淺談反比例函數(shù)比較大小的方法

聶盼山

一、背景和遇到的問題

在九年級上冊第一章反比例函數(shù)的教學中，當學習完反比例函數(shù)的性質后，書本第14頁“做一做”第1題第2小題是這樣的：已知x1，y1和x2，y2是反比例函數(shù)y=-（a≠0）兩對自變量與函數(shù)的對應值，x1>x2>0，則0 y1 y2（填>、<、=），我們不妨稱此題為例1，本題中因為a2≥0，所以-a2≤0，即反比例函數(shù)y=中的k<0，所以y的值會隨x的增大而增大，因為x1>x2。所以y1>y2，學生基本上能正確解決，但我相信，有許多同學都是一知半解的，為什么要在自變量中加入大于0的條件？為什么函數(shù)值中也涉及了與0的大小比較？所以我加入了例2，下列函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是 ，A、y=-3x+4 B、y= C、y=- D、y=3x-2

生1：老師，選A。

生2：B也對，A和B都對。

師：同意生2的觀點嗎？

生：同意！

師：那誰來幫老師分析一下，為什么這兩個解都對？

生3：因為一次函數(shù)y=kx+b，當k<0時，y必定隨著x的增大而減少，而A中，y=-3x+4，k=-3<0，所以A正確。

師：對嗎？

生：對。

師：B呢？

生4：反比例函數(shù)y=與正比例函數(shù)y=kx的性質相反，當k>0時，y的值隨x的增大而減小。B中，y=，k=4>0，所以B也正確。

師：講的很好。有誰需要補充嗎？

生：……

師：我們不妨回到書本第13頁，一起仔細地研讀反比例函數(shù)的性質。

生：反比例函數(shù)y=（k≠0）的性質：當k>0時，在圖象所在的每一象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減?。划攌<0時，在圖象所在每一象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大。

師：剛才生4的表述與書本上的表述有什么不同？

生5：書上詳細地講到，在圖象所在的每一個象限內。

師：這是一句廢話嗎？為什么書本上不把它刪去？

生：……

師：我們一起來看反比例函數(shù)的解析式及其圖象。y=（k≠0）中，自變量x必須滿足什么條件？

生：x≠0。

師：為什么？

生：因為分母不等于0。因為0不能作除數(shù)。

師：而一次函數(shù)y=kx+b中有沒有這樣的限制條件？

生：沒有。

師：那么體現(xiàn)在圖象上又有什么區(qū)別呢？

生：一次函數(shù)的圖象是一條直線，x可以取任意值。

師：對，但反比例函數(shù)的雙曲線呢？

如圖，當k>0時，圖象分布在一、三象限。試問：圖象的兩個分支可不可能與兩線標軸相交？

生：不可能。因為x≠0，y≠0。

師：恩，所以，兩個分支是獨立的。k>0，y的值隨著x的增大而減小，但必須在同一分支上，即在圖象所在的每一個象限內才可以比較大小。

生：也就是自變量x必須都大于0，或都小于0。

師：所以例2中，該選擇……

生：A。

師：若讓B也正確，該如何修改？

生：加上x>0或x<0。

師：講得很棒，現(xiàn)在我們再一起回過頭來看例1，你注意到例1中x1>x2>0了嗎？

生：嗯，所以，最好利用圖像來解決。

師：讓我們試一試。

圖象分布在二、四象限，x1>x2>0，說明圖象只研究位于第四象限的那一支，y1>y2，且0>y1>y2。

二、問題的解決

作為教師，我們都知道，思維的發(fā)展過程是從發(fā)現(xiàn)問題開始，回答問題再次之，古今中外有成就的學者，都非常重視“問題”的意義，如鄭板橋老先生說過：“學問二字，需要拆開來看，學是學，問是問，有學無問，雖讀萬卷書，只是一條鈍漢耳?！睈垡蛩固挂舱f過：“我沒有什么才能，只不過喜歡尋根到底的追究問題罷了?！彼詫W生對數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)，可以說，是數(shù)學創(chuàng)新教育的前提，學生應成為“提出問題——分析問題——解決問題”這個認知過程的主體，應享有這種思維活動的權利和機會。

全日制義務教育新《數(shù)學課程標準》明確指出：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶”，教師應當幫助學生“在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經驗。我想，我已經在努力朝這個方向做了。

愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。”發(fā)現(xiàn)問題，大膽懷疑，課堂上把“提問權”還給學生，并對他們的提問給予積極的鼓勵、引導，對激發(fā)學生的強烈的探索動機，培養(yǎng)學生的思維能力會起到重要作用。在接下來的復習課中，我又結合兩種函數(shù)，即反比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)值大小和學生進行了一次探討。因為我們都知道，在初中階段，學習的幾種函數(shù)中，只有反比例函數(shù)對自變量加以了限制（函數(shù)應用中自變量取值除外）。

三、反思

在這次反比例函數(shù)的教學事件中，我深刻地認識到了以下幾點：

（1）教材編寫的嚴謹性，在我們的教學中，其實有的時候，學生的錯誤的解答是由于我們教師上課時，語言缺少嚴密性造成的，例2的教學就深刻地說明這一點，雖然只是一個自變量x≠0的取值，但它們將會涉及到整個函數(shù)值的大小比較。

（2）課堂模式，更多地采取討論、辯論等方式，讓學生積極主動地參與到教學中，學習效果會更好，學生的探究，不管正確與否，只要思考了、參與了，就該給予積極的表揚。如果是錯了，也要聽聽他的錯誤思路的形成，或許，他會令你豁然開朗——哦，學生原來是這樣想的。

（3）在課堂教學中，我們應積極主動地對課程進行適當?shù)男拚驼{適，靈活使用新教材，設計出新穎的教學過程，把枯燥的教學知識轉化為激發(fā)學生求知欲望的刺激物，引發(fā)他們的進取心，這也是衡量課程實施效果的一個重要因素。如，新教材中安排“想一想”、“做一做”、“試一試”等內容，我們可以利用新教材這種富有彈性的課程設置，結合學生智力發(fā)展水平和發(fā)展要求的個體差異，有針對性地實施因材施教；利用新教材相對較為寬松的課時安排，選擇更為合適的時機和內容，開展更多的社會實踐活動，讓學生將所學知識應用于生活，從應用中體會數(shù)學的快樂；還可以通過多種方式將科學技術發(fā)展的新成果、新動向和新趨勢，及時地應用在教學活動中，進一步體現(xiàn)數(shù)學的實用性。

我相信，我們是在不斷地嘗試中，不斷地學習中求進步，求發(fā)展，只要我們的腳步一直往前走，我們總會收獲許多。endprint

一、背景和遇到的問題

在九年級上冊第一章反比例函數(shù)的教學中，當學習完反比例函數(shù)的性質后，書本第14頁“做一做”第1題第2小題是這樣的：已知x1，y1和x2，y2是反比例函數(shù)y=-（a≠0）兩對自變量與函數(shù)的對應值，x1>x2>0，則0 y1 y2（填>、<、=），我們不妨稱此題為例1，本題中因為a2≥0，所以-a2≤0，即反比例函數(shù)y=中的k<0，所以y的值會隨x的增大而增大，因為x1>x2。所以y1>y2，學生基本上能正確解決，但我相信，有許多同學都是一知半解的，為什么要在自變量中加入大于0的條件？為什么函數(shù)值中也涉及了與0的大小比較？所以我加入了例2，下列函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是 ，A、y=-3x+4 B、y= C、y=- D、y=3x-2

生1：老師，選A。

生2：B也對，A和B都對。

師：同意生2的觀點嗎？

生：同意！

師：那誰來幫老師分析一下，為什么這兩個解都對？

生3：因為一次函數(shù)y=kx+b，當k<0時，y必定隨著x的增大而減少，而A中，y=-3x+4，k=-3<0，所以A正確。

師：對嗎？

生：對。

師：B呢？

生4：反比例函數(shù)y=與正比例函數(shù)y=kx的性質相反，當k>0時，y的值隨x的增大而減小。B中，y=，k=4>0，所以B也正確。

師：講的很好。有誰需要補充嗎？

生：……

師：我們不妨回到書本第13頁，一起仔細地研讀反比例函數(shù)的性質。

生：反比例函數(shù)y=（k≠0）的性質：當k>0時，在圖象所在的每一象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；當k<0時，在圖象所在每一象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大。

師：剛才生4的表述與書本上的表述有什么不同？

生5：書上詳細地講到，在圖象所在的每一個象限內。

師：這是一句廢話嗎？為什么書本上不把它刪去？

生：……

師：我們一起來看反比例函數(shù)的解析式及其圖象。y=（k≠0）中，自變量x必須滿足什么條件？

生：x≠0。

師：為什么？

生：因為分母不等于0。因為0不能作除數(shù)。

師：而一次函數(shù)y=kx+b中有沒有這樣的限制條件？

生：沒有。

師：那么體現(xiàn)在圖象上又有什么區(qū)別呢？

生：一次函數(shù)的圖象是一條直線，x可以取任意值。

師：對，但反比例函數(shù)的雙曲線呢？

如圖，當k>0時，圖象分布在一、三象限。試問：圖象的兩個分支可不可能與兩線標軸相交？

生：不可能。因為x≠0，y≠0。

師：恩，所以，兩個分支是獨立的。k>0，y的值隨著x的增大而減小，但必須在同一分支上，即在圖象所在的每一個象限內才可以比較大小。

生：也就是自變量x必須都大于0，或都小于0。

師：所以例2中，該選擇……

生：A。

師：若讓B也正確，該如何修改？

生：加上x>0或x<0。

師：講得很棒，現(xiàn)在我們再一起回過頭來看例1，你注意到例1中x1>x2>0了嗎？

生：嗯，所以，最好利用圖像來解決。

師：讓我們試一試。

圖象分布在二、四象限，x1>x2>0，說明圖象只研究位于第四象限的那一支，y1>y2，且0>y1>y2。

二、問題的解決

作為教師，我們都知道，思維的發(fā)展過程是從發(fā)現(xiàn)問題開始，回答問題再次之，古今中外有成就的學者，都非常重視“問題”的意義，如鄭板橋老先生說過：“學問二字，需要拆開來看，學是學，問是問，有學無問，雖讀萬卷書，只是一條鈍漢耳?！睈垡蛩固挂舱f過：“我沒有什么才能，只不過喜歡尋根到底的追究問題罷了?！彼詫W生對數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)，可以說，是數(shù)學創(chuàng)新教育的前提，學生應成為“提出問題——分析問題——解決問題”這個認知過程的主體，應享有這種思維活動的權利和機會。

全日制義務教育新《數(shù)學課程標準》明確指出：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶”，教師應當幫助學生“在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經驗。我想，我已經在努力朝這個方向做了。

愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要?！卑l(fā)現(xiàn)問題，大膽懷疑，課堂上把“提問權”還給學生，并對他們的提問給予積極的鼓勵、引導，對激發(fā)學生的強烈的探索動機，培養(yǎng)學生的思維能力會起到重要作用。在接下來的復習課中，我又結合兩種函數(shù)，即反比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)值大小和學生進行了一次探討。因為我們都知道，在初中階段，學習的幾種函數(shù)中，只有反比例函數(shù)對自變量加以了限制（函數(shù)應用中自變量取值除外）。

三、反思

在這次反比例函數(shù)的教學事件中，我深刻地認識到了以下幾點：

（1）教材編寫的嚴謹性，在我們的教學中，其實有的時候，學生的錯誤的解答是由于我們教師上課時，語言缺少嚴密性造成的，例2的教學就深刻地說明這一點，雖然只是一個自變量x≠0的取值，但它們將會涉及到整個函數(shù)值的大小比較。

（2）課堂模式，更多地采取討論、辯論等方式，讓學生積極主動地參與到教學中，學習效果會更好，學生的探究，不管正確與否，只要思考了、參與了，就該給予積極的表揚。如果是錯了，也要聽聽他的錯誤思路的形成，或許，他會令你豁然開朗——哦，學生原來是這樣想的。

（3）在課堂教學中，我們應積極主動地對課程進行適當?shù)男拚驼{適，靈活使用新教材，設計出新穎的教學過程，把枯燥的教學知識轉化為激發(fā)學生求知欲望的刺激物，引發(fā)他們的進取心，這也是衡量課程實施效果的一個重要因素。如，新教材中安排“想一想”、“做一做”、“試一試”等內容，我們可以利用新教材這種富有彈性的課程設置，結合學生智力發(fā)展水平和發(fā)展要求的個體差異，有針對性地實施因材施教；利用新教材相對較為寬松的課時安排，選擇更為合適的時機和內容，開展更多的社會實踐活動，讓學生將所學知識應用于生活，從應用中體會數(shù)學的快樂；還可以通過多種方式將科學技術發(fā)展的新成果、新動向和新趨勢，及時地應用在教學活動中，進一步體現(xiàn)數(shù)學的實用性。

我相信，我們是在不斷地嘗試中，不斷地學習中求進步，求發(fā)展，只要我們的腳步一直往前走，我們總會收獲許多。endprint

一、背景和遇到的問題

在九年級上冊第一章反比例函數(shù)的教學中，當學習完反比例函數(shù)的性質后，書本第14頁“做一做”第1題第2小題是這樣的：已知x1，y1和x2，y2是反比例函數(shù)y=-（a≠0）兩對自變量與函數(shù)的對應值，x1>x2>0，則0 y1 y2（填>、<、=），我們不妨稱此題為例1，本題中因為a2≥0，所以-a2≤0，即反比例函數(shù)y=中的k<0，所以y的值會隨x的增大而增大，因為x1>x2。所以y1>y2，學生基本上能正確解決，但我相信，有許多同學都是一知半解的，為什么要在自變量中加入大于0的條件？為什么函數(shù)值中也涉及了與0的大小比較？所以我加入了例2，下列函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是 ，A、y=-3x+4 B、y= C、y=- D、y=3x-2

生1：老師，選A。

生2：B也對，A和B都對。

師：同意生2的觀點嗎？

生：同意！

師：那誰來幫老師分析一下，為什么這兩個解都對？

生3：因為一次函數(shù)y=kx+b，當k<0時，y必定隨著x的增大而減少，而A中，y=-3x+4，k=-3<0，所以A正確。

師：對嗎？

生：對。

師：B呢？

生4：反比例函數(shù)y=與正比例函數(shù)y=kx的性質相反，當k>0時，y的值隨x的增大而減小。B中，y=，k=4>0，所以B也正確。

師：講的很好。有誰需要補充嗎？

生：……

師：我們不妨回到書本第13頁，一起仔細地研讀反比例函數(shù)的性質。

生：反比例函數(shù)y=（k≠0）的性質：當k>0時，在圖象所在的每一象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；當k<0時，在圖象所在每一象限內，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大。

師：剛才生4的表述與書本上的表述有什么不同？

生5：書上詳細地講到，在圖象所在的每一個象限內。

師：這是一句廢話嗎？為什么書本上不把它刪去？

生：……

師：我們一起來看反比例函數(shù)的解析式及其圖象。y=（k≠0）中，自變量x必須滿足什么條件？

生：x≠0。

師：為什么？

生：因為分母不等于0。因為0不能作除數(shù)。

師：而一次函數(shù)y=kx+b中有沒有這樣的限制條件？

生：沒有。

師：那么體現(xiàn)在圖象上又有什么區(qū)別呢？

生：一次函數(shù)的圖象是一條直線，x可以取任意值。

師：對，但反比例函數(shù)的雙曲線呢？

如圖，當k>0時，圖象分布在一、三象限。試問：圖象的兩個分支可不可能與兩線標軸相交？

生：不可能。因為x≠0，y≠0。

師：恩，所以，兩個分支是獨立的。k>0，y的值隨著x的增大而減小，但必須在同一分支上，即在圖象所在的每一個象限內才可以比較大小。

生：也就是自變量x必須都大于0，或都小于0。

師：所以例2中，該選擇……

生：A。

師：若讓B也正確，該如何修改？

生：加上x>0或x<0。

師：講得很棒，現(xiàn)在我們再一起回過頭來看例1，你注意到例1中x1>x2>0了嗎？

生：嗯，所以，最好利用圖像來解決。

師：讓我們試一試。

圖象分布在二、四象限，x1>x2>0，說明圖象只研究位于第四象限的那一支，y1>y2，且0>y1>y2。

二、問題的解決

作為教師，我們都知道，思維的發(fā)展過程是從發(fā)現(xiàn)問題開始，回答問題再次之，古今中外有成就的學者，都非常重視“問題”的意義，如鄭板橋老先生說過：“學問二字，需要拆開來看，學是學，問是問，有學無問，雖讀萬卷書，只是一條鈍漢耳。”愛因斯坦也說過：“我沒有什么才能，只不過喜歡尋根到底的追究問題罷了?！彼詫W生對數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)，可以說，是數(shù)學創(chuàng)新教育的前提，學生應成為“提出問題——分析問題——解決問題”這個認知過程的主體，應享有這種思維活動的權利和機會。

全日制義務教育新《數(shù)學課程標準》明確指出：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶”，教師應當幫助學生“在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經驗。我想，我已經在努力朝這個方向做了。

愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。”發(fā)現(xiàn)問題，大膽懷疑，課堂上把“提問權”還給學生，并對他們的提問給予積極的鼓勵、引導，對激發(fā)學生的強烈的探索動機，培養(yǎng)學生的思維能力會起到重要作用。在接下來的復習課中，我又結合兩種函數(shù)，即反比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)值大小和學生進行了一次探討。因為我們都知道，在初中階段，學習的幾種函數(shù)中，只有反比例函數(shù)對自變量加以了限制（函數(shù)應用中自變量取值除外）。

三、反思

在這次反比例函數(shù)的教學事件中，我深刻地認識到了以下幾點：

（1）教材編寫的嚴謹性，在我們的教學中，其實有的時候，學生的錯誤的解答是由于我們教師上課時，語言缺少嚴密性造成的，例2的教學就深刻地說明這一點，雖然只是一個自變量x≠0的取值，但它們將會涉及到整個函數(shù)值的大小比較。

（2）課堂模式，更多地采取討論、辯論等方式，讓學生積極主動地參與到教學中，學習效果會更好，學生的探究，不管正確與否，只要思考了、參與了，就該給予積極的表揚。如果是錯了，也要聽聽他的錯誤思路的形成，或許，他會令你豁然開朗——哦，學生原來是這樣想的。

（3）在課堂教學中，我們應積極主動地對課程進行適當?shù)男拚驼{適，靈活使用新教材，設計出新穎的教學過程，把枯燥的教學知識轉化為激發(fā)學生求知欲望的刺激物，引發(fā)他們的進取心，這也是衡量課程實施效果的一個重要因素。如，新教材中安排“想一想”、“做一做”、“試一試”等內容，我們可以利用新教材這種富有彈性的課程設置，結合學生智力發(fā)展水平和發(fā)展要求的個體差異，有針對性地實施因材施教；利用新教材相對較為寬松的課時安排，選擇更為合適的時機和內容，開展更多的社會實踐活動，讓學生將所學知識應用于生活，從應用中體會數(shù)學的快樂；還可以通過多種方式將科學技術發(fā)展的新成果、新動向和新趨勢，及時地應用在教學活動中，進一步體現(xiàn)數(shù)學的實用性。

我相信，我們是在不斷地嘗試中，不斷地學習中求進步，求發(fā)展，只要我們的腳步一直往前走，我們總會收獲許多。endprint