不同跨徑比的兩跨連續(xù)梁的模態(tài)分析試驗

鄭仰坤，袁向榮

（廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣州510006）

不同跨徑比的兩跨連續(xù)梁的模態(tài)分析試驗

鄭仰坤，袁向榮

（廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣州510006）

介紹兩跨連續(xù)梁不同跨徑比對振型的影響，并討論沖擊系數(shù)的取值。采用槽型梁作為連續(xù)梁模型，利用M idas有限元分析軟件和DASP設(shè)備分別對連續(xù)梁進行模態(tài)分析，得出不同跨徑比下連續(xù)梁的前3階振型及其頻率，并將M idas計算結(jié)果與試驗結(jié)果進行對比，證實振型變化的真實性。結(jié)果表明，第2、3階振型隨著跨徑比減小會出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，中支點振型的曲率發(fā)生變化；考慮跨中正彎矩效應(yīng)時，沖擊系數(shù)宜按照《橋規(guī)》采用基頻計算；考慮中支點負彎矩效應(yīng)時，沖擊系數(shù)應(yīng)采用第二或第3階頻率計算。

振動與波；連續(xù)梁；振型；沖擊系數(shù)；有限元分析；模態(tài)分析

當f＜1.5 Hz時，μ=0.05

當1.5 Hz≤f≤14 Hz時

當f＞14 Hz時，μ=0.45

式中f為結(jié)構(gòu)基頻(Hz)。

沖擊系數(shù)直接影響到汽車荷載的沖擊力的取值，而由式（1）可知，《橋規(guī)》中對于連續(xù)梁沖擊系數(shù)的取值是由基頻計算得到。目前對沖擊系數(shù)取值的研究包括兩類，其一是是根據(jù)車橋耦合振動計算研究沖擊系數(shù)[2—4]；其二是根據(jù)橋梁動載試驗實測數(shù)據(jù)，研究沖擊系數(shù)的取值[5—8]。研究表明，計算分析或?qū)崪y所得沖擊系數(shù)大多比按規(guī)范規(guī)定的計算值要大，此現(xiàn)象在兩跨連續(xù)梁中支點位置尤為明顯。其原因是，對于梁的不同控制截面起主要作用的模態(tài)不同，在計算沖擊系數(shù)只考慮橋梁基頻是不合理的[9]。因此，有必要對橋梁進行完整的模態(tài)分析。本文以兩跨連續(xù)梁為例，通過計算、試驗分析了不同跨徑比兩跨連續(xù)梁的前3階頻率及振型變化，為今后連續(xù)梁橋的動力特性研究提供參考。

1 兩跨連續(xù)梁的彎曲固有振動分析[10]

圖1.1表示兩跨連續(xù)梁的一般情形，假設(shè)連續(xù)梁每跨具有均勻分布的質(zhì)量和剛度。按艾勒爾—柏努利（Euler-Bernoulli）梁理論，第S跨的第n階振型函數(shù)為

圖1.1 兩跨連續(xù)梁的一般情形

根據(jù)兩相鄰等跨連續(xù)梁的邊界條件以及數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得兩相鄰等跨連續(xù)梁的固有振動頻率為

前3階振型圖如圖1.2所示。

圖1.2 兩等跨連續(xù)梁的振型及固有頻率

2 兩不等跨等截面連續(xù)梁的彎曲固有振動分析

試驗對象為槽型梁，梁長2.1 m，橫截面如圖2.1所示。采用M idas有限元軟件建立試驗梁的有限元分析模型，按照實驗梁的尺寸進行建模。材料參數(shù)的取值為：彈性模量E=7.0×104MPa，容重Dens=2.8×104N/m3。

圖2.1 槽型梁橫截面圖/mm

圖2.2為兩等跨等截面連續(xù)梁M idas計算模型，通過計算分析，并將所得前3階頻率、振型與圖1.2的精確解相比較。結(jié)果如表2.1和圖2.3所示。

所有患者均先行彩色多普勒超聲檢查，多切面觀察盆腔腫塊病變部位、大小、形態(tài)、內(nèi)部結(jié)構(gòu)、壁、后方聲影、分隔、內(nèi)部回聲性質(zhì)等，并顯示彩色多普勒檢測病變內(nèi)部及周邊血流顯示情況。彩色多普勒超聲評價參照Lerner[2]等評分方法進行評價，即依據(jù)壁的厚度、后方聲影、內(nèi)部分隔、內(nèi)部回聲評分。

圖2.2 有限元分析模型

表2.1 各階頻率計算值與精確解值的比較

圖2.3 兩等跨連續(xù)梁有限元分析的前3階振型

由表2.1可以看出，由于計算過程的近似取值，有限元計算的頻率值與理論精確解值存在一定的誤差，其相對誤差不大于5%，在誤差允許范圍內(nèi)。對比圖1.2與圖2.3可知，兩等跨等截面連續(xù)梁的有限元分析振型與理論振型基本保持一致。因此，利用此有限元模型的計算結(jié)果為試驗提供依據(jù)，是較為真實可靠的。

為使有限元分析模型與試驗條件相一致，在上述模型中槽型梁各跨的四分點分別加一個1 N的集中荷載，以此來代替加速度傳感器本身的重力，將跨中支點向左移動，并調(diào)整集中荷載的位置，如圖2.4。記下中支點不同偏移量下前3階模態(tài)的頻率值及振型變化趨勢，其結(jié)果見表2.2及圖2.5—圖2.7。

圖2.4 兩不等跨連續(xù)梁的試驗?zāi)Ｐ?/p>

表2.2 不同偏移量下的各階計算頻率

圖2.5 1階振型圖

圖2.6 2階振型圖

圖2.7 3階振型圖

圖2.5—圖2.7為兩不等跨等截面連續(xù)梁不同跨徑比下前3階振型的變化趨勢。其中，隨著跨徑比的減小，1階振型表現(xiàn)為漸變過程，即跨徑大的一跨振幅增大，跨徑小的一跨振幅減小，其振型無本質(zhì)變化；2階振型則在中支點位置發(fā)生了轉(zhuǎn)折，其較大跨的波形從半個正弦波變成一個完整的正弦波，較小跨的波形振幅逐漸變小，中支點曲率減小，最終趨于0；3階振型中支點位置也發(fā)生轉(zhuǎn)折，較小跨的波形由一個完整的正弦波變成半個正弦波，較大跨則由一個正弦波變成3/2個正弦波，中支點曲率變大，達到最大值時突變趨近于0。

3 兩不等跨等截面連續(xù)梁的彎曲固有振動試驗

3.1 試驗過程[11]

本次試驗采用的模態(tài)分析方法是錘擊法。將實驗槽型梁布置成兩等跨連續(xù)梁，支承方式為鋼輥軸，采用外直徑為2.5 cm的金屬管；采用6個加速度傳感器，分別粘合于各跨的四分點和跨中(如圖3.1—3.2)。

對實驗對象進行錘擊，同時用INY306U智能信號采集處理分析儀采集振動信號，通過BZ2015電荷電壓濾波積分放大器處理振動信號（如圖3.3），發(fā)送到計算機的DASP模態(tài)分析程序算出傳遞函數(shù)，和頻率響應(yīng)函數(shù)，對頻率響應(yīng)函數(shù)進行集總平均，之后選擇合適的頻率定階，最后進行復(fù)模態(tài)多自由度擬合，得到結(jié)構(gòu)的固有頻率及其振型。

將實驗對象的跨中支點往左移動10 cm，重復(fù)上述實驗步驟。以此類推，重復(fù)5次，從而獲得不同跨徑比的兩跨連續(xù)梁的固有頻率及其振型。

圖3.1 試驗設(shè)備

圖3.2 支承方式

圖3.3 信號的采集處理設(shè)備

3.2 試驗結(jié)果

通過測試分析各點的頻響函數(shù)曲線得到連續(xù)梁的前3階模態(tài)頻率及振型幅值，中支點不同偏移下的各階頻率如表3.1所示，各階振型的變化如圖3.4—圖3.6所示。

表3.1 不同偏移量下的各階試驗頻率

圖3.4 1階試驗振型圖

圖3.5 2階試驗振型圖

圖3.6 3階試驗振型圖

1階試驗振型中，等跨時，振型相對中支點反對稱，左半波與右半波大小相等。隨著跨徑比的減小，跨徑大的一邊波形振幅增大，跨徑小的一邊振幅減小。

2階試驗振型中，等跨時振型相對中支點正對稱，左、右半波大小相等。隨著跨徑比的減?。?/p>

（1）中支點處振型曲率逐漸變小，最終趨于0；

（2）振型發(fā)生轉(zhuǎn)折，跨徑大的一邊波形由半波變成全波，且振幅增大，跨徑小的一邊振幅減??；

（3）最終的振型近似于簡支梁的3階振型、三跨連續(xù)梁的1階振型。

3階試驗振型中，等跨時振型相對中支點反對稱，左右邊均為完整周期波形且大小相等。隨著跨徑比的減??；

（1）跨徑小的一邊振幅減小，跨徑大的一邊振幅增大；

（2）中支點曲率增大，在跨徑比約3/7時達到最大，此時跨徑小的一邊變成半波；

（3）中支點曲率突變，趨近于0，跨徑大的一邊由一個完整周期波形變成3/2周期，振型與等跨時相似。

表3.2為各偏移量下前兩階的有限元分析頻率與試驗頻率及其相對誤差。對比有限元分析結(jié)果和試驗結(jié)果可知，隨著兩跨連續(xù)梁跨徑比的減小，試驗梁振型的變化與有限元分析的振型變化趨勢基本一致。說明不同跨徑比的兩跨連續(xù)梁各階振型的變化是真實的。由于激勵能量小，對高階模態(tài)的分析造成一定影響，所以第3階頻率誤差較大，因此并未列出具體誤差數(shù)值。

《橋規(guī)》條文說明中指出，汽車荷載的沖擊系數(shù)可表示為

表3.2 計算頻率與試驗頻率的誤差

式中Yjmax——在汽車過橋時測得的效應(yīng)時間歷程曲線上，最大靜力效應(yīng)處量取的最大靜力效應(yīng)值；Ydmax——在效應(yīng)時間歷程曲線上最大靜力效應(yīng)處量取的最大動效應(yīng)值。

梁彎曲時，距中性層距離為y的纖維應(yīng)變?yōu)?/p>

式中 υ"為中性層的曲率。[12]

根據(jù)力學(xué)原理，有

故彎矩M與曲率υ"為正比關(guān)系，即較大的動彎矩只會發(fā)生在振型曲率的較大處。

按照振動理論，梁在荷載作用下的動彎矩是其各階振型的線性組合。不同跨徑比的兩跨連續(xù)梁，其1階振型最大曲率均在跨中，最大動彎矩也在跨中，這與兩跨連續(xù)梁在均布荷載作用下，最大正靜彎矩的位置基本一致；因此，考慮跨中正彎矩效應(yīng)時，沖擊系數(shù)按照基頻計算是合理的。

當考慮中支點負彎矩效應(yīng)時，1階振型中支點處曲率近似為0，動彎矩的基頻分量也為0，沖擊系數(shù)的取值不能按照基頻計算。由各階振型圖可以看出，等跨時2階振型中支點的曲率最大，隨著跨徑比的減小中支點曲率逐漸趨于0。根據(jù)計算及試驗結(jié)果，在中支點偏移＜30 cm（跨徑比約＞4/7）時，沖擊系數(shù)應(yīng)按2階頻率計算；在跨徑比約＞3/7時，3階振型中支點的曲率最大，此時應(yīng)按照3階頻率計算沖擊系數(shù)。

4 結(jié)語

分析結(jié)果表明

（1）隨著跨徑比的減小，各階振型均發(fā)生變化，中支點處第2、3階振型發(fā)生轉(zhuǎn)折，如圖3.5、3.6；2階振型中支點曲率逐漸減小最終趨近于0，3階振型中支點曲率逐漸增大，在跨徑比約3/7達到最大，此時振型發(fā)生突變，中支點曲率趨于0；

（2）不同跨徑比的兩跨連續(xù)梁，其1階振型最大曲率均在跨中，最大動彎矩也在跨中，此處的沖擊系數(shù)也最大，因此考慮跨中正彎矩效應(yīng)時，沖擊系數(shù)按照《橋規(guī)》采用基頻計算是合理的；

（3）考慮中支點負彎矩效應(yīng)時，沖擊系數(shù)則不能按照基頻計算，而應(yīng)考慮兩種情況：在跨徑比＞4/7時，可按照2階頻率計算；當4/7＞跨徑比＞3/7時，應(yīng)按照3階頻率計算；若跨徑比＜3/7，則須采用更高階頻率；

（4）按照振動理論，梁在荷載作用下的動彎矩是其各階振型的線性組合。對于連續(xù)變化跨徑比的連續(xù)梁沖擊系數(shù)的進一步確定，可對所采集的各階振型通過計算機進行疊加，但其準確性還有待探究。

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ModalAnalysis Test of a Two-unequal-span Continuous Beam

ZHENG Yang-kun,YUAN Xiang-rong

(School of Civil Engineering,Guangzhou University,Guangzhou 510006,China)

Influence of the span ratio of a two-unequal-span continuous beam on vibration mode is introduced,and the option of impact factor values is discussed.Using a channel-shaped continuous beam as the model,the finite element analysis code of M idas and the equipment of DASP are respectively employed for modal analysis,and the first three modals and frequencies of the continuous beam w ith different span ratios are obtained.Results of the analyses are compared w ith those of testing,and the vibration mode change is confirmed.The results demonstrate that(1)w ith the decreasing of the span ratio,the turning points of the 2nd and 3rd order modals may appear and the curvature of the vibration mode at the m id support w ill change greatly;(2)when the effect of positive bending moment at the m id-point of the span is considered,the impact factor should be calculated according to the fundamental frequencies shown in the standard of bridge construction; (3)when the effect of negative bending moment at the m id-support is considered,the impact factor should be calculated using the 2nd or 3rd order frequency.

vibration and wave;continuous beams;vibration mode;impact factor;finite element analysis;modal analysis

1006-1355(2014)04-0148-05

TB53；TH113.1 < class="emphasis_bold">文獻標識碼：A DOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.04.032

《公路橋涵設(shè)計通用規(guī)范》（以下簡稱《橋規(guī)》）[1]4.3.2第4條規(guī)定，汽車荷載的沖擊力標準值為汽車荷載標準值乘以沖擊系數(shù)μ。第5條規(guī)定，沖擊系數(shù)μ可按下式計算

2013-08-14

國家自然科學(xué)基金（基金編號：51078093，51278137）；廣州市科技計劃項目（基金編號：12C42011564）；廣州大學(xué)土木工程學(xué)院碩士研究生創(chuàng)新實驗項目

鄭仰坤（1987-），男，廣東，碩士研究生，目前從事橋梁工程、圖像監(jiān)控研究。

E-mail:zheng.yangkun@163.com

袁向榮（1957-），男，河北人，博士，教授，目前從事橋梁工程、圖像工程研究。

E-mail:rongxyuan@163.com