復(fù)習(xí)教學(xué)中感悟數(shù)學(xué)活動的特點

顧鋒

數(shù)學(xué)家波塞爾這樣描述數(shù)學(xué)活動：數(shù)學(xué)是人類的一種最重要的活動；數(shù)學(xué)活動是包容了從粗俗的手工勞作到高雅的理性發(fā)現(xiàn)的系統(tǒng)活動.比如，函數(shù)概念的形成，就是人們在生活實踐活動中對相變化關(guān)系的量逐漸感悟、領(lǐng)會，并通過數(shù)學(xué)形式的精微活動而逐漸得以發(fā)展的.

下面通過高二年級“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用”的第一節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計，來感悟數(shù)學(xué)活動教學(xué)的特點.

一、學(xué)生參與活動的主動性

人的活動是豐富多彩的，因而數(shù)學(xué)活動的對象也是豐富多彩的.教學(xué)中數(shù)學(xué)活動的對象基本有兩類：一類是以實物存在的客觀事物和客觀環(huán)境，另一類是以心理映象或符號存在的心理表象.根據(jù)高中學(xué)生的思維特點，數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)適當(dāng)應(yīng)用雙重編碼即形象編碼和語義編碼.通過將靜態(tài)對象動態(tài)化，抽象概念形象化，激發(fā)學(xué)生活動的主動性、積極性和能動性，從而在對活動對象的占有、改造過程中主動實現(xiàn)主體的發(fā)展.

“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用”的第一節(jié)復(fù)習(xí)課，著重是復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用.它包括利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已知函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，約束條件下求參數(shù)的值等幾個模塊.在進行教學(xué)設(shè)計時，教師可以安排了如下四道題目作為學(xué)生的課前小練.（1）函數(shù)y=x3-3x2+4x的單調(diào)性為；（2）函數(shù)f（x）=xlnx的單調(diào)減區(qū)間為；（3）函數(shù)y=ex·sinx在[0，π]的單調(diào)增區(qū)間是；（4）已知a<0，函數(shù)f（x）=y3+ax2-a2x+2的單調(diào)減區(qū)間為.復(fù)習(xí)課一開始，首先請學(xué)生匯報結(jié)果并相互糾錯，然后請兩個學(xué)生總結(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的有關(guān)知識，由學(xué)生提煉出如求單調(diào)區(qū)間的前提是求定義域等注意點.接著，教師給出例1：求函數(shù)y=12x2-2x+lnx的單調(diào)區(qū)間.設(shè)計例1的目的：一是為鞏固學(xué)生在課前小練總結(jié)的結(jié)論；二是為下面的變題服務(wù).變題：求函數(shù)f（x）=sinx2cosx-1，x∈[0，π）的單調(diào)區(qū)間.學(xué)生在例1的變題中，易忽略2cosx-1≠0這一限制條件.這一設(shè)計是為了激發(fā)學(xué)生在探究活動中的主動性，從而在對舊知的改造過程中實現(xiàn)主體性的發(fā)展.

二、學(xué)生參與活動的整體性

數(shù)學(xué)活動的整體性，一方面是指數(shù)學(xué)活動的結(jié)構(gòu)具有整體性，即學(xué)生主動的活動應(yīng)該由外部活動和內(nèi)部活動兩個部分組成.另一方面，數(shù)學(xué)活動的整體性是指數(shù)學(xué)活動過程的整體性.從教學(xué)活動的運行機制來看，教學(xué)過程正是學(xué)生主體的外部活動與內(nèi)部活動的雙向轉(zhuǎn)化過程.具體地說，數(shù)學(xué)活動既是一個操作活動數(shù)學(xué)化，又是數(shù)學(xué)材料邏輯化、邏輯材料實踐化的過程.這三個過程轉(zhuǎn)化正是一個由外而內(nèi)、由內(nèi)而外的物質(zhì)活動和觀念活動相互聯(lián)系，相互作用，相互滲透的過程，是學(xué)生主體活動外化和內(nèi)化的統(tǒng)一.

已知函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)法求參數(shù)的取值范圍的復(fù)習(xí)，教師可以根據(jù)學(xué)生參與活動的整體性，設(shè)計例2：函數(shù)f（x）=ax―12x―lnx在（0， +∞）上是增函數(shù)，求a的范圍.變題：已知函數(shù)f（x）=4x+ax2-23x3在區(qū)間（0，1]是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.而在例2的變題中，學(xué)生意識到f′（x）=4x+2ax-2x2≤0對x∈[-1，1]恒成立，即不等式x2-ax-2≥0在x∈（0，1]要恒成立.如果采用例2求最值的方法，比較煩瑣，故要求學(xué)生想出其他解法.學(xué)生經(jīng)過討論，想出參變分離的方法.在例2及變題的設(shè)計中，筆者并未一味地將解法灌輸給學(xué)生，讓學(xué)生被動地接受，而是由學(xué)生自己總結(jié)出參變分離的方法，并指出這種方法與求極值方法的各自適用情況，適用的條件及題目中關(guān)鍵詞對參變分離方法的暗示等.由此，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動教學(xué)的特點.

三、學(xué)生參與活動的開放性

數(shù)學(xué)活動的開放性具體體現(xiàn)在數(shù)學(xué)活動內(nèi)容的多樣性和選擇性，數(shù)學(xué)活動過程的動態(tài)化、活動空間的廣闊性和活動結(jié)果的多樣化.對于某段教學(xué)過程，通過教師的恰當(dāng)引導(dǎo)，思維活動層層深入，確保了學(xué)生的主體地位，充分發(fā)揮和發(fā)展學(xué)生的主體性，從而實現(xiàn)了學(xué)生不是知識的被動接受者，而是主動的發(fā)現(xiàn)者和探求者.這同時也表明，學(xué)生能力的形成和發(fā)展起自于學(xué)生參與活動的開放度，起自于學(xué)生這個主體的積極過程，離開了主體的活動，也就沒有學(xué)習(xí)的動力而言了.

四、學(xué)生參與活動的建構(gòu)性

數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的改造和重新組織.數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)特別強調(diào)原有認知結(jié)構(gòu)對新知識學(xué)習(xí)的作用，同時強調(diào)學(xué)習(xí)材料本身的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu).有內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)的材料與學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)起來，新舊知識相互作用，建立起非人為和實質(zhì)性聯(lián)系，才能導(dǎo)致學(xué)習(xí)者在頭腦中獲得新知識的意義，這種主客體相互作用的活動過程，會使學(xué)習(xí)的主體的能力和傾向發(fā)生相對穩(wěn)定的變化.endprint

數(shù)學(xué)家波塞爾這樣描述數(shù)學(xué)活動：數(shù)學(xué)是人類的一種最重要的活動；數(shù)學(xué)活動是包容了從粗俗的手工勞作到高雅的理性發(fā)現(xiàn)的系統(tǒng)活動.比如，函數(shù)概念的形成，就是人們在生活實踐活動中對相變化關(guān)系的量逐漸感悟、領(lǐng)會，并通過數(shù)學(xué)形式的精微活動而逐漸得以發(fā)展的.

下面通過高二年級“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用”的第一節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計，來感悟數(shù)學(xué)活動教學(xué)的特點.

一、學(xué)生參與活動的主動性

人的活動是豐富多彩的，因而數(shù)學(xué)活動的對象也是豐富多彩的.教學(xué)中數(shù)學(xué)活動的對象基本有兩類：一類是以實物存在的客觀事物和客觀環(huán)境，另一類是以心理映象或符號存在的心理表象.根據(jù)高中學(xué)生的思維特點，數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)適當(dāng)應(yīng)用雙重編碼即形象編碼和語義編碼.通過將靜態(tài)對象動態(tài)化，抽象概念形象化，激發(fā)學(xué)生活動的主動性、積極性和能動性，從而在對活動對象的占有、改造過程中主動實現(xiàn)主體的發(fā)展.

“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用”的第一節(jié)復(fù)習(xí)課，著重是復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用.它包括利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已知函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，約束條件下求參數(shù)的值等幾個模塊.在進行教學(xué)設(shè)計時，教師可以安排了如下四道題目作為學(xué)生的課前小練.（1）函數(shù)y=x3-3x2+4x的單調(diào)性為；（2）函數(shù)f（x）=xlnx的單調(diào)減區(qū)間為；（3）函數(shù)y=ex·sinx在[0，π]的單調(diào)增區(qū)間是；（4）已知a<0，函數(shù)f（x）=y3+ax2-a2x+2的單調(diào)減區(qū)間為.復(fù)習(xí)課一開始，首先請學(xué)生匯報結(jié)果并相互糾錯，然后請兩個學(xué)生總結(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的有關(guān)知識，由學(xué)生提煉出如求單調(diào)區(qū)間的前提是求定義域等注意點.接著，教師給出例1：求函數(shù)y=12x2-2x+lnx的單調(diào)區(qū)間.設(shè)計例1的目的：一是為鞏固學(xué)生在課前小練總結(jié)的結(jié)論；二是為下面的變題服務(wù).變題：求函數(shù)f（x）=sinx2cosx-1，x∈[0，π）的單調(diào)區(qū)間.學(xué)生在例1的變題中，易忽略2cosx-1≠0這一限制條件.這一設(shè)計是為了激發(fā)學(xué)生在探究活動中的主動性，從而在對舊知的改造過程中實現(xiàn)主體性的發(fā)展.

二、學(xué)生參與活動的整體性

數(shù)學(xué)活動的整體性，一方面是指數(shù)學(xué)活動的結(jié)構(gòu)具有整體性，即學(xué)生主動的活動應(yīng)該由外部活動和內(nèi)部活動兩個部分組成.另一方面，數(shù)學(xué)活動的整體性是指數(shù)學(xué)活動過程的整體性.從教學(xué)活動的運行機制來看，教學(xué)過程正是學(xué)生主體的外部活動與內(nèi)部活動的雙向轉(zhuǎn)化過程.具體地說，數(shù)學(xué)活動既是一個操作活動數(shù)學(xué)化，又是數(shù)學(xué)材料邏輯化、邏輯材料實踐化的過程.這三個過程轉(zhuǎn)化正是一個由外而內(nèi)、由內(nèi)而外的物質(zhì)活動和觀念活動相互聯(lián)系，相互作用，相互滲透的過程，是學(xué)生主體活動外化和內(nèi)化的統(tǒng)一.

已知函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)法求參數(shù)的取值范圍的復(fù)習(xí)，教師可以根據(jù)學(xué)生參與活動的整體性，設(shè)計例2：函數(shù)f（x）=ax―12x―lnx在（0， +∞）上是增函數(shù)，求a的范圍.變題：已知函數(shù)f（x）=4x+ax2-23x3在區(qū)間（0，1]是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.而在例2的變題中，學(xué)生意識到f′（x）=4x+2ax-2x2≤0對x∈[-1，1]恒成立，即不等式x2-ax-2≥0在x∈（0，1]要恒成立.如果采用例2求最值的方法，比較煩瑣，故要求學(xué)生想出其他解法.學(xué)生經(jīng)過討論，想出參變分離的方法.在例2及變題的設(shè)計中，筆者并未一味地將解法灌輸給學(xué)生，讓學(xué)生被動地接受，而是由學(xué)生自己總結(jié)出參變分離的方法，并指出這種方法與求極值方法的各自適用情況，適用的條件及題目中關(guān)鍵詞對參變分離方法的暗示等.由此，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動教學(xué)的特點.

三、學(xué)生參與活動的開放性

數(shù)學(xué)活動的開放性具體體現(xiàn)在數(shù)學(xué)活動內(nèi)容的多樣性和選擇性，數(shù)學(xué)活動過程的動態(tài)化、活動空間的廣闊性和活動結(jié)果的多樣化.對于某段教學(xué)過程，通過教師的恰當(dāng)引導(dǎo)，思維活動層層深入，確保了學(xué)生的主體地位，充分發(fā)揮和發(fā)展學(xué)生的主體性，從而實現(xiàn)了學(xué)生不是知識的被動接受者，而是主動的發(fā)現(xiàn)者和探求者.這同時也表明，學(xué)生能力的形成和發(fā)展起自于學(xué)生參與活動的開放度，起自于學(xué)生這個主體的積極過程，離開了主體的活動，也就沒有學(xué)習(xí)的動力而言了.

四、學(xué)生參與活動的建構(gòu)性

數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的改造和重新組織.數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)特別強調(diào)原有認知結(jié)構(gòu)對新知識學(xué)習(xí)的作用，同時強調(diào)學(xué)習(xí)材料本身的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu).有內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)的材料與學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)起來，新舊知識相互作用，建立起非人為和實質(zhì)性聯(lián)系，才能導(dǎo)致學(xué)習(xí)者在頭腦中獲得新知識的意義，這種主客體相互作用的活動過程，會使學(xué)習(xí)的主體的能力和傾向發(fā)生相對穩(wěn)定的變化.endprint

數(shù)學(xué)家波塞爾這樣描述數(shù)學(xué)活動：數(shù)學(xué)是人類的一種最重要的活動；數(shù)學(xué)活動是包容了從粗俗的手工勞作到高雅的理性發(fā)現(xiàn)的系統(tǒng)活動.比如，函數(shù)概念的形成，就是人們在生活實踐活動中對相變化關(guān)系的量逐漸感悟、領(lǐng)會，并通過數(shù)學(xué)形式的精微活動而逐漸得以發(fā)展的.

下面通過高二年級“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用”的第一節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計，來感悟數(shù)學(xué)活動教學(xué)的特點.

一、學(xué)生參與活動的主動性

人的活動是豐富多彩的，因而數(shù)學(xué)活動的對象也是豐富多彩的.教學(xué)中數(shù)學(xué)活動的對象基本有兩類：一類是以實物存在的客觀事物和客觀環(huán)境，另一類是以心理映象或符號存在的心理表象.根據(jù)高中學(xué)生的思維特點，數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)適當(dāng)應(yīng)用雙重編碼即形象編碼和語義編碼.通過將靜態(tài)對象動態(tài)化，抽象概念形象化，激發(fā)學(xué)生活動的主動性、積極性和能動性，從而在對活動對象的占有、改造過程中主動實現(xiàn)主體的發(fā)展.

“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用”的第一節(jié)復(fù)習(xí)課，著重是復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用.它包括利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已知函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，約束條件下求參數(shù)的值等幾個模塊.在進行教學(xué)設(shè)計時，教師可以安排了如下四道題目作為學(xué)生的課前小練.（1）函數(shù)y=x3-3x2+4x的單調(diào)性為；（2）函數(shù)f（x）=xlnx的單調(diào)減區(qū)間為；（3）函數(shù)y=ex·sinx在[0，π]的單調(diào)增區(qū)間是；（4）已知a<0，函數(shù)f（x）=y3+ax2-a2x+2的單調(diào)減區(qū)間為.復(fù)習(xí)課一開始，首先請學(xué)生匯報結(jié)果并相互糾錯，然后請兩個學(xué)生總結(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的有關(guān)知識，由學(xué)生提煉出如求單調(diào)區(qū)間的前提是求定義域等注意點.接著，教師給出例1：求函數(shù)y=12x2-2x+lnx的單調(diào)區(qū)間.設(shè)計例1的目的：一是為鞏固學(xué)生在課前小練總結(jié)的結(jié)論；二是為下面的變題服務(wù).變題：求函數(shù)f（x）=sinx2cosx-1，x∈[0，π）的單調(diào)區(qū)間.學(xué)生在例1的變題中，易忽略2cosx-1≠0這一限制條件.這一設(shè)計是為了激發(fā)學(xué)生在探究活動中的主動性，從而在對舊知的改造過程中實現(xiàn)主體性的發(fā)展.

二、學(xué)生參與活動的整體性

數(shù)學(xué)活動的整體性，一方面是指數(shù)學(xué)活動的結(jié)構(gòu)具有整體性，即學(xué)生主動的活動應(yīng)該由外部活動和內(nèi)部活動兩個部分組成.另一方面，數(shù)學(xué)活動的整體性是指數(shù)學(xué)活動過程的整體性.從教學(xué)活動的運行機制來看，教學(xué)過程正是學(xué)生主體的外部活動與內(nèi)部活動的雙向轉(zhuǎn)化過程.具體地說，數(shù)學(xué)活動既是一個操作活動數(shù)學(xué)化，又是數(shù)學(xué)材料邏輯化、邏輯材料實踐化的過程.這三個過程轉(zhuǎn)化正是一個由外而內(nèi)、由內(nèi)而外的物質(zhì)活動和觀念活動相互聯(lián)系，相互作用，相互滲透的過程，是學(xué)生主體活動外化和內(nèi)化的統(tǒng)一.

已知函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)法求參數(shù)的取值范圍的復(fù)習(xí)，教師可以根據(jù)學(xué)生參與活動的整體性，設(shè)計例2：函數(shù)f（x）=ax―12x―lnx在（0， +∞）上是增函數(shù)，求a的范圍.變題：已知函數(shù)f（x）=4x+ax2-23x3在區(qū)間（0，1]是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.而在例2的變題中，學(xué)生意識到f′（x）=4x+2ax-2x2≤0對x∈[-1，1]恒成立，即不等式x2-ax-2≥0在x∈（0，1]要恒成立.如果采用例2求最值的方法，比較煩瑣，故要求學(xué)生想出其他解法.學(xué)生經(jīng)過討論，想出參變分離的方法.在例2及變題的設(shè)計中，筆者并未一味地將解法灌輸給學(xué)生，讓學(xué)生被動地接受，而是由學(xué)生自己總結(jié)出參變分離的方法，并指出這種方法與求極值方法的各自適用情況，適用的條件及題目中關(guān)鍵詞對參變分離方法的暗示等.由此，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動教學(xué)的特點.

三、學(xué)生參與活動的開放性

數(shù)學(xué)活動的開放性具體體現(xiàn)在數(shù)學(xué)活動內(nèi)容的多樣性和選擇性，數(shù)學(xué)活動過程的動態(tài)化、活動空間的廣闊性和活動結(jié)果的多樣化.對于某段教學(xué)過程，通過教師的恰當(dāng)引導(dǎo)，思維活動層層深入，確保了學(xué)生的主體地位，充分發(fā)揮和發(fā)展學(xué)生的主體性，從而實現(xiàn)了學(xué)生不是知識的被動接受者，而是主動的發(fā)現(xiàn)者和探求者.這同時也表明，學(xué)生能力的形成和發(fā)展起自于學(xué)生參與活動的開放度，起自于學(xué)生這個主體的積極過程，離開了主體的活動，也就沒有學(xué)習(xí)的動力而言了.

四、學(xué)生參與活動的建構(gòu)性

數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的改造和重新組織.數(shù)學(xué)有意義學(xué)習(xí)特別強調(diào)原有認知結(jié)構(gòu)對新知識學(xué)習(xí)的作用，同時強調(diào)學(xué)習(xí)材料本身的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu).有內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)的材料與學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)起來，新舊知識相互作用，建立起非人為和實質(zhì)性聯(lián)系，才能導(dǎo)致學(xué)習(xí)者在頭腦中獲得新知識的意義，這種主客體相互作用的活動過程，會使學(xué)習(xí)的主體的能力和傾向發(fā)生相對穩(wěn)定的變化.endprint