角度決定深度

陶惠民++呂重明

在高中數(shù)學(xué)《正弦定理的運(yùn)用》的研究課中，如何多角度地對(duì)問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對(duì)角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”進(jìn)行探討，我深有體會(huì).這個(gè)問題是正弦定理應(yīng)用的諸多問題中最復(fù)雜的一個(gè)，學(xué)生不容易掌握.而通常，只要記住一組邊角關(guān)系式（見后文）就可以判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù).但是通過多年、多次、多班級(jí)課后的檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生是記不住教師所介紹的一組判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù)的邊角關(guān)系式的.為什么記不住呢？原因在于學(xué)生對(duì)“判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù)的邊角關(guān)系式”不理解或理解不深刻.硬性記憶邊角關(guān)系式，時(shí)間一長(zhǎng)就忘記了，況且就是記住了公式也會(huì)因字母的變化而不能靈活使用，最終還是解決不了問題.那么，怎樣才能讓學(xué)生比較容易地去掌握“判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù)的邊角關(guān)系式”又能靈活地去運(yùn)用呢？我作了如下實(shí)踐.

一、引入探究

問題1：在△ABC中，若a=1，b=3，A=30°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

有學(xué)生在黑板上板書如下：由正弦定理ba=sinBsinA，有sinB=basinA=32，B∈（0，π），∴B=60°或120°，所以滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有兩個(gè).

這個(gè)問題的呈現(xiàn)讓學(xué)生復(fù)習(xí)了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，順便訂正了個(gè)別學(xué)生由sinB=32僅得到B=60°的錯(cuò)誤結(jié)論.

問題2：在△ABC中，若a=3，b=1，A=60°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

學(xué)生很快解答完畢.我將一個(gè)學(xué)生的解答投影到黑板上：由正弦定理易得：sinB=basinA=12，B∈（0，π），∴B=30°或150°，所以滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有兩個(gè).

教師提問：B可以等于150°嗎？學(xué)生甲糾正：不可以！理由是：∵b

上面兩道題是這類問題中最關(guān)鍵的兩個(gè)問題，我讓學(xué)生思考這兩道題的聯(lián)系與區(qū)別，并要求簡(jiǎn)要小結(jié)判斷的方法與步驟：（1）由正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值；（2）比較已知兩邊的大小，再由“大角對(duì)大邊”原理，求出另一個(gè)角的大小.（把這個(gè)內(nèi)容寫到黑板上）

看來，直接解三角形似乎可以解決“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對(duì)角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”這一問題.

六、回顧反思

回顧從多方面、多角度對(duì)問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對(duì)角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”探究的整個(gè)過程，我們發(fā)現(xiàn)最完美的解決方法是從“形”這個(gè)角度來研究.在以形助數(shù)的情境下，學(xué)生理解深刻、記憶長(zhǎng)久.由此可見，在認(rèn)識(shí)問題的過程中，積極思考、躬行實(shí)踐是學(xué)問的一個(gè)方面，然而，思維的角度能夠決定解決問題的速度、認(rèn)識(shí)問題的深度以及對(duì)問題理解記憶的持久度，所以選擇好思考問題的角度有時(shí)更為重要.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）

在高中數(shù)學(xué)《正弦定理的運(yùn)用》的研究課中，如何多角度地對(duì)問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對(duì)角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”進(jìn)行探討，我深有體會(huì).這個(gè)問題是正弦定理應(yīng)用的諸多問題中最復(fù)雜的一個(gè)，學(xué)生不容易掌握.而通常，只要記住一組邊角關(guān)系式（見后文）就可以判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù).但是通過多年、多次、多班級(jí)課后的檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生是記不住教師所介紹的一組判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù)的邊角關(guān)系式的.為什么記不住呢？原因在于學(xué)生對(duì)“判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù)的邊角關(guān)系式”不理解或理解不深刻.硬性記憶邊角關(guān)系式，時(shí)間一長(zhǎng)就忘記了，況且就是記住了公式也會(huì)因字母的變化而不能靈活使用，最終還是解決不了問題.那么，怎樣才能讓學(xué)生比較容易地去掌握“判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù)的邊角關(guān)系式”又能靈活地去運(yùn)用呢？我作了如下實(shí)踐.

一、引入探究

問題1：在△ABC中，若a=1，b=3，A=30°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

有學(xué)生在黑板上板書如下：由正弦定理ba=sinBsinA，有sinB=basinA=32，B∈（0，π），∴B=60°或120°，所以滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有兩個(gè).

這個(gè)問題的呈現(xiàn)讓學(xué)生復(fù)習(xí)了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，順便訂正了個(gè)別學(xué)生由sinB=32僅得到B=60°的錯(cuò)誤結(jié)論.

問題2：在△ABC中，若a=3，b=1，A=60°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

學(xué)生很快解答完畢.我將一個(gè)學(xué)生的解答投影到黑板上：由正弦定理易得：sinB=basinA=12，B∈（0，π），∴B=30°或150°，所以滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有兩個(gè).

教師提問：B可以等于150°嗎？學(xué)生甲糾正：不可以！理由是：∵b

上面兩道題是這類問題中最關(guān)鍵的兩個(gè)問題，我讓學(xué)生思考這兩道題的聯(lián)系與區(qū)別，并要求簡(jiǎn)要小結(jié)判斷的方法與步驟：（1）由正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值；（2）比較已知兩邊的大小，再由“大角對(duì)大邊”原理，求出另一個(gè)角的大小.（把這個(gè)內(nèi)容寫到黑板上）

看來，直接解三角形似乎可以解決“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對(duì)角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”這一問題.

六、回顧反思

回顧從多方面、多角度對(duì)問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對(duì)角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”探究的整個(gè)過程，我們發(fā)現(xiàn)最完美的解決方法是從“形”這個(gè)角度來研究.在以形助數(shù)的情境下，學(xué)生理解深刻、記憶長(zhǎng)久.由此可見，在認(rèn)識(shí)問題的過程中，積極思考、躬行實(shí)踐是學(xué)問的一個(gè)方面，然而，思維的角度能夠決定解決問題的速度、認(rèn)識(shí)問題的深度以及對(duì)問題理解記憶的持久度，所以選擇好思考問題的角度有時(shí)更為重要.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）

在高中數(shù)學(xué)《正弦定理的運(yùn)用》的研究課中，如何多角度地對(duì)問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對(duì)角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”進(jìn)行探討，我深有體會(huì).這個(gè)問題是正弦定理應(yīng)用的諸多問題中最復(fù)雜的一個(gè)，學(xué)生不容易掌握.而通常，只要記住一組邊角關(guān)系式（見后文）就可以判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù).但是通過多年、多次、多班級(jí)課后的檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生是記不住教師所介紹的一組判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù)的邊角關(guān)系式的.為什么記不住呢？原因在于學(xué)生對(duì)“判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù)的邊角關(guān)系式”不理解或理解不深刻.硬性記憶邊角關(guān)系式，時(shí)間一長(zhǎng)就忘記了，況且就是記住了公式也會(huì)因字母的變化而不能靈活使用，最終還是解決不了問題.那么，怎樣才能讓學(xué)生比較容易地去掌握“判斷滿足條件的三角形解的個(gè)數(shù)的邊角關(guān)系式”又能靈活地去運(yùn)用呢？我作了如下實(shí)踐.

一、引入探究

問題1：在△ABC中，若a=1，b=3，A=30°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

有學(xué)生在黑板上板書如下：由正弦定理ba=sinBsinA，有sinB=basinA=32，B∈（0，π），∴B=60°或120°，所以滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有兩個(gè).

這個(gè)問題的呈現(xiàn)讓學(xué)生復(fù)習(xí)了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，順便訂正了個(gè)別學(xué)生由sinB=32僅得到B=60°的錯(cuò)誤結(jié)論.

問題2：在△ABC中，若a=3，b=1，A=60°，則滿足條件的三角形解的情況如何？

學(xué)生很快解答完畢.我將一個(gè)學(xué)生的解答投影到黑板上：由正弦定理易得：sinB=basinA=12，B∈（0，π），∴B=30°或150°，所以滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有兩個(gè).

教師提問：B可以等于150°嗎？學(xué)生甲糾正：不可以！理由是：∵b

上面兩道題是這類問題中最關(guān)鍵的兩個(gè)問題，我讓學(xué)生思考這兩道題的聯(lián)系與區(qū)別，并要求簡(jiǎn)要小結(jié)判斷的方法與步驟：（1）由正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值；（2）比較已知兩邊的大小，再由“大角對(duì)大邊”原理，求出另一個(gè)角的大小.（把這個(gè)內(nèi)容寫到黑板上）

看來，直接解三角形似乎可以解決“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對(duì)角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”這一問題.

六、回顧反思

回顧從多方面、多角度對(duì)問題“已知三角形的兩邊以及其中一邊的對(duì)角，如何判斷滿足條件的三角形解的情況”探究的整個(gè)過程，我們發(fā)現(xiàn)最完美的解決方法是從“形”這個(gè)角度來研究.在以形助數(shù)的情境下，學(xué)生理解深刻、記憶長(zhǎng)久.由此可見，在認(rèn)識(shí)問題的過程中，積極思考、躬行實(shí)踐是學(xué)問的一個(gè)方面，然而，思維的角度能夠決定解決問題的速度、認(rèn)識(shí)問題的深度以及對(duì)問題理解記憶的持久度，所以選擇好思考問題的角度有時(shí)更為重要.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）