橢圓的定義及標準方程教案

李王剛

摘要：將研究曲線的方法拓展到橢圓，繼續(xù)學習橢圓的幾何性質，為后面學習雙曲線和拋物線作好準備。

關鍵詞：橢圓；標準方案

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）13-365-01

一、教材分析

本節(jié)課是普通高中課程標準試驗教科書選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》中《橢圓》的第一節(jié)內容，主要學習橢圓的定義和標準方程。這一節(jié)課是在學完《直線和圓的方程》的基礎上，將研究曲線的方法拓展到橢圓，又是繼續(xù)學習橢圓的幾何性質的基礎；同時還為后面學習雙曲線和拋物線作好準備，起到一個承上啟下的重要作用。

二、教學目標

知識與技能：(課程標準)經歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握它們的定義、標準方程。掌握橢圓標準方程的推導過程。過程與方法：培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括的能力；注重數(shù)形結合和待定系數(shù)法等數(shù)學思想方法的滲透，熟練掌握解決解析幾何問題的方法——解析法。情感、態(tài)度與價值觀：鼓勵學生積極、主動的參與教學的整個過程，激發(fā)其求知的欲望；培養(yǎng)學生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神；體會運動變化、對立統(tǒng)一的思想。

三、教學重點、難點

重點：橢圓的定義和標準方程。

難點：（1）標準方程的推導。（2）橢圓定義中常數(shù)加以限制的原因。

四、課前準備

教師：課件、三角板、無彈性細繩。

學生：兩顆圖釘、一根無彈性細繩、一根粉筆、紙板。

五、教學過程

（一）溫故知新

教學內容：復習求曲線方程的方法

教師：同學們，前面我們學習了曲線的方程的概念，什么叫做曲線的方程？求曲線方程有那些方法？

學生：思考，并回答問題。

設計意圖：明示這節(jié)課所要學的內容與原來所學知識之間的內在聯(lián)系，并為后面橢圓的標準方程的推導及用待定系數(shù)法求橢圓方程作好準備。

（二）創(chuàng)設情境

教學內容：神舟十號于2013年6月11日17時38分02秒成功發(fā)射。發(fā)射初始軌道：近地點約200公里、遠地點約330公里的橢圓軌道。

教師：1、演示飛行船繞地球運行模擬圖。2、設問：我們怎么能求出神舟十號飛行軌跡的方程呢？

學生：神州五號發(fā)射成功，學生鼓掌向英雄致意，認真觀察圖形一起思考。

設計意圖：通過錄像激發(fā)學生的愛國情緒，調動起好奇心，激發(fā)起學生的學習本課的興趣。讓學生感到數(shù)學無處不在。

（四）提出問題

教學內容：探索討論橢圓的定義：

教師：問題1：數(shù)學中圓的定義是什么？

學生：平面內到定點距離等于定長的點的軌跡叫圓。

教師：問題2：能不能類比圓的定義，結合剛才橢圓的畫法給出橢圓的定義？

學生：（可能回答）到兩個定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓，（其他學生補充）應該是平面內到兩個定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡，才是橢圓。

教師：還有補充嗎？（給學生充分的時間討論，相信學生，不代辦）

學生：通過課件觀察隨著F1、F2距離改變，軌跡變化情況。從而發(fā)現(xiàn)

2a＞｜F1F2｜ 時，軌跡是橢圓；

2a＝｜F1F2｜時，軌跡是線段｜F1F2｜；

2a＜｜F1F2｜時，無軌跡。

教師：問題3：經過 前面的觀察和實驗操作，同學們已經對于橢圓上的點的性質有了較深刻的認識，現(xiàn)在請同學給出橢圓的準確定義？

學生：平面內與兩個定點 、 的距離的和等于常數(shù)（大于 ）的點的軌跡叫做橢圓

設計意圖：通過類比圓的定義，對問題串的思考及討論，使學生真正經歷、體驗橢圓的形成過程，確切理解橢圓的定義及內在性質規(guī)律。

（五）分析解決問題

教學內容：推導橢圓的標準方程

教師：問題4：求曲線方 程的一般步驟是什么？

學生：①建系、取點；②列式；③代換；④化簡；⑤證明

教師：問題5：要應該如何建立坐標系求橢圓方程？橢圓上動點M滿足什么條件？教師巡視，對學生進行指導。尤其在化簡過程中，對于根式的處理，學生會感到困難，教師應進行提示。（同 時，教師說明：建立坐標系應使建立的曲線方程盡量簡潔整齊。）

學生：討論完畢后，交流成果。同學從中選出最好的方案，

教師：以上兩種方案是最好的。

問題6：觀察一下焦點分別在x軸、y軸上的橢圓的標準方程，請問兩個方程有什么共同點？

學生：（可能回答，讓學生充分討論）在兩個方程中，總有a>b>0，橢圓的三個參數(shù)a、b、c總滿足：即，a為老大。

教師：問題7：教材P39的思考如何解答？

學生：學生討論，讓小組代表上黑板作圖解答。

教師：問題8：如何根據方程判斷其焦點在x軸上還是在 y軸上？

學生：看分母大小，哪個分母大焦點就在對應的那條軸上。例如橢圓 （ ， ， ）當 時表示焦點在 軸上的橢圓；當 時表示焦點在 軸上的橢圓。

設計意圖：通過推導橢圓的標準方程（可能需要老師較多的指導），使學生構建橢圓這塊知識演化及應用的一個全過程，有益于學生全面了解橢圓。