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    三階非線性三點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解

    2014-08-22 07:28:46徐鑫李德虎
    棗莊學(xué)院學(xué)報(bào) 2014年5期
    關(guān)鍵詞:三階邊值問(wèn)題不動(dòng)點(diǎn)

    徐鑫,李德虎

    (安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

    0 引言

    文獻(xiàn)[1]考慮了下列三階邊值問(wèn)題正解的存在性:

    (1)

    文獻(xiàn)[2]考慮了下列三階邊值問(wèn)題正解的存在性:

    (2)

    受到上面兩篇文章的啟發(fā),本文考慮了不同邊值問(wèn)題(1)式正解的存在性問(wèn)題,即

    (3)

    基本假設(shè)如下:

    (H1)a∈C([0,1]→[0,+∞)),且存在t0∈[0,1],使得a(t0)≠0;

    (H2)a∈C([0,1]→[0,+∞)),且存在t0∈[0,1],使得a(t0)≠0;

    主要證明基于下面的不動(dòng)點(diǎn)定理:

    考慮E=C[0,1],在E中構(gòu)造如下錐P:

    (4)

    定義算子A:P→E

    (5)

    1 引理證明

    邊值問(wèn)題(1.1)有解的充要條件是算子方程u=Au有不動(dòng)點(diǎn).

    引理1.1 令y(t)∈C[0,1],則邊值問(wèn)題

    (6)

    (7)

    (8)

    由邊值問(wèn)題可求得:

    (9)

    (10)

    故A(P)?P

    引理1.3 設(shè)條件(H1)(H2)成立,則A是P→P的全連續(xù)算子.

    證明:由條件(H1)(H2)知:a(t),f(u)為連續(xù)函數(shù),利用Arzela-Asxoli定理易驗(yàn)證A是P→P的全連續(xù)算子.其不動(dòng)點(diǎn)即為(1.1)的解.

    2 結(jié)論

    定理2.1 假設(shè)條件(H1)(H2)成立,且f0=0,f∞=∞,則邊值問(wèn)題(1.1)至少存在一個(gè)正解.

    (11)

    令Ω1={u∈E:‖u‖≤h1},故‖Au‖≤‖u‖,?u∈P∩?Ω1.

    從而有

    (12)

    即有:‖Au‖≥‖u‖,?u∈P∩?Ω2

    定理2.2 假設(shè)條件(H1)(H2)成立,且f0=∞,f∞=0,則邊值問(wèn)題(1.1)至少存在一個(gè)正解.

    證明:定理的證明過(guò)程類似與定理(3.1)證明.

    [1]Yongping Sun.Positive solutions for third-order three-point nonhomogeneous bound-ary value problems[J]. Applied Mathematics Letters, 2009,22(1):45-51.

    [2]LiJun Guo , JianPing Sun, Ya-Hong Zhao, Existence of positive solutions for nonlinear third-order three-point boundary value problems[J].Nonlinear Analysis, 2008,68(2):3151-3158.

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