帶跳隨機(jī)延遲微分方程半隱式Euler方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性

徐麗麗，劉 翙

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

帶跳隨機(jī)延遲微分方程半隱式Euler方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性

徐麗麗，劉 翙

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

研究帶跳隨機(jī)延遲微分方程半隱式Euler方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性.將半隱式Euler方法應(yīng)用到維納過(guò)程和泊松過(guò)程驅(qū)動(dòng)下的非線性隨機(jī)延遲微分方程上進(jìn)行討論,給出了半隱式Euler方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性的條件.

非線性帶跳隨機(jī)延遲微分方程;半隱式Euler方法;均方指數(shù)穩(wěn)定

1 引言及預(yù)備知識(shí)

當(dāng)前由于帶跳隨機(jī)延遲微分方程與確定性模型問(wèn)題比較,往往能夠更加真實(shí)地模擬科學(xué)實(shí)際中的問(wèn)題,因此它已被廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理、化學(xué)、控制論、金融學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)學(xué)等各個(gè)研究領(lǐng)域.而由于考慮噪聲環(huán)境和時(shí)間滯后對(duì)系統(tǒng)的影響，隨機(jī)延遲微分方程能夠更準(zhǔn)確地描述客觀事物的狀態(tài)和變化規(guī)律，因而對(duì)帶跳隨機(jī)微分方程穩(wěn)定性的研究很有必要.

對(duì)于帶跳隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值方法的穩(wěn)定性研究是一件很有意義的工作,但已有文獻(xiàn)并不多見(jiàn),而且都只是討論線性方程的情形.在[1]中介紹了隨機(jī)微分方程系統(tǒng)兩類數(shù)值方法的穩(wěn)定性; [2]介紹非線性隨機(jī)延遲積分方程數(shù)值方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性;[3]，[4]分別介紹了帶跳和不帶跳的隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值解的a.s.指數(shù)穩(wěn)定性;[5]介紹了帶跳隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值方法的均方穩(wěn)定性;[6]介紹了帶跳隨機(jī)延遲微分方程半隱式Milstein數(shù)值方法的均方穩(wěn)定性.本文在他們的基礎(chǔ)上研究了非線性帶跳隨機(jī)延遲微分方程半隱式Euler方法的均方指數(shù)穩(wěn)定性.

(1)

其中W(t) 是一維標(biāo)準(zhǔn)Wiener過(guò)程,N(t)是強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程.

2 主要結(jié)果及其證明

對(duì)于方程(1)應(yīng)用半隱式Euler方法

(2)

量△Wn=W(tn+1)-W(tn) 是一列服從N(0,△t)正態(tài)分布且相互獨(dú)立隨機(jī)變量,增量△Nn=N(tn+1)

-N(tn) 是服從泊松分布的隨機(jī)變量.Xn為解析解X(tn) 相應(yīng)的數(shù)值解,即Xn≈X(tn) .

定義1 對(duì)給定的步長(zhǎng)△t,如果存在正常數(shù)μ和H與n無(wú)關(guān),使得對(duì)任意的初始值φ(tn),n=-m,-m+1,…,0有

E|xn|2≤HE‖φ‖2e-μtn

(3)

成立,則稱數(shù)值解序列Xn均方指數(shù)穩(wěn)定.

XTf(t,X,0)≤-a|X|2

(4)

(5)

|f(t,X,Y)|2≤α1|X|2+α2|Y|2

(6)

|g(t,X,Y)|2≤β1|X|2+β2|Y|2

(7)

|h(t,X,Y)|2≤γ1|X|2+γ2|Y|2

(8)

(9)

則當(dāng) △t<△t*,其中

時(shí),半隱式Euler方法(2)是均方指數(shù)穩(wěn)定的.

證明 我們有

|Xn+1-θ△tf(tn+1,Xn+1,Xn-m+1)|2=

|Xn+(1-θ)△tf(tn,Xn,Xn-m)+g(tn,Xn,Xn-m)△Wn+h(tn,Xn,Xn-m)△Nn|2

從而有

|Xn+1|2=|Xn|2+|(1-θ)△tf(tn,Xn,Xn-m)|2+|g(tn,Xn,Xn-m)△Wn|2+ |h(tn,Xn,Xn-m)△Nn|2-|θ△tf(tn+1,Xn+1,Xn-m+1)|+ 2θ△t+ 2(1-θ)△t+2+ 2+ 2(1-θ)△t+ 2(1-θ)△t+ 2

(10)

根據(jù)(4)～(5),我們有

2=2+

≤

-2a|Xn+1|2+2|Xn+1||f(tn+1,Xn+1,Xn-m+1)-f(tn+1,Xn+1,0)|≤

-2a|Xn+1|+2|Xn+1|(b2|Xn-m+1|)≤

-2a|Xn+1|2+b2(|Xn+1|2+|Xn-m+1|2)=(-2a+b2)|Xn+1|2+b2|Xn-m+1|2

(11)

同樣的有

2≤(-2a+b2)|Xn|2+b2|Xn-m|2

(12)

將(6)、(11)和(12)代入(10)并重排可得

(1+θ△t(2a-b2))|Xn+1|2≤|Xn|2+(1-θ)2△t2(α1|Xn|2+α2|Xn-m|2)+

|g(tn,Xn,Xn-m)△Wn|2+|h(tn,Xn,Xn-m)△Nn|2+θ△tb2|Xn-m+1|2+

(1-θ)△t[(-2a+b2)|Xn|2+b2|Xn-m|2]+

2+2+

2(1-θ)△t+

2(1-θ)△t+

2

(13)

注意到E(△Wn)=0,E[△Wn)2]=△t,E(△Nn)=λ△t,E[(△Nn)2]=λ△t(1+λ△t) 且Xn,Xn-m+1,Xn-m都是Ftn可測(cè)的,因此,對(duì)給定的n≥0 ,下面的式子成立

(14)

現(xiàn)在對(duì)(13)式的兩邊同時(shí)取期望,運(yùn)用(7)、(8)、(14)和不等式 2xy≤x2+y2,我們有

(1+θ△t(2a-b2))E|Xn+1|2≤E|Xn|2+(1-θ)2△t2E[α1|Xn|2+α2|Xn-m|2]+

△tE[β1|Xn|2+β2|Xn-m|2]+

λ△t(1+λ△t)E[γ1|Xn|2+γ2|Xn-m|2]+θ△tb2E|Xn-m+1|2+

(1-θ)△tE[(-2a+b2)|Xn|2+b2|Xn-m|2]+

λ△tE[(1+γ1)|Xn|2+γ2|Xn-m|2]+

(1-θ)λ△t2E[(α1+γ1)|Xn|2+(α2+γ2)|Xn-m|2]

從而有

(1+θ△t(2a-b2))E|Xn+1|2≤[1+(1-θ)2△t2(α1+α2)+△t(β1+β2)+

λt(1+λ△t)(γ1+γ2)+θ△tb2+

{1+△t2[(1-θ)2(α1+α2)+λ2(γ1+γ2)+(1-θ)λ(α1+γ1+α2+γ2)]+

注意到(9)意味著 2a-b2>0,因此我們有

(15)

其中

ξ(△t)=

另一方面,ξ(△t)<1 等價(jià)于

1+θ△t(2a-b2)>1+△t2[(1-θ)2(α1+α2)+λ2(γ1+γ2)+ (1-θ)λ(α1+γ1+α2+γ2)]+△t(2θa-θb2-ρ)

這意味著

ρ>△t[(1-θ)2(α1+α2)+λ2(γ1+γ2)+(1-θ)λ(α1+γ1+α2+γ2)]

(16)

則由(16)導(dǎo)出

根據(jù)定義1,我們得到對(duì)?△t<△t*半隱式Euler方法是均方指數(shù)穩(wěn)定的,其中

[1]Huang Chengming.Exponential mean square stability of numerical methods for systems of stochastic differential equations[J].J Appl Math Comput, 2012,236:4016～4026.

[2]Li Qiyong,Gan Siqing.Mean-square exponential stability of stochastic theta methods for nonlinear stochastic delay integro-differential equations[J].J Appl Math Comput,2012, 39: 69～87.

[3]Li Qiyong,Gan Siqing. Almost sure exponential stability of numerical solutions for stochastic delay differential equations with jumps[J].J Appl Math Comput,2011, 37: 541～557.

[4]Wu F,Mao X,Szpruch L.Almost sure exponential stability of numerical solutions for stochastic delay differential equations[J].Numer Math, 2010,115:681～697.

[5]Tan Jiangguo,Wang Hongli. Mean-square stability of the Euler-Maruyama method for stochastic differential delay equations with jumps[J].International Journal of Computer Mathematics,2011,88(2):421～429.

[6]楊 茜.帶跳隨機(jī)延遲微分方程半隱式Milstein數(shù)值方法的均方穩(wěn)定性[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,27(6)：111～113.

Mean-squareexponentialstabilityofthesemi-implicitEulermethodforstochasticdelaydifferentialequationswithjumps

XU Li-li,LIU Hui

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

In this paper,the authors investigated the mean square exponential stability of the semi-implicit Euler method for stochastic delay differential equations with jumps. The semi implicit Euler method applied to the nonlinear stochastic delay differential equations which driven by Wiener process and Poisson process, and gave conditions about mean square exponential stability of the semi-implicit Euler method.

nonlinear stochastic delay differential equations with jumps; semi-implicit Euler method; mean- square exponential stable

2014—01—20

徐麗麗(1990— ),女，湖北隨州人，碩士研究生，主要從事隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性研究.

O241.8

A

1009-2714(2014)02- 0070- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.02.016