線(xiàn)性代數(shù)的幾何直觀性教學(xué)探討

摘要：《線(xiàn)性代數(shù)》在本科教學(xué)中是極重要一門(mén)基礎(chǔ)課程，是大多數(shù)自然科學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。然而通過(guò)代數(shù)的公理化的表述形式，使得它具有高度的抽象性的同時(shí)，也丟失了數(shù)學(xué)的直觀性，這在教學(xué)上給老師與學(xué)生都帶來(lái)很大困擾。本文探討了在《線(xiàn)性代數(shù)》知識(shí)點(diǎn)在教學(xué)中的幾何直觀性解釋?zhuān)墒箤W(xué)生產(chǎn)生具象化的認(rèn)識(shí)，從而理解這些知識(shí)點(diǎn)背后的意義，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)這門(mén)課程具有積極性意義。

關(guān)鍵字：線(xiàn)性代數(shù)；本科教學(xué)；直觀性

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.41？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）16-0062-02

《線(xiàn)性代數(shù)》是本科數(shù)學(xué)教學(xué)的主要課程之一，內(nèi)容廣、公式復(fù)雜、定理證明多，具有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯。這種純粹的代數(shù)思維十分抽象，對(duì)許多非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生而言，常常覺(jué)得難懂、難記、枯燥無(wú)味又難應(yīng)用。因而大多數(shù)學(xué)生并無(wú)太大興趣，也覺(jué)得沒(méi)有多大的用處，很難激發(fā)學(xué)生使用線(xiàn)性代數(shù)建模解決實(shí)際問(wèn)題。只是為應(yīng)付考試而學(xué)，考過(guò)就忘得干干凈凈，沒(méi)有起到什么教學(xué)效果。然而，《線(xiàn)性代數(shù)》是許多自然科學(xué)的基礎(chǔ)，是人類(lèi)智慧的結(jié)晶，其中的每一個(gè)數(shù)學(xué)公式的背后實(shí)際上都有其在特定場(chǎng)合中的深刻物理或幾何意義。如果不熟悉《線(xiàn)性代數(shù)》的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來(lái)就和文盲差不多了。按照現(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線(xiàn)性代數(shù)是通過(guò)公理化來(lái)表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型，具有相對(duì)的抽象性，丟失了數(shù)學(xué)的直觀性。這就帶來(lái)了教學(xué)上的困難。在教學(xué)過(guò)程中，我們往往很難把數(shù)學(xué)公式、定理背后的意義、思想具象化，而只能把枯燥的、抽象的公式、定理直接給學(xué)生。這顯然違背人類(lèi)的認(rèn)識(shí)原理數(shù)學(xué)的教學(xué)規(guī)律。對(duì)于學(xué)生而言，一旦這些知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有辦法用直覺(jué)去理解，就很難消化，自然很難引起學(xué)生的興趣。

一、線(xiàn)性代數(shù)的抽象性與直觀性

自從上世紀(jì)30年代法國(guó)布爾巴基學(xué)派興起，數(shù)學(xué)通過(guò)公理化與系統(tǒng)化的描述從而獲得相當(dāng)大的成功與進(jìn)步，這使得數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性得到很大提高。然而，這也存在著一定的副作用，因?yàn)檫@種公理化是以數(shù)學(xué)的直觀性的喪失為代價(jià)。有些人認(rèn)為數(shù)學(xué)的直觀性與抽象性是相互矛盾的，因此直觀性就被拋棄了。這造成了《線(xiàn)性代數(shù)》在教學(xué)上的難題。許多教科書(shū)從行列式開(kāi)始，有的從矩陣著手，從起始處就都很讓學(xué)生頭疼。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)世界中找不到一個(gè)直觀的能與之對(duì)應(yīng)的事物或?qū)ο?。以同?jì)《線(xiàn)性代數(shù)》教材為例，該教材從介紹逆序數(shù)開(kāi)始，再用它定義沒(méi)有什么直觀道理可言的行列式，行列式的計(jì)算到底是代表什么？為什么這么算？絕大數(shù)教材中都沒(méi)有解釋。再接著引入矩陣，介紹矩陣乘法的定義，計(jì)算的方法與形式都是直接告訴學(xué)生就是這么做的，得到的結(jié)果代表什么？也沒(méi)有解釋。這種教學(xué)過(guò)程，自然是很難讓學(xué)生接受，也是《線(xiàn)性代數(shù)》成為學(xué)生最為頭疼的一門(mén)課。絕大多數(shù)學(xué)生覺(jué)得是被強(qiáng)迫進(jìn)入一個(gè)符號(hào)世界中，全然無(wú)法領(lǐng)略其中的美妙、和諧與統(tǒng)一。上述這些問(wèn)題都是直觀性引發(fā)的問(wèn)題，不能通過(guò)抽象的數(shù)學(xué)證明做回答，必須將這些問(wèn)題具象化了才能解決。但事實(shí)上，線(xiàn)性代數(shù)不是純粹的代數(shù)運(yùn)算法則，有其直觀的幾何意義和物理意義。希爾伯特曾言：算術(shù)符號(hào)是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖像化的公式；沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家能缺少這些圖像化的公式。明白無(wú)誤地告訴了我們線(xiàn)性代數(shù)與幾何之間的關(guān)系，幾何解釋是可以讓人們很容易將看到的平面和空間中物體與幾何外觀聯(lián)系起來(lái)。學(xué)習(xí)這門(mén)課程也就不在是僅僅研究符號(hào)代數(shù)，從而有更直觀但又和很深刻的含義。從宏觀上來(lái)說(shuō)，任何一種數(shù)學(xué)理論，它的主要概念與方法常常都出自于一些直觀的簡(jiǎn)單的目標(biāo)。要么是從對(duì)實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果中分析得到，要么從幾何圖形及其解法過(guò)程中得出，再要么是從各種結(jié)果的類(lèi)比想象出來(lái)。從微觀上來(lái)看，《線(xiàn)性代數(shù)》中某個(gè)特定的定理、推論的證明，也同樣常常有著某個(gè)比較直觀和簡(jiǎn)單的思想。從這個(gè)思想出發(fā)的證明過(guò)程細(xì)節(jié)，也能從幾何上進(jìn)行直觀的分析和推斷。正如希爾伯特所述的，證明要能透過(guò)概念的嚴(yán)格定義和實(shí)際證明中的推演細(xì)節(jié)，描繪出證明方法的幾何輪廓。事實(shí)上，很多數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)常常都是數(shù)學(xué)家從幾何直觀性上大膽猜想到的結(jié)果，然后去尋找?guī)缀紊系慕忉專(zhuān)詈笤傺a(bǔ)上嚴(yán)格的數(shù)理證明。這正如我國(guó)著名拓?fù)鋵W(xué)家張素誠(chéng)先生所說(shuō)的，對(duì)數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題來(lái)說(shuō)，“靈感”往往來(lái)自幾何，表達(dá)的簡(jiǎn)潔靠代數(shù)，計(jì)算的精確靠分析。因此我們認(rèn)為，在本科教學(xué)《線(xiàn)性代數(shù)》的過(guò)程中，要注重?cái)?shù)學(xué)意義的講解，建立學(xué)生的對(duì)《線(xiàn)性代數(shù)》的直觀性即能夠把這門(mén)課的抽象性具象化，才能化解學(xué)生對(duì)它的厭學(xué)情緒。只有在這個(gè)基礎(chǔ)之上才能讓學(xué)生對(duì)它的具體知識(shí)點(diǎn)、公式、定理等有深刻的理解與熟練使用。

二、《線(xiàn)性代數(shù)》的基本知識(shí)點(diǎn)的一些直觀性解釋

在教學(xué)過(guò)程中，我們將線(xiàn)性代數(shù)的幾何直觀性融入到了課堂中，通過(guò)這種幾何解釋?zhuān)瑢W(xué)生們普遍能較快接受。以空間、向量、矩陣為例，其幾何解釋主要如下所述。

1.空間?？臻g是線(xiàn)性代數(shù)的基礎(chǔ)概念，是指具有一些特定性質(zhì)的集合。如經(jīng)常把所有的n維向量組成的集合稱(chēng)之為‘N維空間，但大多數(shù)學(xué)生卻很難理解用“空間”這一名稱(chēng)來(lái)形容集合。因?yàn)槲覀兪煜さ氖俏覀兩嬖谌S歐幾里德空間，在初中高中的幾何學(xué)中，學(xué)生們所接觸的是點(diǎn)、線(xiàn)、面、三角形、圓……等直觀的幾何圖形。而在線(xiàn)性代數(shù)中則變成向量、矩陣，再通過(guò)向量和矩陣的各種計(jì)算來(lái)描述空間中的對(duì)象，如A*x=b描述一個(gè)超平面、{x|xAx≤1，A對(duì)稱(chēng)正定}描述一個(gè)N維空間中的橢球，這種描述和表達(dá)相對(duì)于初中高中所學(xué)的方式，顯然沒(méi)有一點(diǎn)直觀性，超過(guò)三維以上就很難讓學(xué)生如何去想象。因而我們認(rèn)為在講解到空間概念時(shí)，需要常常把問(wèn)題化成二維或三維幾何空間中的圖形，幫助學(xué)生理解。

2.向量與空間關(guān)系。一個(gè)空間實(shí)際上是無(wú)窮多個(gè)位置點(diǎn)組成，即是點(diǎn)的集合，在線(xiàn)性代數(shù)中表現(xiàn)為N維向量的集合。一個(gè)向量代表從原點(diǎn)到N維空間中的一個(gè)點(diǎn)的方向，是空間中一個(gè)存在的對(duì)象，可以定義出一些幾何特性，比如它的長(zhǎng)度。向量的加減法可以在解講過(guò)程中用幾何中的矢量平行四邊形法則解釋?zhuān)蛄績(jī)?nèi)積通過(guò)幾何中的投影來(lái)解釋?zhuān)皇羌兇獾南蛄恐懈鱾€(gè)分量的代數(shù)加減乘除等。通過(guò)幾何解釋顯然更容易讓學(xué)生有比較具象化的認(rèn)識(shí)，而純粹的代數(shù)解釋不能有生動(dòng)體現(xiàn)向量意義，只能讓學(xué)生死記硬背。

3.矩陣與向量關(guān)系。向量可以用空間中的對(duì)象來(lái)解釋?zhuān)诳臻g中必然有它存在的方式，也有在空間中變化過(guò)程，即運(yùn)動(dòng)。矩陣從代數(shù)形式上看只是一個(gè)數(shù)的列表，它與向量的乘法，代數(shù)上的運(yùn)算沒(méi)有多少生氣，看不出如此的計(jì)算規(guī)則有什么意義。然而從幾何空間中卻可以把二者關(guān)系理順，而且非常直觀：①如果把矩陣看作是一個(gè)幾何空間中的坐標(biāo)系，那么A*X=b就可以看成是在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的向量b在新坐標(biāo)系A(chǔ)下的坐標(biāo)。自然的矩陣與向量的乘法A*X的意義即為把X轉(zhuǎn)換成為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，b中的系i分量值就可以從向量?jī)?nèi)積的角度解釋為X在坐標(biāo)系A(chǔ)中系i個(gè)數(shù)軸上的投影值。如果A的坐標(biāo)系所描述的空間能夠容納b，那么方程A*X=b有解，否則無(wú)解。②如果把A*X=b當(dāng)作向量X的一次線(xiàn)性變換，則矩陣A就可以解釋為向量X在空間中的運(yùn)動(dòng)描述。A的各個(gè)特征向量此時(shí)即可以生動(dòng)的表示為X的運(yùn)動(dòng)方向，相應(yīng)的特征值就是在各個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)幅度。最終在各特征向量方向上的變化結(jié)果再幾何合成為向量b。

在線(xiàn)代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，純粹的代數(shù)理論教學(xué)不符合人類(lèi)的認(rèn)知知識(shí)方式，雖然它具有高度的嚴(yán)謹(jǐn)性和抽象性，但也丟失了直觀性，因而很多知識(shí)點(diǎn)難于讓學(xué)生理解。本文從線(xiàn)性代數(shù)的直觀性角度做了探討，從幾何上的直觀性來(lái)解釋純代數(shù)的難點(diǎn)?？梢詫?duì)學(xué)生學(xué)習(xí)這門(mén)課程產(chǎn)生比較直觀的印象，激發(fā)學(xué)生對(duì)這門(mén)課程的興趣和深層思考，對(duì)學(xué)生理解知識(shí)點(diǎn)背后的意義產(chǎn)生積極的影響。

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作者簡(jiǎn)介：陳葉旺（1978-），男，福建人，華僑大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，講師，研究方向?yàn)闄C(jī)器學(xué)習(xí)、凸優(yōu)化、數(shù)據(jù)挖掘。