涉及重值的代數(shù)體函數(shù)的唯一性

譚 洋

(中國(guó)人民大學(xué)信息學(xué)院, 北京 100872)

代數(shù)體函數(shù)是一類多值解析函數(shù), 亞純函數(shù)是代數(shù)體函數(shù)的特殊情況,如何把亞純函數(shù)的一些重要性質(zhì)推廣到代數(shù)體函數(shù)是一重要的研究課題. 關(guān)于代數(shù)體函數(shù)的一些基本性質(zhì)和結(jié)果可參閱文獻(xiàn)[1]-[4].本文的符號(hào)除特別說(shuō)明外均采用Nevanlinna理論的常用符號(hào)[1,5-6].設(shè)Ak(z),Ak-1(z), …,A0(z)是定義在復(fù)平面上的一組沒(méi)有公共零點(diǎn)的全純函數(shù), 則方程

Φ(z,W)=Ak(z)Wk+Ak-1(z)Wk-1+…+

A1(z)W+A0(z)=0

(1)

設(shè)W(z)是由式(1)定義在復(fù)平面上的不可約k值代數(shù)體函數(shù), 稱z0是W(z)的臨界點(diǎn), 當(dāng)且僅當(dāng)Ak(z0)=0 或者Φ(z0,W)與偏導(dǎo)數(shù)ΦW(z0,W)有公共根, 所有臨界點(diǎn)的集合稱為臨界集, 記為Sw;其補(bǔ)集Tw=-Sw稱為正則集. 每一個(gè)臨界點(diǎn)z0Sw是孤立點(diǎn), 在z0附近 |(z-z0)kW(z)|有界,他們是可去奇點(diǎn)或極點(diǎn), 在球面上按球距度量是連續(xù)的. 對(duì)于代數(shù)體函數(shù)的一些性質(zhì), 我們只需在正則集Tw中討論, 剩下的孤立臨界點(diǎn)則可由連續(xù)性確定[1-2].

孫道椿和高宗升[7]定義了代數(shù)體函數(shù)的運(yùn)算,一個(gè)k值代數(shù)體函數(shù)W(z)與一個(gè)s值代數(shù)體函數(shù)M(z)的和是一個(gè)ks值代數(shù)體函數(shù)(W+M)(z)：

{(wj(z)+mt(z)),b):j=1,2,…,k;t=1,2,…,s}.

(2)

為W(z)關(guān)于a的虧量,

為W(z)關(guān)于a的Valiron虧量.

當(dāng)分支數(shù)k=1時(shí)代數(shù)體函數(shù)即退化為亞純函數(shù)情況.

Nevanlinna五值定理是亞純函數(shù)的唯一性理論的經(jīng)典結(jié)果, 敘述如下:

則f(z)≡g(z).

涉及重值的唯一性問(wèn)題是亞純函數(shù)唯一性理論的重要內(nèi)容, 儀洪勛從重值的角度改進(jìn)了定理A：

1≤tq≤tq-1≤…≤t2≤t1≤+∞.

(3)

若對(duì)任意j=1,2,…,q有

則f(z)≡g(z).

當(dāng)式(5)不滿足時(shí), 情況會(huì)怎樣呢? Ueda[8]在考慮虧量的條件下得到下列結(jié)果：

儀洪勛對(duì)定理C做了進(jìn)一步改進(jìn)，得到下面2個(gè)定理.

如果

則f(z)≡g(z).

如果

則f(z)≡g(z).

1 主要結(jié)果

本文將定理D、定理E推廣到代數(shù)體函數(shù)：

1≤tq≤tq-1≤…≤t2≤t1≤+∞.

(6)

若對(duì)任意j=1,2,…,q有

再設(shè)

如果

則W(z)≡M(z).

(i)如果q=6k且

則W(z)≡M(z).

(ii)如果q=5k且

則W(z)≡M(z).

如果

則W(z)≡M(z).

(i)如果q=6k且

則W(z)≡M(z).

(ii)如果q=5k且

則W(z)≡M(z).

2 引理

引理1[9]W(z)、M(z)是2個(gè)非常數(shù)不可約的代數(shù)體函數(shù),分別定義為

Φ(z,W)=Ak(z)Wk+Ak-1(z)Wk-1+…+A0(z)=

ψ(z,M)=Bs(z)Ms+Bs-1(z)Ms-1+…+B0(z)=

則下面敘述等價(jià):

(1)W(z)≡M(z),

(2)存在W(z)、M(z)的正則元素(wi(z),a)=(mj(z),a),

(3)結(jié)式R(Φ,ψ)≡0.

引理2[2]設(shè)W(z)是不可約k值代數(shù)體函數(shù),M(z)是不可約s值代數(shù)體函數(shù),W(z)?M(z), 值集W(0)、M(0)中均不含∞,則

T(r,W±M)≤T(r,W)+T(r,M)+log 2.

(14)

3 定理的證明

定理1的證明(i)先假定aj(j=1,2,…,q)是q個(gè)不同的有限值, 設(shè)W(z)?M(z).由式(6)有

不妨假定值集W(0)、M(0)中均不含∞, 否則同乘以適當(dāng)?shù)囊蜃觶n. 由引理2有

(17)

即

由假設(shè)W(z)?M(z)及引理1知,W(z)-M(z)沒(méi)有恒等于0的分支,因此

n(r,W-M=0).

再由代數(shù)體函數(shù)第一基本定理及引理2可得

k(T(r,w)+T(r,M))+O(1),

(18)

k(T(r,w)+T(r,M))+O(1).

(19)

由式(20)及定理中條件(10)可得

T(r,W)

(21)

同理

及

T(r,M)

(23)

由式(20)、(23)可得

(24)

由式(21)、(22)可得

由定理中的條件(10)可知式(24)、(25)中至少有一個(gè)為矛盾不等式,于是W(z)≡M(z).

定理2的證明類似定理1,可假定aj(j=1,2,…,q)是q個(gè)不同的有限值,設(shè)W(z)?M(z).由式(17)～(19)可得

式(26)、(27)相加有

S(r,W)+S(r,M).

(28)

由條件(13)得

再由式(28)即得B1=B2=0, 這與式(13)矛盾, 于是W(z)≡M(z).定理 2 證畢.

參考文獻(xiàn)：

[1] 何育贊, 蕭修治. 代數(shù)體函數(shù)與常微分方程[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1988.

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[5] 楊樂(lè). 值分布及其新研究[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1982.

[6] 儀洪勛, 楊重駿. 亞純函數(shù)唯一性理論[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1995.

[7] 孫道椿, 高宗升. 代數(shù)體函數(shù)的唯一性定理[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005(3): 80-85.

Sun D C,Gao Z S. Uniqueness theorem of algebroidal functions[J].Journal of South China Normal University:Natural Science Edition, 2005(3): 80-85.

[8] Ueda H. Unicity theorems for meromorphic or entire functions[J]. Kodai Mathematical Journal, 1980, 3(3): 457-471.

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