巧用“數(shù)學(xué)思想方法”解決數(shù)學(xué)問題

陳深厚

“數(shù)學(xué)思想方法”是指從某些具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉、概括出來的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它提示了數(shù)學(xué)發(fā)展的普遍規(guī)律，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起著指引方向的重要作用。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的“靈魂”和“精髓”，在數(shù)學(xué)中居于核心地位，具有深遠(yuǎn)的教育意義。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”，讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，即學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，而且要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精神和思想方法。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》進(jìn)一步要求，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教學(xué)相關(guān)內(nèi)容，向?qū)W生滲透分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、歸納、集合、方程等基本數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)和工作打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。筆者結(jié)合自己在解決問題教學(xué)中的實(shí)踐與探索，對(duì)以下四種數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用進(jìn)行簡要闡述。

一、巧用“反證法”，培養(yǎng)逆向思維

反證法是間接證明的一種基本方法。當(dāng)需要證明一個(gè)判斷為假時(shí)，先假設(shè)這個(gè)判斷為真，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原判斷應(yīng)為假，這樣的證明方法叫做反證法。反證法是演繹推理的一種，依據(jù)的是排中律，是指兩個(gè)互相矛盾的判斷不可能同真，其中必有一假。

如，一個(gè)三位數(shù)減去一個(gè)兩位數(shù)，差一定是兩位數(shù)（見人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)指導(dǎo)叢書上冊(cè)第63頁）。剛從二年級(jí)升入三年級(jí)的學(xué)生缺乏理性認(rèn)識(shí)，邏輯思維與逆向思維存在一定的局限性，所以往往誤以為這一數(shù)學(xué)命題言之有理。學(xué)生對(duì)這一命題判斷得真與假，關(guān)鍵在于對(duì)“一定”含義的理解。一個(gè)三位數(shù)減去一個(gè)兩位數(shù)，差可以是兩位數(shù)，但“一定”就肯定了差是兩位數(shù)的結(jié)論是唯一的。課堂上可以巧用“反證法”來解決問題。

師：差可以是一位數(shù)或是三位數(shù)嗎？請(qǐng)同學(xué)們舉例驗(yàn)證、交流。

生1：差可以是一位數(shù)，如：100-99=1。

生2：還可以是三位數(shù)，如：999-99=900。

眾所皆知，否定一個(gè)猜想往往比肯定一個(gè)猜想簡單。學(xué)生經(jīng)歷逆向思辨，能舉出一個(gè)否定命題結(jié)論的例證就能判斷命題為假。不但理清了學(xué)生解決問題的邏輯，而且培養(yǎng)了學(xué)生的逆向思維能力。

二、巧用“變與不變思想方法”，發(fā)展多向思維

抓住“不變的量”，是解決問題的一種有效方法，也是一種數(shù)學(xué)思想。教師應(yīng)以教材為本，認(rèn)真研究，一邊抓“不變”現(xiàn)象中“變”的規(guī)律，另一邊抓“變”現(xiàn)象中“不變”的本質(zhì)，讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)本領(lǐng)，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

如，小馬虎在計(jì)算一道加法題時(shí)，把十位上的“5”看成“3”，把個(gè)位上的“6”看成“9”，結(jié)果是784。正確答案應(yīng)該是多少。（見人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)指導(dǎo)叢書上冊(cè)第66頁）。

小學(xué)生憑借已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)形成直觀的解題思維是：已知一個(gè)加數(shù)和另一個(gè)加數(shù)，求和是多少用加法。題目中在沒有直接給出一個(gè)因數(shù)和另一個(gè)因數(shù)的情況下，為學(xué)生設(shè)置了“把十位上的5看成3，把個(gè)位上的6看成9，和是784”這樣一個(gè)思維的“攔路虎”。如何求出一個(gè)加數(shù)和另一個(gè)加數(shù)是解決問題的關(guān)鍵。巧用“變與不變”的思想方法，對(duì)發(fā)展學(xué)生多向思維，有效解決問題能起到意想不到的成效。

師：小馬虎把十位上的“5”看成“3”，把個(gè)位上的“6”看成“9”，他看成的這個(gè)數(shù)是多少？

生1：39。

師：39和另一個(gè)因數(shù)相加的結(jié)果是784，同學(xué)們能得出另一個(gè) 因數(shù)嗎？算一算。

生2：另一個(gè)因數(shù)是784-39=745。

師：根據(jù)題意可以得出一個(gè)加法算式：39+745=784。

請(qǐng)仔細(xì)思考：在這個(gè)算式中，一個(gè)因數(shù)、另一個(gè)因數(shù)、和，這三個(gè)數(shù)誰在變，誰不變。

生3：39在變，745不變。

生4：39在變，和也在變。

師：如果小馬虎不馬虎的話，一個(gè)因數(shù)39原來是多少？

生：56。

師：那么另一個(gè)因數(shù)745不變，可以得出和的正確結(jié)果嗎？請(qǐng)列式并計(jì)算出結(jié)果。

生5：56+745=801。

在解決問題中引導(dǎo)學(xué)生巧用“變與不變”的思想方法，訓(xùn)練學(xué)生多向、多邊思維，甚至是全方位思維，使數(shù)學(xué)問題解決水到渠成。

三、巧用“數(shù)形結(jié)合思想方法”，促進(jìn)形象思維

數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，使繁難的數(shù)學(xué)問題簡捷化，使原本需要通過抽象思維解決的問題，借助形象思維就能夠解決，有利于促進(jìn)學(xué)生抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問題方案。

如，教學(xué)分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)。以■×■為例，可以做如下教學(xué)設(shè)計(jì)。

師：■表示什么？請(qǐng)同學(xué)們到黑板上以長方形為實(shí)物標(biāo)畫出■。

生1：（上臺(tái)板演圖示）■表示把長方形平均分成5份，其中的1等份表示■。

師：■的■在圖上怎么表示，在紙上畫一畫，說一說■×■的含義。

生2：把長方形的■平均分成2等份，其中1等份就是■的■，用乘法算式表示：■×■。

生3：把長方形看作單位“1”，■×■還可以表示把它平均分成10等份，其中的1份就是■。

師：■×■就等于■，是根據(jù)怎樣的算理來計(jì)算的呢？

生：■×■分母相乘作分母，分子相乘作分子，即■=■。

通過畫出長方形實(shí)物的■的■是怎么表示的，讓學(xué)生進(jìn)一步深入感知■與■相乘是分母相乘作分母，分子相乘作分子的算

理。學(xué)生也就在數(shù)形結(jié)合中直觀、深刻地明白了■×■所表示的意義是自己身邊一種看得見、摸得著、感受得到的實(shí)物，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感，又促進(jìn)了學(xué)生形象化思維的發(fā)展。

四、巧用“分類思想方法”，提高分析思辨能力

人們面對(duì)比較復(fù)雜的問題，在無法通過統(tǒng)一研究或者整體研究解決時(shí)，需要把研究的對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。其實(shí)質(zhì)是把問題“分而治之、各個(gè)擊破、綜合歸納”。

小學(xué)四年級(jí)學(xué)生空間想象能力正處于發(fā)展階段，對(duì)“同一平面”空間觀念的理解還處于似懂非懂、模棱兩可的狀態(tài)。如，教學(xué)“在同一平面內(nèi)兩條不相交的直線相互平行”（見人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)教材《垂直與平行》），可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情景，巧用分類思想方法進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“同一平面”這一空間觀念的理解。

師：一張桌子上方有兩根小棒同時(shí)落下，可能發(fā)生幾種情況（如下圖）。

■

生1：兩根小棒都落在桌子上面。

生2：一根落在桌子上面，一根落在地上。

生3：兩根都掉在地上。

如下示意圖：

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師：請(qǐng)同學(xué)們對(duì)上述三種情況進(jìn)行分類，說說分類的標(biāo)準(zhǔn)。

生4：可分兩類：把圖（1）、圖（3）兩種情況歸為第一類，因?yàn)閮筛“舳嫉粼谧烂妗⒌孛嫔?。圖（2）歸為第二類，因?yàn)樾“粢桓粼谧烂嫔希桓粼诘孛嫔稀?/p>

師：這兩類，小棒落下后在位置上有什么區(qū)別？

生5：圖（1）、圖（3）掉下的兩根小棒同在桌面或同在地面上，而第二類的兩根小棒一根在桌面上，另一根在地面上。

師，正確定義“同一平面”：像圖（1）、圖（3）掉下的兩根小棒同在桌面或地面上，就叫兩根小棒在落在同一平面內(nèi)。像圖（2），小棒一根掉在桌面上，一根掉在地面上，叫做兩根小棒落在不同的平面內(nèi)。

師拓展提升，舉一舉生活中“在同一平面內(nèi)”和“不同平面內(nèi)”的事物。

學(xué)生相互討論，師生交流。

通過創(chuàng)設(shè)情景，對(duì)在“同一平面”和“不在同一平面”的空間位置關(guān)系逐一分類討論，深入淺出地解決了學(xué)生對(duì)“在同一平面內(nèi)”空間觀念的理解。掌握分類的思想方法，可以將復(fù)雜的問題簡單化、清晰化，培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考，提高學(xué)生分析思辨的思維能力。

總之，在小學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)解決問題的能力，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積攢強(qiáng)大的后勁。然而，數(shù)學(xué)思想方法不同于一般知識(shí)技能，無法通過短期的訓(xùn)練便能掌握，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是一個(gè)經(jīng)過長期的滲透和影響才能夠形成思想和方法的過程。

（作者單位 福建省廈門市翔安區(qū)馬巷中心小學(xué)）