兩個(gè)相乘可交換的廣義投影算子和超廣義投影算子線性組合的 M-P逆

周 良，羅高駿

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

兩個(gè)相乘可交換的廣義投影算子和超廣義投影算子線性組合的 M-P逆

周 良，羅高駿

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

研究了兩個(gè)相乘可交換的廣義投影算子和超廣義投影算子線性組合的M-P逆，給出了兩個(gè)相乘可交換廣義投影算子和超廣義投影算子A,B的線性組合aA+bB的M-P逆的計(jì)算公式.

廣義投影算子；超廣義投影算子；M-P逆

1 引言與預(yù)備知識(shí)

矩陣的廣義逆是矩陣?yán)碚撝幸豁?xiàng)極為重要的理論，近年來(lái)，關(guān)于廣義投影算子和超廣義投影算子的性質(zhì)的研究迅速發(fā)展.在[1]中Groβ J ,Trenkler G首先提出了廣義投影算子和超廣義投影算子的概念，并研究了它們的基本性質(zhì).近年，廣義投影算子和超廣義投影算子的研究成為廣義算子論的熱點(diǎn)；廣義投影算子的線性組合的一些特征在[3]、[6]中被研究；在[4]、[7]中Stewart G W，Baksalary O M,Benitez J找到廣義投影算子和超廣義投影算子的一些有趣的性質(zhì)；在[2]、[8]中Baksalary J K,Baksalary O M得到廣義投影算子和超廣義投影算子的進(jìn)一步結(jié)果；而在最近的研究中([9])，Tosic M,Cvetkovic-Ilic D S給出了兩個(gè)相乘可換的廣義投影算子和超廣義投影算子線性組合aAk+bBl逆的計(jì)算公式.本文在這些結(jié)論的基礎(chǔ)上，根據(jù)矩陣和廣義投影算子的性質(zhì)([10]、[11])給出了兩個(gè)相乘可交換的廣義投影算子和超廣義投影算子A,B的線性組合aA+bB的M-P逆的計(jì)算公式.

設(shè)A∈Cm×n,若X∈Cn×m使得以下四個(gè)矩陣方程成立

AXA=A,XAX=X,(AX)*=AX,(XA)*=XA

則稱X是A的M-P逆.用A+來(lái)表示A的M-P逆.容易證明,A的M-P逆存在且唯一.(參見(jiàn)[10])

為了證明的需要，首先給出以下引理.

引理3[10]n階正規(guī)矩陣A是可酉對(duì)角化矩陣，且對(duì)角元是A的特征值.兩個(gè)正規(guī)矩陣可同時(shí)酉對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)它們相乘可交換.

2 主要結(jié)果及其證明

(1)

那么

A2=U(Ir1?ε2Ir2?εIr3?0)U*,A3=U(Ir1?Ir2?Ir3?0)U*

(2)

由(1)式和引理3可得

(aI+bA)+=(U(aIr1?aIr2?aIr3?aIn-r)U*+U(bIr1?bεIr2?bε2Ir3?0)U*)+=

(3)

由a3+b3=(a+b)×(a2-ab+b2),ε3=1 可得

(4)

由(1)，(2)，(3)，(4)式，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可得出

證明 當(dāng)a3+b3=0時(shí)，可分為三種情況.

再通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可得

將定理1中的aI+bA變成aI+bA2和aI+bA3時(shí)，只需將結(jié)果中A換成A2和A3，再由A4=A可得以下兩個(gè)推論.

由AB=BA可得

B=U(B11?B22?B33?B44)U*

(5)

由(2)式和(5)可得

(6)

因?yàn)?aA+bB)+=U((aI+bB11)+?(aεI+bB22)+?(aε2I+bB33)+?(bB44)+)U*，所以由引理4和定理1以及(6)式通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可得出

證明 與注1的證明類(lèi)似，分成三種情況討論，通過(guò)計(jì)算即可得到結(jié)果.

(aA+bB)T(aA+bB)=(A3+B3-A3B3)(aA+bB)=(aA+bB)

T(aA+bB)T+(A3+B3-A3B3)T=T

((aA+bB)T)*=(A3+B3-A3B3)*=(A3+B3-A3B3)=(aA+bB)T

(T(aA+bB))*=(A3+B3-A3B3)*=(A3+B3-A3B3)=T(aA+bB)

[1]Groβ J ,Trenkler G.Generalized and Hypergenralized Projectors[J]. Linear Algebra and its Applications. 1997,264:463～474.

[2]Baksalary J K,Baksalary O M.Further properties on generalized and hypergeneralized projecter[J]. Linear Algebra and its Applications. 2004,389:295～303.

[3]benitez J,Thome N.Characterizations and liner combinations of k-generalized projectors[J]. Linear Algebra and its Applications. 2005,410:150～159.

[4]Stewart G W.A note on generalized and hypergeneralized projectors[J]. Linear Algebra and its Applications. 2006,412:408～411.

[5]Baksalary J K,Baksalary O M, Groβ J .On some linear combinations of hypergeneralized projector[J].Linear Algebra and its Applications. 2006,413:264～273.

[6]Lebtahi L,Thome N.A note on k- generalized projectors[J]. Linear Algebra and its Applications. 2007,420:572～575.

[7]Baksalary O M,Benitez J.On linear combinations of two commuting hypergeneralized projectors[J].Computers and Mathematics with Applications ,2008,56:2481～2489.

[8]Baksalary J K,Baksalary O M,G trenkler.Further results on generalized and hypergeneralized projecter[J]. Linear Algebra and its Applications. 2008,429:1038～1050.

[9]Tosic M,Cvetkovic-Ilic D S.The invertibility of the difference and the sum of commuting generalized and hypergeneralized projector[J].Liner and Multiliner Algebra.2013,61(4):482～493.

[10]Horn R A,Johnson C R.矩陣分析[M]．北京:人民郵電出版社，2005.

[11]王松桂，楊振海.廣義逆及其應(yīng)用[M]．北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社，1996.

TheM-Pinverseoflinearcombinationoftwomutuallycommutinggeneralizedandhypergeneralizedprojector

ZHOU Liang, LUO Gao-jun

(College of Mathematics Science,Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

In this paper, theM-Pinverse of linear combination of two mutually commuting generalized and hypergeneralized projector has been searched. Give the formulae ofM-Pinverse of linear combinationaA+bBof two mutually commuting generalized projector and hypergeneralizedA,B.

generalized projector; hypergeneralized projector;M-Pinverse

2013—12—26

周良(1989— )，男，湖北大冶人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榫仃嚪治?

O151.21

A

1009-2714(2014)03- 0074- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.03.017