問(wèn)題的出現(xiàn)往往會(huì)導(dǎo)致整道題目解題的失敗.大家善于處理一些直觀的、熟悉的問(wèn)題，對(duì)于具體而又抽象的問(wèn)題常常感到無(wú)所適從，在訂正的時(shí)候也往往無(wú)從下手，對(duì)于產(chǎn)生問(wèn)題的根本原因也很少反思.所以糾正錯(cuò)誤、預(yù)防錯(cuò)誤應(yīng)該是貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.下面我們一起來(lái)看看本章中容易出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤.

一、 不能正確判斷“三線八角”之間的位置關(guān)系

在“三線八角”的教學(xué)中老師往往會(huì)把同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的位置關(guān)系最后歸納為“F”型、“Z”型、“C”型. 大家很容易記住這些類(lèi)型，也很容易在簡(jiǎn)單的圖形中找到這些類(lèi)型，但是在復(fù)雜的圖形中卻不容易找出. 其實(shí)要規(guī)避這種錯(cuò)誤，我們可以在做題時(shí)動(dòng)筆描出這兩個(gè)角的兩條邊，找出公共邊（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角都有公共邊），這樣能更好地找出這些角之間的位置關(guān)系，從而通過(guò)角與角的數(shù)量關(guān)系得到線與線的位置關(guān)系.

【分析】本題出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，這是某位同學(xué)提供的一種證明方法.看似很好，在添加輔助線的時(shí)候也并不是很復(fù)雜，但是這位同學(xué)犯了典型“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤.“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和”，這個(gè)定理是運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理證明的，這很明顯是個(gè)“循環(huán)論證”.

【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，這種方法也是某位同學(xué)提供的證明方法，但是在上一題的講解后，相信已經(jīng)有同學(xué)能夠發(fā)現(xiàn)這種“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤了.

【分析】本題也是出現(xiàn)在三角形內(nèi)角和為180°的證明問(wèn)題中，在證明的時(shí)候利用了四邊形的內(nèi)角和為360°，我們可以發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和是由三角形內(nèi)角和為180°證明得到的，所以這種解法也犯了“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤.

四、 三角形中的各類(lèi)問(wèn)題

例如：能把三角形面積分成相等兩部分的是三角形的中線、角平分線、高？

在學(xué)習(xí)三角形之前已有了角的平分線是一條射線把角分成相等的兩個(gè)角這個(gè)先入為主的概念，但是在三角形中角平分線、中線、高是線段，而三角形面積的問(wèn)題應(yīng)該考慮的是底邊和高的乘積的一半，所以這里應(yīng)該考慮的是中線.

例如：三角形的高在作圖中的問(wèn)題

注意各邊的高應(yīng)該過(guò)相對(duì)的頂點(diǎn)，鈍角三角形有兩條高在三角形外部，直角三角形有兩條高在三角形邊上.

在學(xué)習(xí)時(shí)，每個(gè)人在理解上會(huì)有差異，而培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高自主學(xué)習(xí)能力對(duì)于中學(xué)生而言是很重要的.像上面的例子是大家學(xué)習(xí)初中幾何證明時(shí)經(jīng)常犯的錯(cuò)誤，因?yàn)閹缀巫C明題證明過(guò)程邏輯性很強(qiáng)，初學(xué)證明題時(shí)還不能將我們所學(xué)的知識(shí)串成一個(gè)系統(tǒng)，故而經(jīng)常犯這種錯(cuò)誤.對(duì)于錯(cuò)題進(jìn)行歸納分類(lèi)，避免以后犯相同的錯(cuò)誤，對(duì)于出現(xiàn)的問(wèn)題做到有效的預(yù)判，及時(shí)預(yù)防錯(cuò)誤的發(fā)生，能使我們的學(xué)習(xí)收到事半功倍的效果.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市江南中學(xué)）