勾股定理的三維推廣

肖敏

摘要：本文利用計(jì)算三角形面積的方法證明了三維空間中的勾股定理。

關(guān)鍵詞：勾股定理；直四面體；面積；凌錐的體積

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0236-02

勾股定理“直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即a2+b2=c2.如何把這一定理推廣到三維空間中去呢？首先我們要進(jìn)行如下的類比：一個(gè)三角形包含不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)，類似的，一個(gè)四面體包含不在同一平面上的四個(gè)點(diǎn)。二維空間中一個(gè)直角三角形與三維空間中在以同一頂點(diǎn)出發(fā)具有三個(gè)直角面的四面體類比（圖1）。顯然，在這個(gè)四面體中以O(shè)A、OB、OC為棱的二面角都是直二面角。圖1（a）中直角三角形的邊a、b、c的長(zhǎng)與圖1（b）中四面體中的四個(gè)面AOB、BOC、COA、ABC的面積相類比。直角三角形的斜邊c的長(zhǎng)可以由兩直角邊求得，那么如圖的直四面體的底面ABC的面積是否可以由其他面的面積求得呢？也就是說(shuō)二維空間中的直角三角形三邊有勾股定理關(guān)系，那么在三維空間中的直四面體四個(gè)面之間的關(guān)系有否類似的勾股定理關(guān)系呢？

我們先看特殊情況。令：OA=OB=OC=2，如圖1（b），則直四面體的側(cè)面積相等，且S△AOB=S△BOC=S△COA=2.底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其面積為：=2。顯然滿足：（△AOB面積）2+（△BOC面積）2+（△COA面積）2=（△ABC面積）2。

再看一般情況：

設(shè)AO=n；BO=m；CO=h（圖2）。作OD垂直于BC；設(shè)OD=d，

連接AD，作OE垂直于AD；

設(shè)OE=x，則根據(jù)要求，

只要證明：

（1）

mn+

nh+

mh=（△ABC面積）2。

為求△ABC的面積，可以利用棱錐的體積公式。

（2）（△BOC面積）·n=

mhn=（△ABC面積）·x.

現(xiàn)在d是△BOC的高，于是有：

△BOC面積=mh=d（BC）=d

因此d=，兩邊平方得：

（3）d2=

因?yàn)閤是△AOD中AD邊上的高的長(zhǎng)度，

△AOD的面積dn=x（AD）=x，從而x=，代入（2）得：（mhn）=（△ABC面積）·，

約去，并乘以有：△ABC的面積=mh，

（三角形ABC面積）2=m2h2（+1），

以（3）式的d2代入，就得

=n2m2+n2h2+m2h2

（△AOB的面積）2+（△AOC的面積）2+（△BOC的面積）2。

證畢。從而在三維空間中有這樣一個(gè)定理：一個(gè)直四面體的側(cè)面的面積的平方和等于它底面面積的平方。這個(gè)定理可以看作勾股定理在三維空間中的一個(gè)推廣。

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摘要：本文利用計(jì)算三角形面積的方法證明了三維空間中的勾股定理。

關(guān)鍵詞：勾股定理；直四面體；面積；凌錐的體積

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0236-02

勾股定理“直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即a2+b2=c2.如何把這一定理推廣到三維空間中去呢？首先我們要進(jìn)行如下的類比：一個(gè)三角形包含不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)，類似的，一個(gè)四面體包含不在同一平面上的四個(gè)點(diǎn)。二維空間中一個(gè)直角三角形與三維空間中在以同一頂點(diǎn)出發(fā)具有三個(gè)直角面的四面體類比（圖1）。顯然，在這個(gè)四面體中以O(shè)A、OB、OC為棱的二面角都是直二面角。圖1（a）中直角三角形的邊a、b、c的長(zhǎng)與圖1（b）中四面體中的四個(gè)面AOB、BOC、COA、ABC的面積相類比。直角三角形的斜邊c的長(zhǎng)可以由兩直角邊求得，那么如圖的直四面體的底面ABC的面積是否可以由其他面的面積求得呢？也就是說(shuō)二維空間中的直角三角形三邊有勾股定理關(guān)系，那么在三維空間中的直四面體四個(gè)面之間的關(guān)系有否類似的勾股定理關(guān)系呢？

我們先看特殊情況。令：OA=OB=OC=2，如圖1（b），則直四面體的側(cè)面積相等，且S△AOB=S△BOC=S△COA=2.底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其面積為：=2。顯然滿足：（△AOB面積）2+（△BOC面積）2+（△COA面積）2=（△ABC面積）2。

再看一般情況：

設(shè)AO=n；BO=m；CO=h（圖2）。作OD垂直于BC；設(shè)OD=d，

連接AD，作OE垂直于AD；

設(shè)OE=x，則根據(jù)要求，

只要證明：

（1）

mn+

nh+

mh=（△ABC面積）2。

為求△ABC的面積，可以利用棱錐的體積公式。

（2）（△BOC面積）·n=

mhn=（△ABC面積）·x.

現(xiàn)在d是△BOC的高，于是有：

△BOC面積=mh=d（BC）=d

因此d=，兩邊平方得：

（3）d2=

因?yàn)閤是△AOD中AD邊上的高的長(zhǎng)度，

△AOD的面積dn=x（AD）=x，從而x=，代入（2）得：（mhn）=（△ABC面積）·，

約去，并乘以有：△ABC的面積=mh，

（三角形ABC面積）2=m2h2（+1），

以（3）式的d2代入，就得

=n2m2+n2h2+m2h2

（△AOB的面積）2+（△AOC的面積）2+（△BOC的面積）2。

證畢。從而在三維空間中有這樣一個(gè)定理：一個(gè)直四面體的側(cè)面的面積的平方和等于它底面面積的平方。這個(gè)定理可以看作勾股定理在三維空間中的一個(gè)推廣。

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摘要：本文利用計(jì)算三角形面積的方法證明了三維空間中的勾股定理。

關(guān)鍵詞：勾股定理；直四面體；面積；凌錐的體積

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0236-02

勾股定理“直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即a2+b2=c2.如何把這一定理推廣到三維空間中去呢？首先我們要進(jìn)行如下的類比：一個(gè)三角形包含不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)，類似的，一個(gè)四面體包含不在同一平面上的四個(gè)點(diǎn)。二維空間中一個(gè)直角三角形與三維空間中在以同一頂點(diǎn)出發(fā)具有三個(gè)直角面的四面體類比（圖1）。顯然，在這個(gè)四面體中以O(shè)A、OB、OC為棱的二面角都是直二面角。圖1（a）中直角三角形的邊a、b、c的長(zhǎng)與圖1（b）中四面體中的四個(gè)面AOB、BOC、COA、ABC的面積相類比。直角三角形的斜邊c的長(zhǎng)可以由兩直角邊求得，那么如圖的直四面體的底面ABC的面積是否可以由其他面的面積求得呢？也就是說(shuō)二維空間中的直角三角形三邊有勾股定理關(guān)系，那么在三維空間中的直四面體四個(gè)面之間的關(guān)系有否類似的勾股定理關(guān)系呢？

我們先看特殊情況。令：OA=OB=OC=2，如圖1（b），則直四面體的側(cè)面積相等，且S△AOB=S△BOC=S△COA=2.底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其面積為：=2。顯然滿足：（△AOB面積）2+（△BOC面積）2+（△COA面積）2=（△ABC面積）2。

再看一般情況：

設(shè)AO=n；BO=m；CO=h（圖2）。作OD垂直于BC；設(shè)OD=d，

連接AD，作OE垂直于AD；

設(shè)OE=x，則根據(jù)要求，

只要證明：

（1）

mn+

nh+

mh=（△ABC面積）2。

為求△ABC的面積，可以利用棱錐的體積公式。

（2）（△BOC面積）·n=

mhn=（△ABC面積）·x.

現(xiàn)在d是△BOC的高，于是有：

△BOC面積=mh=d（BC）=d

因此d=，兩邊平方得：

（3）d2=

因?yàn)閤是△AOD中AD邊上的高的長(zhǎng)度，

△AOD的面積dn=x（AD）=x，從而x=，代入（2）得：（mhn）=（△ABC面積）·，

約去，并乘以有：△ABC的面積=mh，

（三角形ABC面積）2=m2h2（+1），

以（3）式的d2代入，就得

=n2m2+n2h2+m2h2

（△AOB的面積）2+（△AOC的面積）2+（△BOC的面積）2。

證畢。從而在三維空間中有這樣一個(gè)定理：一個(gè)直四面體的側(cè)面的面積的平方和等于它底面面積的平方。這個(gè)定理可以看作勾股定理在三維空間中的一個(gè)推廣。

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