動態(tài)世界?搖 亮點永恒

朱建良

［摘要］ 教學時，教師應有意識地引導學生從“變”的現象中發(fā)現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索“變”的規(guī)律，感受到數學的魅力，在探究的體驗中加深對幾何變換的理解.

［關鍵詞］ 類比；探究；拓展

隨著新課改的進行，各地中考數學試卷異彩紛呈，尤其是動態(tài)問題的數學壓軸題，題型新穎，設計精巧，既繼承傳統(tǒng)又勇于創(chuàng)新，以一些基本圖形、核心概念為基礎展開問題探究，體現能力立意和學科本質，具有典型性、示范性和遷移性，這些試題體現了命題者對于數學思想方法及數學教學的一些認識和理念，對廣大一線數學教師的課堂教學起到非常好的導向作用．

本文對一道中考動態(tài)數學試題探索分析，期與同仁相互切磋，為推動數學教研活動盡微薄之力．

■ 試題呈現

（2013江蘇蘇州）如圖1所示，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10 cm，BC＝12 cm. 點E，F，G分別從A，B，C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1 cm/s，點F的運動速度為3 cm／s，點G的運動速度為1.5 cm／s. 當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動. 在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB′F，設點E，F，G運動的時間為t（單位：s）.

■

（1）當t＝______s時，四邊形EBFB′為正方形.

（2）若以點E，B，F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值.

（3）是否存在實數t，使得點B′與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

■ 解法探究

（1） 2.5.

（2）由題意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t，BE=10－t，FC=12－3t，因為點F在BC上運動，所以0≤t≤4. ①當△EBF∽△FCG時，■=■，解得t=■；②當△EBF∽△GCF時，■=■，化簡得t 2+28t－80=0，解得t■= －14+2■，t■=－14－2■（舍去）. 因為0≤t≤4，所以t=■或t=－14+2■，符合題意．

（3）不存在．理由如下：如圖2所示，連結BD，因為點O為矩形ABCD的對稱中心，所以點O為BD的中點. 假設存在實數t，使得點B′與點O重合，EF垂直平分OB于點H，則易知BD=2■，BH=■=■. 易證△EHB∽△BHF∽△BCD，所以BF=■，BE=■. 所以AE=10－BE=■. 因為■≠3，所以不存在實數t使得點B′與點O重合.

■

■ 追根溯源

（2006河北）如圖3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，動點P從點A出發(fā)，沿AC邊向點C以每秒3個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，沿CB邊向點B以每秒4個單位長度的速度運動. P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動. 在運動過程中，△PCQ關于直線PQ對稱的圖形是△PDQ，設運動時間為t（s）.

■

（1）設四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數關系式.

（2）t為何值時，四邊形PQBA是梯形？

（3）是否存在時刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

（4）通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想——是否存在時刻t使得PD⊥AB？若存在，請估計t的值在下面哪個時間段內：0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4. 若不存在，請簡要說明理由．

解析?搖 （1）因為CQ=4t，PC=12－3t，所以S△PCQ=－6t 2+24t. 所以y=2S△PCQ=－12t 2+48t.

（2）如圖4所示，因為PQ∥AB，所以△CPQ∽△CAB. 因為PC=12-3t，CQ=4t，■=■，所以t=2.

■

（3）如圖5所示，延長PD交CB于點E，要使PD∥AB，則必有△PCE∽△ACB，△QDE∽△ACB，所以■=■=■. 所以PE=20-5t，CE=16-4t，DE=8-2t. 所以■=■. 所以t=■.

■

（4）如圖6所示，延長PD交AB于點F，過點Q作QG⊥AB于點G，PC=PD=12-3t，QB=16-4t，又PF⊥AB，所以△APF∽△ABC，△QBG∽△ABC. 所以■=■. 所以PF=■，DF=■-12. 所以■=■. 所以t=■. 時間段為2

■

■ 追蹤類比

（2012湖北天門）如圖7所示，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=8 cm，點E，F，G分別從A，B，C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點E，G的速度均為2 cm/s，點F的速度為4 cm/s，當點F追上點G（即點F與點G重合）時，三個點隨之停止運動. 設移動開始后第t s時，△EFG的面積為S（cm2）. ?搖?搖

■

（1）當t=1 s時，S的值是多少？

（2）寫出S與t之間的函數關系式，并指出自變量t的取值范圍．

（3）若點F在矩形的邊BC上移動，當t為何值時，以點E，B，F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似？請說明理由．

■

解析?搖 （1）S=24．

（2）S=8t2-32t+48（0≤t≤2），S=-8t+32（2

（3）t=■時，△EBF∽△FCG；t=■時，△EBF∽△GCF．

■ 研析設計共性，彰顯數學本質

1.?搖問題搭臺，思維唱戲

河北28題主要考查了圖形對稱性質、梯形、相似三角形、勾股定理、方程等知識，在運動狀態(tài)下，建構數學基本圖形解題．天門市24題分類討論探究運動變化的面積S與t的函數關系，考查學生對基本幾何圖形特征的理解，由特殊到一般設計題組循序漸進，螺旋上升，以△EFG的面積為切入點，延伸思維觸角． 蘇州市28題以問題（1）（2）由 “以靜制動”到“動靜互化”，使學生思維由淺入深，拾階而上，化多點運動問題為幾何基本圖形求解，問題（3）另辟蹊徑，問題呈開放性，從假設兩點重合的結論展開探究，在對稱變換環(huán)境中進行觀察、猜想、推理計算，讓學生體會到變化中不變的特殊四邊形和相似三角形的性質，有意識地引導學生從“變”的現象中發(fā)現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索“變”的規(guī)律，感受到數學的魅力，在探究的體驗中加深對幾何變換的理解．三題的問題背景、涉及知識相同，但對主干知識的延伸拓展各有創(chuàng)新，以能力立意，關注學生思維品質培養(yǎng)．

2.?搖提煉幾何圖形性質，揭示內在規(guī)律

三題的共性都是先通過對運動圖形涉及問題的特殊情況進行探究求解，通過對復雜的幾何圖形進行分解，從中找出基本圖形，從中發(fā)現運動變化中幾何圖形的規(guī)律，進而設置最后一問，引導學生利用這個規(guī)律，找到解決問題的思路和方法，使學生的思維發(fā)展螺旋上升，促成學生的能力生成．河北28題第（4）問，在梯形中添加輔助線轉化為矩形及相似的直角三角形，解題過程體現了靈活應用轉化、建模的數學思想方法．天門市24題側重于引導學生利用點的運動時間t來表示△EFG的面積，分類討論運動變化的點的特殊位置，將圖形和題目中的條件巧妙結合，深層次地挖掘各知識點之間的有效聯(lián)系，解法簡捷、流暢．蘇州28題以第（1）問為知識起點，引導學生思維發(fā)展到一個良好平臺，第（3）問意在運動變化中聚焦矩形對角線的交點問題展開探究，剖析對稱點B′與點O重合的隱含條件，是本題的難點，巧妙利用圖形的軸對稱和中心對稱介入再探究，是本題的點睛之筆，凸現命題設計的靈活性，第（3）問立意較高，思路靈活，區(qū)分度高，突出選拔功能．

■ 教學導向分析

1. 精心設置問題，彰顯數學本質

本題為運動型綜合問題，主題明確，線索清晰，在點的運動過程中構造新的幾何圖形，考查了矩形性質、軸對稱、相似三角形的判定性質、勾股定理、解方程等知識點，第（1）問結合正方形的特征求解，第（2）問需分類討論，利用相似三角形的性質列出方程求解，第（3）問設問亮麗，內涵深刻，突出對教師教學行為和學生學習能力培養(yǎng)的導向，第（3）問先假設存在，然后根據圖形的對稱性特點構造三角形相似的基本模型，推導出矛盾的結論，問題環(huán)環(huán)相扣，層層深入，鏈接緊密，強化了學生對運動變化過程中幾何圖形之間內在聯(lián)系的認識，問題設置有效遵循了學生已有知識經驗與認知規(guī)律，實現了從知識立意向能力立意的轉化．

2. 立足方法引領，關注思維提升

用運動、變化的觀點審視幾何圖形，滲透對稱變換的數學思想，第（3）問中點B′與點O是否重合的探究，為學生提供了外顯的“點”的重合到內隱的尋找相似三角形構建方程的思維場，幫助學生深刻理解對稱問題的本質，幫助學生在運動變化的圖形中尋找關鍵條件，又怎樣挖掘出隱含條件，猜想推理融化一體，調動腦中的“內存”，匯聚題中信息，正確識圖，剖析結構特征，綜合利用軸對稱性質及相似三角形性質，找到解題的突破口，走向“柳暗花明又一村”的坦途，突破難點，把隱性條件顯性化，提升認知水平，積累數學活動經驗，引導學生思維向縱深發(fā)展．

3. 滲透構造思維，力求創(chuàng)新

仔細分析本題的條件，發(fā)現可用來構造模型的運動因素，第（3）問首先假設點B′與點O重合，確定對稱特定的對應關系，構造數學相似的模型，再回到原來的問題上，構造數學模型，著眼點在問題的數學機理、機構，即相似的三個母子直角三角形模型，轉化到探求“BH=■BD”關系的巧妙應用，從陌生到熟悉、從暗到明、從未知到已知的信息轉化，領悟其中的思想精髓，使其逐漸內化為自己的經驗，形成解決問題的自覺意識．深入探究求解過程也是學生一個再創(chuàng)造過程，需要學生具有創(chuàng)新思維和開拓精神，同時也正是通過這種學習過程培養(yǎng)學生的開拓意識、創(chuàng)新意識．

■ 借題發(fā)揮，拓展再探究

（1）t為何值時，EF⊥FG？

解析?搖 如圖9所示，由Rt△EBF∽Rt△FCG得■=■，所以t=■．

■

（2）t為何值時，點B關于EF的對稱點B′在BD邊上？

解析?搖 如圖10所示，此時有EF⊥BB′，于是Rt△EBF∽Rt△BCD，所以■=■，解得t=■．

■

（3）如圖11所示，以點B為原點建立平面直角坐標系，雙曲線y=■經過矩形ABCD的交點O′和點G時，請判斷點B′是否在該圖象上．

■

解析?搖 可求出O′（6，5），y=■，G12，■，此時t=■. 容易求得BE=■，BF=5，BB′=■■，所以點B′■，■■，所以點B′不在該雙曲線上．

拓展問題表述簡約，自然流暢，設問角度有新意，翻折后的對稱點位置，帶給人一種意猶未盡卻又綿綿不絕的探究意境，“點動”帶動“線動”，“線動”帶動“形動”，數形結合，把觀察、探究、計算推理融于一體，由點B的對稱點B′的位置展開探究，運用通性、通法縱深探究，在平面直角坐標系中設置特殊對稱點位置探究問題，引發(fā)學生的聯(lián)想，啟迪學生思維，拓寬學生思路，以尋找相似三角形基本模型為突破口，綜合運用方程、直角三角形、函數等核心知識靈活解決問題，揭示解析幾何最本質的思想——幾何問題代數化，關注了類比、轉化等數學思想方法的考查，全面提升學生綜合分析問題和解決問題的能力．