考慮超車可能性影響的跟車模型研究

張國浩，嚴(yán) 凌

(上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093)

隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會進(jìn)步，汽車擁有量也在呈現(xiàn)逐年增加的趨勢，城市化進(jìn)程加快的同時道路設(shè)施并沒有同步增長，這也是導(dǎo)致城市交通擁堵、交通環(huán)境不理想的一個重要原因。研究車輛在道路上的微觀的跟馳行為，分析車隊前方的擾動對車流波動的影響，對于分析一些實(shí)際存在的交通問題，找出解決的有效辦法是至關(guān)重要的，也是交通學(xué)領(lǐng)域多年的研究的重要課題之一。

Reuschel[1]和Pipes[2]從運(yùn)動學(xué)的角度對隊列行駛中的車流進(jìn)行動力學(xué)分析。通用汽車(General Motors)實(shí)驗(yàn)室推動了跟馳模型的基礎(chǔ)性研究。隨著認(rèn)知心理學(xué)和視覺知覺理論的逐步發(fā)展，許多學(xué)者嘗試著從心理學(xué)，視覺和知覺角度來分析和研究車輛跟弛現(xiàn)象[3]。Bando[4]等提出優(yōu)化速度OV(Optimal Velocity)模型之后，許多物理學(xué)方面學(xué)者開始把研究轉(zhuǎn)移到車輛跟弛上來，接著出現(xiàn)了廣義力模型、智能駕駛模型、全速度差模型等。這些學(xué)者試圖通過對微觀跟馳行為的建模來展現(xiàn)宏觀交通流中諸如交通失穩(wěn)、時走時停、激波相變等非線性特性，以此來解釋交通阻塞形成與消散的機(jī)理[5]。Helbing和Tilch[6]提出了廣義力GF(Generalized Force)模型。姜[7]提出了全速度差FVD(Full Velocity Difference)模型。金盛、王殿海[8]在FVD 模型的基礎(chǔ)上提出了“非基于車道的車輛跟馳的全速度差模型” NLBFVD(Non-lane-based Full Velocity Difference)。其后，許多學(xué)者也做了大量的理論和實(shí)踐創(chuàng)新，取得了一系列的理論成果。但是，對于雙車道或多車道行車情況下，相鄰車道行車狀況對車輛跟馳的影響的研究相對較少。本文在經(jīng)典OV模型的基礎(chǔ)上，基于橫向偏移，考慮由于同向相鄰車道行車車頭間距大小變化而產(chǎn)生的超車可能性的影響，對雙車道不超車前提下跟車模型進(jìn)行了一些研究。

1 模型建立

我國學(xué)者金盛、王殿海在2010年提出NLBFVD 模型，其微分方程描述如下：

(1)

V[Δxn,n+1(t),Δxn,n+2(t)]=V[(1-pn)Δxn,n+1(t)+pnΔxn,n+2(t)]。

(2)

G(Δvn,n+1(t),Δvn,n+2(t))=(1-pn)Δvn,n+1(t)+pnΔvn,n+2(t)。

(3)

式中：k為速度差的敏感系數(shù)，Δxn,n+1(t)=xn+1(t)-xn(t)是t時刻跟馳車n與前車的車頭間距，Δxn,n+2(t)=xn+2(t)-xn(t)是t時刻跟馳車n與第二輛前車的車頭間距，V(·)是優(yōu)化速度函數(shù)。pn是橫向分離參數(shù)，滿足：

(4)

式中：LSn為跟馳車與前車的橫向分離值，LSmax是最大橫向分離值。

在多車道的公路行車過程中，相鄰車道的行車狀況也會對研究車道的車輛駕駛員的心理產(chǎn)生一定的影響，駕駛員在跟車的前提下，會觀察相鄰車道的行車狀況，如果相鄰車道存在一定的安全超車距離，駕駛員的超車欲望就會變得很大；如果相鄰車道可插車間隙小于最小的安全超車距離，駕駛員的超車欲望自然會變得很小。本文從同向雙車道的道路出發(fā)，研究其中一條車道在不超車前提下考慮車輛偏移和超車刺激這兩個因素影響的跟馳反應(yīng)模型。本文中使用超車可能性Pos這個概念來對超車刺激進(jìn)行一個量化表示。

超車可能性參數(shù)Pos的取值分析如下：

圖1 超車示意圖

研究發(fā)現(xiàn)，雙車道公路超車時，相鄰車道存在一個最小的超車范圍[9]。如圖1所示的A點(diǎn)和B點(diǎn)之間的范圍，只有在相鄰車道的車頭間距值大于該最小值時，跟馳車才會考慮超車，此文取值Lmins=xB-xA，也就是說，相鄰車道na和na+1的車頭間距取值大于等于Lmins時，xna+1-xna≥Lmins，研究車輛n的駕駛員才會考慮穿越到相鄰車道進(jìn)行超車[10-12]。

此處如圖2所示兩種情況進(jìn)行跟馳時的pos的可能取值或范圍進(jìn)行分析：

(1)情形1：如圖2(a)所示，n車前車n+1偏向相鄰車道時：左側(cè)道路留出的側(cè)向凈空有限，右側(cè)被n+1車輛占用，此時n車駕駛員處于安全考慮，不會有超車的期望，可以認(rèn)為pos為0；

(2)情形1有個特殊情況：前車徹底脫離原來車道進(jìn)入相鄰車道，此時，前車n+1演化成相鄰車道上距離n車最近的車輛na，跟馳車輛n此時不再受n+1車制約，而是改受n+2車和na車的制約；

(3)情形2：如圖2(b)所示，前車n+1偏向外側(cè)車道，此時車道右側(cè)留有足夠的側(cè)向間距，對跟馳車輛駕駛員存在足夠大的超車刺激，駕駛員會根據(jù)相鄰車道行車狀況，產(chǎn)生不同的超車期望此時pos取值就不為0了；

(4)對情形2具體分析：如圖3所示，Lmins=xB-xA，令x1=|xA-xna|，x2=|xB-xna+1|，由前述可知，xna+1-xna≥Lmins時，駕駛員才會有超車期望，xna+1-xna

圖2 前導(dǎo)車不同偏向示意圖

圖3 前導(dǎo)車偏向道路外側(cè)

①xnaxB時，pos=1；

⑤xn

⑥xA

綜合以上分析，pos的取值可以總結(jié)如下：

(5)

帶入橫向偏移參數(shù)pn和超車可能性參數(shù)pos，同時考慮相鄰Δxna,n(t)(在t時刻n車和na車的車頭間距)的影響的關(guān)于跟車的模型的微分方程如下：

(6)

V[Δxn,n+1(t),Δxna,n(t),Δxn,n+2(t)]=V{(1-pn)[PosΔxn,n+1(t)+(1-Pos)Δxna,n(t)]+pn[PosΔxn,n+2(t)+(1-Pos)Δna,n(t)]}。

(7)

2 線性穩(wěn)定性分析

交通流的穩(wěn)定性主要考察小擾動在交通流中的演化過程[13]。本文利用線性穩(wěn)定性理論對所建立的模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析。假設(shè)給定初始狀態(tài)是穩(wěn)定態(tài)，本文考慮具有相同橫向分離LSn和相同可通過間隙Wn的均勻交通流狀態(tài)，此時所有車輛有均勻的車頭間距，并以優(yōu)化速度V(h,2h)在道路上行駛[3]。

對穩(wěn)態(tài)交通流施加一個小擾動[10-11]，即可得到擾動傳遞差分方程式為：

yn(t+2T)=yn(t+T)+TV′(h,2h)×[(1-pn)PosΔyn,n+1(t)+γ(1-Pos)Δyn,n+1(t)+pnPosΔyn,n+2(t)]。

(8)

將yn(t)按照傅里葉級數(shù)展開，得到y(tǒng)n(t)=Ae(ikn+zt)，接著令z=z1(ik)+z2(ik)2+z3(ik)3+…帶入上式中可以得到一階和二階的系數(shù)分別是：

(9)

式中：m=(1-pn)Pos+γ(1-Pos),n=pnPos。

因此可以得到模型的穩(wěn)定條件為：

(10)

在Bando提出的最優(yōu)速度模型基礎(chǔ)上，參考薛郁等[10]的文獻(xiàn)中取值：Vmax=2m/s,hs=4m,?=1/T=2s-1。

下面兩圖分別描繪了在γ=1.5和γ=2.0時敏感系數(shù)和車頭間距的關(guān)系：可以看到圖中的曲線將平面分成了兩個部分，曲線以下的部分滿足敏感系數(shù)小于臨界值，為不穩(wěn)定區(qū)域，對應(yīng)的交通跟馳現(xiàn)象會有：堵塞，時走時停等；曲線以上部分滿足敏感系數(shù)大于臨界值，為穩(wěn)定區(qū)域，對應(yīng)交通流能平穩(wěn)的運(yùn)行，不會有太大的波動或停滯現(xiàn)象發(fā)生。同時，顯而易見，不同的參數(shù)下，曲線位置不同，頂點(diǎn)(臨界點(diǎn))位置坐標(biāo)(hc，?c)也不同：pn一定時，Pos越小，曲線偏向坐標(biāo)平面的左上方，hc越小，?c卻越大，也就是說當(dāng)駕駛員的超車可能性變小時，要求的臨界車頭間距的取值變小，但是為了保證行車的安全性，駕駛員必須保持更警惕的敏感性，這符合現(xiàn)實(shí)的駕駛行為特征；Pos一定時，pn越大，曲線偏向坐標(biāo)平面的左下方，hc越小，?c也越小，也就是說當(dāng)超車可能性一定時，前車的橫向偏移值越大，此時對應(yīng)的臨界車頭間距越小，然而因?yàn)榍胺杰囕v偏移，駕駛員不會產(chǎn)生過多的擔(dān)心，相應(yīng)的敏感性變得不再那么警惕了，這也符合現(xiàn)實(shí)的駕駛行為特征。

圖4 γ=1.5時穩(wěn)定性系數(shù)變化趨勢圖

不同的γ取值情況下對比可以發(fā)現(xiàn)，隨著γ取值變大，曲線偏向坐標(biāo)平面左上方，表明相鄰車道距離研究車輛n最近的車輛na和n的距離越遠(yuǎn)，駕駛員的侵略性越強(qiáng)，均勻的交通流可以在更高的密度下較為穩(wěn)定的運(yùn)行，但同時對駕駛員的反應(yīng)特性卻提出了更高的要求。這個也符合實(shí)際的駕駛行為特征。

圖5 γ=2.0時穩(wěn)定性系數(shù)變化趨勢圖

最后，隨著γ，Pos以及pn的增大，可以看到曲線整體向左偏移，表明在車流密度較小，車速較快的情況下，交通流穩(wěn)定區(qū)域增大，更加值得注意的是，在車流密度較大、車速較慢的情況下，交通流穩(wěn)定區(qū)域隨著γ，Pos以及pn的增大反而減小，這可以解釋為在交通運(yùn)行順暢，車流密度小的時候，駕駛員侵略性越強(qiáng)，超車可能性越大，橫向分離越大，交通流產(chǎn)生的小擾動越不容易影響車輛運(yùn)行情況，同時車輛有足夠的車間距來做出反應(yīng)，因而不容易發(fā)生交通擁堵情況；但在交通運(yùn)行緩慢，車流密度大的時候，車輛并沒有足夠的車間距來對交通流擾動做出反應(yīng)，因而越強(qiáng)的侵略性、超車可能性以及橫向分離情況反而越容易使擾動迅速演變?yōu)榻煌〒矶隆?/p>

3 數(shù)值模擬

在穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上，本文計劃采用數(shù)值模擬的方法來驗(yàn)證前面提到模型的有效性，進(jìn)一步來研究分析模型特性。結(jié)合實(shí)際行車情況可知，當(dāng)pos以及pn較小時，仿真才不會出現(xiàn)超車的行為。因此接下來只考慮較小的參數(shù)取值情況對交通流的影響。

首先將公式(7)改成以下形式：

Δn,n+1(t+2T)=Δxn,n+1(t+T)+TV[(1-pn+1)pos+1Δxn+1,n+2+γ(1-pos+1)Δxn+1,n+2+pos+1pn+1Δxn+1,n+3]-TV[(1-pn)posΔxn,n+1+γ(1-pos)Δxn,n+1+pospnΔxn,n+2]。

(11)

在開放性邊界條件下，假設(shè)道路足夠長，有102輛車行駛在這條道路上，而且認(rèn)為所有的車輛的橫向偏移和超車可能性都是相同的，初始時刻的車頭間距取值為：第50和第51輛車與前車的車頭間距分別為h-0.5，h+0.5，其余車輛與前車車頭間距為h，此時因?yàn)榈?02輛車是頭車，在它前面沒有別的車輛，考慮車頭間距和前車有關(guān)，所以n取值從1開始到100結(jié)束。選取優(yōu)化速度函數(shù)參數(shù)取值分別為Vmax=2m/s,hs=4m,?=1/T=2s-1。

首先考察在車流密度較小、車速較快的情況：取h=5 m。

圖6 γ=1.5,pn=0,pos=0.2時車頭間距變化圖

圖6和圖7是超車可能性取值不同時車頭間距隨時間變化的整體趨勢圖。通過對比兩種取值時的圖形走勢可以看出：車流密度較小車速較快時，其他參數(shù)不變情況下，隨著pos取值的變大，交通不穩(wěn)定程度是減弱的，也就是說隨著超車可能性的變大，駕駛員的敏感性變大，在跟車行駛中注意力更加集中，使得交通流不穩(wěn)定程度逐漸降低，波動現(xiàn)象也相對微弱。明顯地，可從上述各圖將仿真過程大致分成2個階段：第一階段，交通擾動階段，此時車頭間距變化明顯，交通波出現(xiàn)紊亂；第二階段，交通穩(wěn)定階段，該階段車頭間距趨于穩(wěn)定，交通流達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，不穩(wěn)定程度降低，該狀態(tài)為穩(wěn)定狀態(tài)。

圖6和圖8是在橫向分離系數(shù)取不同值時的車頭間距隨時間的改變圖。通過對比可以看出來：γ，pos不變時，pn值越大，仿真開始交通流進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)的時間較短，表明車流密度較小時，橫向分離越大，對交通堵塞的抑制作用越大。

圖8和圖9是在參數(shù)γ取值不同時的車頭間距隨時間變化圖。通過對比很明顯可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)γ取值越大，交通流越容易達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，擾亂現(xiàn)象越不明顯。

圖8 γ=1.5,pn=0.2,pos=0.2時車頭間距變化圖

圖9 γ=1.5,pn=0.2,pos=0.2時車頭間距變化圖

圖6和圖10是在橫向分離參數(shù)和超車可能性不同時的圖。對比發(fā)現(xiàn)，車流密度較小，車速較大時，橫向分離系數(shù)越大，超車可能性越大，車流從擾動演變到穩(wěn)定狀態(tài)所需要時間越短。

綜上可知：在車流密度較小車速較大時，參數(shù)γ，pn和pos取值越大，對交通流堵塞的抑制作用越大，交通流從擾動恢復(fù)到平穩(wěn)狀態(tài)需要的時間越短。

接下來，考察當(dāng)車流密度較大車速較小時的變動情況，取h=4 m。

圖11和圖6是原始車頭間距分別取為4 m和5 m所得圖。對比可以發(fā)現(xiàn)，車流密度較小時，擾動影響范圍較大，而且從擾動開始到結(jié)束需要時間更長，車流更不穩(wěn)定。

另外，通過一系列對比可以發(fā)現(xiàn)：在車流密度較大車速較小時，橫向分離系數(shù)和超車可能性越大，導(dǎo)致駕駛員的情緒和行為更加不穩(wěn)定，交通流出現(xiàn)的波動現(xiàn)象更明顯，堵塞現(xiàn)象越嚴(yán)重。

圖10 γ=1.5,pn=0.5,pos=0.5時車頭間距變化圖

圖11 γ=1.5,pn=0,pos=0.2時車頭間距變化圖

4 結(jié) 論

本文在優(yōu)化速度(OV)模型的基礎(chǔ)上，考慮橫向分離和超車可能性的影響，借鑒雙車道行駛情況下相鄰車道行車對跟馳車輛的超車可能性影響，引入超車可能性參數(shù)，并且針對前導(dǎo)車在車道上的位置不同，分類分析和討論了超車可能性系數(shù)的取值情況。在其他學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，提出了考慮橫向分離和超車可能性的車輛跟馳模型。通過線性穩(wěn)定性理論分析了提出的模型的穩(wěn)定性條件，利用數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)：在車流密度較小車速較快時，前車的橫向分離越大，相鄰車道超車可能性越大，對于交通流由擾動到穩(wěn)定是有促進(jìn)作用的，這能間接抑制交通堵塞現(xiàn)象的發(fā)生；而對于車流密度較大車速較慢時，前車的橫向分離越大，相鄰車道超車可能性越大，對于交通流的擾動有加劇作用同時波動現(xiàn)象明顯，促進(jìn)了堵塞現(xiàn)象的發(fā)生。研究中涉及到的相鄰車道的安全超車范圍和安全超車距離大小在本文中沒有具體數(shù)值化，數(shù)值模擬的時間取值也沒有足夠長，后續(xù)會從這些不足處著手研究。

【參 考 文 獻(xiàn)】

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