解決分式相關(guān)問(wèn)題的十五種常用策略

莫芬利 劉清泉

［摘要］ 解決與分式相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問(wèn)題得到迅速準(zhǔn)確的解答．其中有很多方法具有典型性和代表性，本文就相關(guān)問(wèn)題的解答梳理其中的常用策略.

［關(guān)鍵詞］ 分式問(wèn)題；常用策略

分式是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，競(jìng)賽中與分式化簡(jiǎn)、求值、證明、變形和方程等相關(guān)的試題，求解時(shí)通常技巧性很強(qiáng)． 筆者就近幾年的熱點(diǎn)試題，歸納其中使用頻率較高的技巧和方法．

■ 分組求和

例1（2002上海）計(jì)算：■+■+…+■+…+■=________．

解析?搖 由■+■=■=2，

易知，可對(duì)所求式分組求和，易得答案為99．

■ 約分先行

例2?搖 化簡(jiǎn)： ■+■+■.

解析?搖 原式=■+■+■

=■+■+■

=1

■ 分組通分

例3?搖 求證：■+■+■=■+■+■+■.

證明?搖 由■－■+■－■+■－■

=■+■+■=■，得證．

■ 分步通分

例4（2004希望杯）代數(shù)式=■+■+■+■，化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)________．

解析?搖 原式=■+■+■=■+■=■．

■ 分離整式

例5?搖 化簡(jiǎn)：■+■－■.

解析?搖 原式=■+■－■

=2－■+2+■－4－■=■.

■ 同取倒數(shù)

例6（2009天津）已知■=2，■=3，■=4，求7x+5y-2z的值．

解析?搖 由已知可得■=■+■=■，■=■+■=■，■=■+■=■，

則■=■，■=■，■=■，解得x=■，y=■，z=24，則7x+5y-2z=0．

■ 等比設(shè)“k”

例7（2008北京）若■=■=■=■，求■+■+■+■的值.

解析?搖 設(shè)■=■=■=■=k，則k（y+z+u）=x，k（z+u+x）=y，k（u+x+y）=z，k（x+y+z）=u. 于是3k（x+y+z+u）=x+y+z+u. 所以x+y+z+u=0或k=■. 當(dāng)x+y+z+u=0時(shí)，易求所求式=－4；當(dāng)k=■時(shí)，由y+z+u=3x，z+u+x=3y，u+x+y=3z，x+y+z=3u易得x=y=z=u，此時(shí)所求式=4．

點(diǎn)評(píng)?搖 本題亦可利用等比的性質(zhì)求解，不過(guò)需要分x+y+z+u是否等于0進(jìn)行討論．

■ 裂項(xiàng)相消

例8（2007全國(guó)競(jìng)賽） 已知對(duì)于任意正整數(shù)n，都有a1+a2+…+an=n3，則■+■+…+■=________．

解析?搖 由a■+a■+…+an=n3及a■+a■+…+a■=（n－1）3，得a■=n3－（n－1）3=3n2－3n+1，則■=■=■■－■，則■+■+…+■=■·1－■+■－■+…+■－■=■．

■ 排序放縮

例9（2011全國(guó)競(jìng)賽）設(shè)S=■+■+■+…+■，則4S的整數(shù)部分等于________．

A. 4?搖?搖?搖?搖?搖B. 5?搖?搖?搖?搖?搖 C. 6?搖?搖?搖?搖?搖D. 7?搖

解析?搖 當(dāng)k=2，3，…，2011時(shí)，■<■=■■－■，得1

點(diǎn)評(píng)?搖 此類問(wèn)題常借助裂項(xiàng)相消達(dá)到放縮的目的，特別地，有時(shí)結(jié)合輪換對(duì)稱的特性需要先排序再放縮．

■ 逆代相關(guān)

例10?搖 （2012全國(guó)聯(lián)賽）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足abc=-1，a+b+c=4，■+■+■=■，則a2+b2+c2＝________．

解析由abc=-1，■+■+■=■，得■+■+■=■，則■+■+■=■. 于是■+■+■=■，所以■+■+■=■. 化簡(jiǎn)得－■=1－a－b－c+ac+bc+ca－abc，所以2ab+2bc+2ca=－■. 所以a 2+b 2+c 2=（a+b+c） 2－（2ab+2bc+2ca）=■．

■ 整體換元

例11?搖 （2014北京）求證：對(duì)任意兩兩不等的三個(gè)數(shù)a，b，c，■+■+■是常數(shù).

證明?搖 設(shè)a+b－c=x①，b+c－a=y②，c+a－b=z③，①-②得a－c=■，②-③得b－a=■，③-①得c－b=■．

所以原式=■+■+■

=■

=■

=■

=■

=4.

點(diǎn)評(píng)?搖 本題通過(guò)對(duì)較為復(fù)雜的分子整體換元，達(dá)到了使分式形式更為簡(jiǎn)單的目的，從而易于對(duì)分式變形．

■ 整體代入

例12?搖 （2006江蘇）如果■=■，那么■=_________．

解析?搖 由■=■得■=■，從而x2+■=3，所以所求式=■=4.

■ 整體求值

例13（2012全國(guó)競(jìng)賽）如果a，b，c是正數(shù)，且滿足a+b+c=9，■+■+■=■，那么■+■+■的值為_(kāi)________．

解析?搖 由已知可得■+■+■=10，則■+1+■+1+■+1=10，故■+■+■=7．

■ 因式分解

例14 （2009全國(guó)聯(lián)賽）已知正數(shù)a，b，c滿足如下兩個(gè)條件：a+b+c=32，■+■+■=■. 證明：以■，■，■為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形．

解析?搖 由■+■+■=■得■+■+■=■，化簡(jiǎn)得abc－128（a+b+c）+8（a 2+b 2+c 2）=0（﹡）. 由（a+b+c） 2=（a 2+b2+c2）+2（ab+bc+ca）=32 2得a 2+b2+c2=1024－2（ab+bc+ca），代入（﹡）式，得abc－16（ab+bc+ca）－128·（a+b+c）+8192=0，所以abc－16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）－4096=0. 對(duì)左邊以a為主元分組因式分解，得a（bc－16b－16c+256）－16（bc－16b－16c+256）=0，所以（a－16）（b－16）（c－16）=0. 所以a=16或b=16或c=16. 又a+b+c=32，所以，a=b+c，b=c+a，c=a+b至少有一個(gè)成立，證畢．

點(diǎn)評(píng)?搖 很多與分式相關(guān)的題目，通常通過(guò)“去分母”轉(zhuǎn)化為整式問(wèn)題，從而利用整式的相關(guān)解題方法（特別是因式分解）加以解決．

■ 借助函數(shù)

例15?搖 a，b，c互不相等，證明：■+■+■=x 2．

解析記等式左邊為f（x），顯然，f（a）=a 2，f（b）=b 2，f（c）=c 2. 易知，點(diǎn)（a，a 2），（b，b 2），（c，c 2）都在f（x）的圖象上，又都在g（x）=x 2的圖象上，由不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一條拋物線，可知f（x）=g（x）=x 2，證畢．

本文中，筆者結(jié)合與分式相關(guān)的初中競(jìng)賽試題，例析其中的常見(jiàn)類型及其解決策略，并力求將相關(guān)的策略封閉，不過(guò)，其中有些案例的解決另有它法，同時(shí)，與分式相關(guān)的其他問(wèn)題，由于缺乏普遍性、代表性，此處不再贅述．