三階非線性三點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解

徐鑫，李德虎

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引言

文獻(xiàn)[1]考慮了下列三階邊值問(wèn)題正解的存在性:

(1)

文獻(xiàn)[2]考慮了下列三階邊值問(wèn)題正解的存在性:

(2)

受到上面兩篇文章的啟發(fā),本文考慮了不同邊值問(wèn)題(1)式正解的存在性問(wèn)題,即

(3)

基本假設(shè)如下:

(H1)a∈C([0,1]→[0,+∞)),且存在t0∈[0,1],使得a(t0)≠0；

(H2)a∈C([0,1]→[0,+∞)),且存在t0∈[0,1],使得a(t0)≠0；

主要證明基于下面的不動(dòng)點(diǎn)定理:

考慮E=C[0,1]，在E中構(gòu)造如下錐P：

(4)

定義算子A：P→E

(5)

1 引理證明

邊值問(wèn)題(1.1)有解的充要條件是算子方程u=Au有不動(dòng)點(diǎn).

引理1.1 令y(t)∈C[0,1]，則邊值問(wèn)題

(6)

(7)

(8)

由邊值問(wèn)題可求得：

(9)

(10)

故A(P)?P

引理1.3 設(shè)條件(H1)(H2)成立，則A是P→P的全連續(xù)算子.

證明：由條件(H1)(H2)知：a(t),f(u)為連續(xù)函數(shù)，利用Arzela-Asxoli定理易驗(yàn)證A是P→P的全連續(xù)算子.其不動(dòng)點(diǎn)即為(1.1)的解.

2 結(jié)論

定理2.1 假設(shè)條件(H1)(H2)成立，且f0=0,f∞=∞，則邊值問(wèn)題(1.1)至少存在一個(gè)正解.

(11)

令Ω1={u∈E:‖u‖≤h1}，故‖Au‖≤‖u‖，?u∈P∩?Ω1.

從而有

(12)

即有：‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω2

定理2.2 假設(shè)條件(H1)(H2)成立，且f0=∞,f∞=0，則邊值問(wèn)題(1.1)至少存在一個(gè)正解.

證明：定理的證明過(guò)程類似與定理(3.1)證明.

[1]Yongping Sun.Positive solutions for third-order three-point nonhomogeneous bound-ary value problems[J]. Applied Mathematics Letters, 2009,22(1):45-51.

[2]LiJun Guo , JianPing Sun, Ya-Hong Zhao, Existence of positive solutions for nonlinear third-order three-point boundary value problems[J].Nonlinear Analysis, 2008，68(2):3151-3158.