橫向整合縱向推進

陳永偉

【摘 要】習題是小學生進行數(shù)學學習的重要內(nèi)容之一。對于教材上的習題，我們不能按步就搬，而是應該進行二度開發(fā)。第一，要通過化靜為動、“畫龍點睛”、以點帶面等手段對習題進行橫向整合，拓寬習題的廣度；第二，要通過縱向推進、前后溝通、結論拓展等方法對習題進行深入挖掘，延伸習題的深度。

【關鍵詞】拓展；習題；廣度；深度

習題是小學數(shù)學課最常用的訓練方式之一，通過練習既可以使學生鞏固所學知識、發(fā)展智能、提升思維，又可以診斷教學實施狀況。從教幾年來，聽了不少教師的公開課，發(fā)現(xiàn)存在不少問題，如：教師缺少設計，整節(jié)課都是學生在不停的做練習；練習的形式單一，缺少生活化，尤其是計算教學；機械重復訓練，不僅加重了學生的課業(yè)負擔，而且失去了對數(shù)學的興趣，這些現(xiàn)象歸根到底其實就是教師對“習題”的認識不到位造成的，他們認為習題只是鞏固學生知識，提高技能的一種手段，而忽視了“習題”在拓展思維，促進數(shù)學思考方面的作用。因此，在教學中，習題的設計過程中，應充分考慮練習的背景與效益，深入地挖掘習題中隱含的思維價值，最大限度地發(fā)揮習題的數(shù)學思維價值，有效地促進學生思維發(fā)展。

一、橫向整合——讓數(shù)學習題具有思維廣度

數(shù)學課本上的習題，考慮到不同地區(qū)、不同學生以及教材容量等因素，在安排習題時，總是比較簡單。但是教材只是一個載體，所編排的習題也只是給我們唯一的范例，教學時，需要我們教師認真解讀，挖掘蘊涵的思維價值，根據(jù)學生情況巧妙進行整合，以增強練習的廣度。

（一）變靜為動，擴散練習的“點”

瑞士心理學家皮亞杰認為：“兒童掌握知識，提高認識，必須通過兒童自己的動作?！苯滩牡牧曨}以文本的形式出現(xiàn)的，是靜止的。在給學生安排習題的時候，如果能變靜為動，讓學生通過動手操作完成習題，將有助于調(diào)動學生多種感官，眼、手、腦參與學習，充分發(fā)揮習題的功能，使學生在更好掌握數(shù)學知識的同時，啟迪思維，發(fā)展能力。

例如，在教學《圓的面積》后，出示了這樣一題“在一張長為10厘米，寬為7厘米的長方形紙上，能剪下幾個半徑是1厘米的圓形紙片？”有的學生說：能剪70個，還要的學生說：只能剪15個，面對學生兩種截然不同的答案，教師不急于作出評價。而是，給學生提供了一張長10厘米，寬7厘米紙片，讓學生進行小組合作學習，在紙上動手進行剪一剪，學生經(jīng)過自己動手操作，很快得出結論。這樣，教師將靜止的習題，通過讓學生動手操作，變成了動態(tài)的習題，不僅提高學生的實踐能力，而且讓學生在這樣的環(huán)境中“做”數(shù)學，使學生對所學的知識進一步深化。

（二）“畫龍點睛”，拉長練習的“線”

一節(jié)課的教學內(nèi)容，從新知探索到練習安排，教材多少篇幅都是有限的，所安排的習題也只能是籠統(tǒng)的，很多習題都融合在一起，如果教師就按照教材提供的習題，可能不能很好的發(fā)揮習題的作用，學生知識點的掌握也不系統(tǒng)，如果教師在理解教材的編排意圖后，能根據(jù)班級學生的學習情況，對一些練習“畫龍點睛”，使得通過練習使學生系統(tǒng)的掌握知識，建構知識網(wǎng)絡，從而提課堂教學效率。例如，在教學“百分數(shù)”一課時，教材提供的習題是這樣的：

教材安排的這道練習，其目的是想通過這個表格的填寫，掌握百分數(shù)化小數(shù)、百分數(shù)化分數(shù)、分數(shù)化百分數(shù)、小數(shù)化百分數(shù)的方法。假如就按照這個表格的形式讓學生練習，學生也能鞏固百分數(shù)、分數(shù)、分數(shù)三者的轉化方法。但對于學生系統(tǒng)掌握百分數(shù)、分數(shù)、分數(shù)的轉化方法沒多大幫助，不利于學生整體構建知識網(wǎng)絡。為此，教學時，教師將這個表格進行適當?shù)闹亟M：

先按要求進行轉化，再獨立思考，填寫你的方法。

教師改變了原有習題的形式，分類引導學生進行轉化，并要求學生寫寫轉化方法，這樣做的好處是幫助學生從整體上去構建百分數(shù)化小數(shù)、百分數(shù)化分數(shù)、分數(shù)化百分數(shù)、小數(shù)化百分數(shù)的方法。雖然只是簡單地改變了一下形式，但并不影響這道題目的功能，反而將練習的這根“線”拉長了，使學生更加容易掌握百分數(shù)、分數(shù)、分數(shù)三者的轉化方法。通過最后的交流，形成了具體的方法。重要的是這些方法都是學生自己發(fā)現(xiàn)的，印象深刻。

（三）以點帶面，擴充練習的“面”

課本中的練習，通常比較簡單，涉及的也知識那么幾個知識點，都是基礎知識的應用，不能忽略。為此，可以適當將該習題變形、擴充，使題的含量擴大，擴充練習的“面”，從而使學生全面掌握知識。

例如，在學習了一年級下冊第一單元“百以內(nèi)數(shù)的認識”后，可以安排這樣的練習：

⑴排名次。淘氣、笑笑、小明三位同學參加運動會跳繩比賽，淘氣跳了85下、笑笑跳了78下、小明跳了90下，請同學們按照成績排出他們的名次。

⑵頒獎。第1名獎一個70元的書包，第3名獎一副25元的乒乓球拍。請同學們讀一讀這兩個獎品的價錢。

⑶第2名獎勵一個籃球，它的價格比第3名多得多，請你猜一猜多少錢？說說你的理由。

⑷給一年級的運動員編號，如果笑笑是50號，排在笑笑前面的是幾號？排在笑笑后面的是幾嗎？其它幾節(jié)應該怎樣編號呢？你能從笑笑開始數(shù)出后面5個號碼嗎？能說出前面5位運動員的號碼嗎？

在這一組練習中，教師以運動會位情境，將百以內(nèi)數(shù)的相關知識串在一起，實現(xiàn)以點帶面的效果，學生通過這樣的練習，更加全面地掌握百以內(nèi)數(shù)的讀、寫以及相對大小關系等知識，而且感受到學習的樂趣。

二、縱向推進——讓數(shù)學習題具有思維深度

思維在數(shù)學學習中具有重要的作用，思維訓練貫穿于整個教學過程。數(shù)學習題也蘊涵著數(shù)學思想，因此，教師要用足用好每一道練習題，認真鉆研教材，理解習題內(nèi)涵，明確每一道習題的作用和功能，對教材里的習題作適當調(diào)整、組合、補充，充分發(fā)揮習題的思維價值。

（一）分層推進，深化有效訓練的“點”

教材是死的，它給我們呈現(xiàn)地習題是不會說話的，而且是一道題一道題編排的。但是教師在使用的時候，一定要挖掘每道題之間存在的聯(lián)系，讓每個練習的“點”串成“線”。

例如，在教學“三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”一課時，一位教師安排了這樣的練習：

⑴分組練習：726÷6和847÷7，全班同學分成兩組進行比賽。

⑵引導學生觀察商的位數(shù)。并組織學生開展討論：兩道題目有什么共同點？又有什么不同點？你有什么發(fā)現(xiàn)？

初步得出：確定商有幾位，看被除數(shù)的百位上的數(shù)，如果百位上的數(shù)比除數(shù)大，商就三位數(shù)，如果被除數(shù)百位上的數(shù)比除數(shù)小，商就是兩位數(shù)。

⑶請你不要計算確定商是幾位數(shù)：408÷2、840÷6、782÷6、389÷9學生很快完成，而且正確率高。

⑷完善：404÷4商是幾位？由于學生剛才接觸的都是被除數(shù)百位上的數(shù)比除數(shù)大或者小的情況，學生判斷時稍微猶豫了下，但最后也能判斷。這時教師順勢提出：對剛才的結論還要完善嗎？學生很快將“被除數(shù)百位上的數(shù)和除數(shù)相等，商也是三位數(shù)”補充到剛才的結論。

⑤強化：□32÷4，如果商是三位數(shù)，□里最小填幾？如果商是兩位數(shù)，□里最大填幾？

在這個例子中，這一組練習的最終目的是提高計算的熟練程度，并發(fā)現(xiàn)其中所蘊藏的規(guī)律，很多教師一般的做法就是通過大量的練習并從中找到規(guī)律，但容易成機械訓練。但這位教師只讓學生計算兩道不同的題目，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，然后通過在應用規(guī)律中進一步完善規(guī)律，最后通過填數(shù)練習提升思維。這樣的練習安排層層推進，每一層次的練習都有不同的要求，每一層次的練習都有知識的延伸，學生通過練習都能獲得不同的知識經(jīng)驗。

（二）前后溝通，連接知識聯(lián)系的“線”

教材中的習題雖然看似每題都是獨立的，但知識之間都是存在聯(lián)系的，習題也不例外，在安排練習時，教師一定溝通習題的前后聯(lián)系，使新舊知識融為一體，把新的知識納入學生原有的認識結構，使學生對知識的掌握達到“熟練”的要求，培養(yǎng)學生靈活運用所學知識的能力。

例如，在學習了六年級上冊《圓的面積計算》這一課后，教師為了溝通所學平面圖形的聯(lián)系安排了這樣一道題目：長方形的長20cm、寬11.4 cm。有一個圓和正方形他們的周長都和長方形相等，這個圓的面積是多少？正方形的面積是多少？學生通過計算發(fā)現(xiàn)三個圖形周長相等時，圓的面積最大。

在六年級下冊《圓柱的體積》一課中，又用到了圓的知識，這時教師為了溝通立體圖形的體積存在的聯(lián)系，先讓學生再做一做這道題目，促使學生回憶起：長方形、正方形和圓在周長相等的情況下，面積最大的圓。然后出示了本節(jié)課要練習的習題：長方體、立方體和圓柱體的底面周長和高都相等，誰的體積最大？學生很快就利用六年級上冊掌握的相關知識解決了這道題目。

這樣，以習題方式溝通了知識之間的前后聯(lián)系，使六年級上冊學得的規(guī)律，延伸到六年級下冊的學習當中，達到利用舊知識解決新問題，又把新知識融合到舊知識，完善了學生原有的認識結構，提高了學生靈活運用所學知識的解決問題的能力。

（三）結論拓展，深化思維訓練的“面”

數(shù)學知識很多是以結論、概念、公式方式進行學習的，很多老師只要學生掌握了結論、概念就以為萬事大吉了，而忽視了對數(shù)學結論進行拓展，以深化學生的思維。

例如，在學習《長方形和正方形的周長》一課后，學生已經(jīng)知道怎樣求長方形和正方形的周長?；镜木毩晫W生都已經(jīng)掌握了，為了教師設計了這樣一道題目：一張正方形紙的邊長是10厘米。在它的邊上減去一個長3厘米，寬2厘米的長方形后，剩下的紙的周長是多少厘米？

題目初看很簡單，但是學生會按所學公式求解，而且受求剩余量用減法的思維定勢影響，出現(xiàn)10×4=40（厘米）；（3+2）×2=10（厘米）；40-10=30（厘米）這樣錯誤的答案。這就需要學生調(diào)動已有的知識經(jīng)驗，通過想象、操作等探索各種不同的剪法，再進行討論才能求出不同的答案。

這樣設計打破了學生的思維定勢，具體問題具體分析，數(shù)形結合，訓練了學生思維的正確性、靈活性和周密性。

總之，要使數(shù)學習題達到優(yōu)化，必須正確處理教材、例題、習題之間的關系。做到將習題與學生的認知能力結合起來，既關注學生知識技能的掌握，又關注學生數(shù)學思維、情感態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)，才能使數(shù)學課堂真正走向實效。

【參考文獻】

[1]季小莉.注意暗示及時提醒——淺談數(shù)學課堂教學啟發(fā)式策略.語數(shù)外學習（數(shù)學教育），2013，（01）

[2]王超.構建思維習題數(shù)學流光溢彩.青年教師，2008，（02）

[3]朱輝.試論數(shù)學課堂教學中的習題設計.數(shù)學教與學，2012，（16）

（作者單位：浙江省青田縣實驗小學）

例如，在教學“三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”一課時，一位教師安排了這樣的練習：

⑴分組練習：726÷6和847÷7，全班同學分成兩組進行比賽。

⑵引導學生觀察商的位數(shù)。并組織學生開展討論：兩道題目有什么共同點？又有什么不同點？你有什么發(fā)現(xiàn)？

初步得出：確定商有幾位，看被除數(shù)的百位上的數(shù)，如果百位上的數(shù)比除數(shù)大，商就三位數(shù)，如果被除數(shù)百位上的數(shù)比除數(shù)小，商就是兩位數(shù)。

⑶請你不要計算確定商是幾位數(shù)：408÷2、840÷6、782÷6、389÷9學生很快完成，而且正確率高。

⑷完善：404÷4商是幾位？由于學生剛才接觸的都是被除數(shù)百位上的數(shù)比除數(shù)大或者小的情況，學生判斷時稍微猶豫了下，但最后也能判斷。這時教師順勢提出：對剛才的結論還要完善嗎？學生很快將“被除數(shù)百位上的數(shù)和除數(shù)相等，商也是三位數(shù)”補充到剛才的結論。

⑤強化：□32÷4，如果商是三位數(shù)，□里最小填幾？如果商是兩位數(shù)，□里最大填幾？

在這個例子中，這一組練習的最終目的是提高計算的熟練程度，并發(fā)現(xiàn)其中所蘊藏的規(guī)律，很多教師一般的做法就是通過大量的練習并從中找到規(guī)律，但容易成機械訓練。但這位教師只讓學生計算兩道不同的題目，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，然后通過在應用規(guī)律中進一步完善規(guī)律，最后通過填數(shù)練習提升思維。這樣的練習安排層層推進，每一層次的練習都有不同的要求，每一層次的練習都有知識的延伸，學生通過練習都能獲得不同的知識經(jīng)驗。

（二）前后溝通，連接知識聯(lián)系的“線”

教材中的習題雖然看似每題都是獨立的，但知識之間都是存在聯(lián)系的，習題也不例外，在安排練習時，教師一定溝通習題的前后聯(lián)系，使新舊知識融為一體，把新的知識納入學生原有的認識結構，使學生對知識的掌握達到“熟練”的要求，培養(yǎng)學生靈活運用所學知識的能力。

例如，在學習了六年級上冊《圓的面積計算》這一課后，教師為了溝通所學平面圖形的聯(lián)系安排了這樣一道題目：長方形的長20cm、寬11.4 cm。有一個圓和正方形他們的周長都和長方形相等，這個圓的面積是多少？正方形的面積是多少？學生通過計算發(fā)現(xiàn)三個圖形周長相等時，圓的面積最大。

在六年級下冊《圓柱的體積》一課中，又用到了圓的知識，這時教師為了溝通立體圖形的體積存在的聯(lián)系，先讓學生再做一做這道題目，促使學生回憶起：長方形、正方形和圓在周長相等的情況下，面積最大的圓。然后出示了本節(jié)課要練習的習題：長方體、立方體和圓柱體的底面周長和高都相等，誰的體積最大？學生很快就利用六年級上冊掌握的相關知識解決了這道題目。

這樣，以習題方式溝通了知識之間的前后聯(lián)系，使六年級上冊學得的規(guī)律，延伸到六年級下冊的學習當中，達到利用舊知識解決新問題，又把新知識融合到舊知識，完善了學生原有的認識結構，提高了學生靈活運用所學知識的解決問題的能力。

（三）結論拓展，深化思維訓練的“面”

數(shù)學知識很多是以結論、概念、公式方式進行學習的，很多老師只要學生掌握了結論、概念就以為萬事大吉了，而忽視了對數(shù)學結論進行拓展，以深化學生的思維。

例如，在學習《長方形和正方形的周長》一課后，學生已經(jīng)知道怎樣求長方形和正方形的周長。基本的練習學生都已經(jīng)掌握了，為了教師設計了這樣一道題目：一張正方形紙的邊長是10厘米。在它的邊上減去一個長3厘米，寬2厘米的長方形后，剩下的紙的周長是多少厘米？

題目初看很簡單，但是學生會按所學公式求解，而且受求剩余量用減法的思維定勢影響，出現(xiàn)10×4=40（厘米）；（3+2）×2=10（厘米）；40-10=30（厘米）這樣錯誤的答案。這就需要學生調(diào)動已有的知識經(jīng)驗，通過想象、操作等探索各種不同的剪法，再進行討論才能求出不同的答案。

這樣設計打破了學生的思維定勢，具體問題具體分析，數(shù)形結合，訓練了學生思維的正確性、靈活性和周密性。

總之，要使數(shù)學習題達到優(yōu)化，必須正確處理教材、例題、習題之間的關系。做到將習題與學生的認知能力結合起來，既關注學生知識技能的掌握，又關注學生數(shù)學思維、情感態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)，才能使數(shù)學課堂真正走向實效。

【參考文獻】

[1]季小莉.注意暗示及時提醒——淺談數(shù)學課堂教學啟發(fā)式策略.語數(shù)外學習（數(shù)學教育），2013，（01）

[2]王超.構建思維習題數(shù)學流光溢彩.青年教師，2008，（02）

[3]朱輝.試論數(shù)學課堂教學中的習題設計.數(shù)學教與學，2012，（16）

（作者單位：浙江省青田縣實驗小學）

例如，在教學“三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”一課時，一位教師安排了這樣的練習：

⑴分組練習：726÷6和847÷7，全班同學分成兩組進行比賽。

⑵引導學生觀察商的位數(shù)。并組織學生開展討論：兩道題目有什么共同點？又有什么不同點？你有什么發(fā)現(xiàn)？

初步得出：確定商有幾位，看被除數(shù)的百位上的數(shù)，如果百位上的數(shù)比除數(shù)大，商就三位數(shù)，如果被除數(shù)百位上的數(shù)比除數(shù)小，商就是兩位數(shù)。

⑶請你不要計算確定商是幾位數(shù)：408÷2、840÷6、782÷6、389÷9學生很快完成，而且正確率高。

⑷完善：404÷4商是幾位？由于學生剛才接觸的都是被除數(shù)百位上的數(shù)比除數(shù)大或者小的情況，學生判斷時稍微猶豫了下，但最后也能判斷。這時教師順勢提出：對剛才的結論還要完善嗎？學生很快將“被除數(shù)百位上的數(shù)和除數(shù)相等，商也是三位數(shù)”補充到剛才的結論。

⑤強化：□32÷4，如果商是三位數(shù)，□里最小填幾？如果商是兩位數(shù)，□里最大填幾？

在這個例子中，這一組練習的最終目的是提高計算的熟練程度，并發(fā)現(xiàn)其中所蘊藏的規(guī)律，很多教師一般的做法就是通過大量的練習并從中找到規(guī)律，但容易成機械訓練。但這位教師只讓學生計算兩道不同的題目，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，然后通過在應用規(guī)律中進一步完善規(guī)律，最后通過填數(shù)練習提升思維。這樣的練習安排層層推進，每一層次的練習都有不同的要求，每一層次的練習都有知識的延伸，學生通過練習都能獲得不同的知識經(jīng)驗。

（二）前后溝通，連接知識聯(lián)系的“線”

教材中的習題雖然看似每題都是獨立的，但知識之間都是存在聯(lián)系的，習題也不例外，在安排練習時，教師一定溝通習題的前后聯(lián)系，使新舊知識融為一體，把新的知識納入學生原有的認識結構，使學生對知識的掌握達到“熟練”的要求，培養(yǎng)學生靈活運用所學知識的能力。

例如，在學習了六年級上冊《圓的面積計算》這一課后，教師為了溝通所學平面圖形的聯(lián)系安排了這樣一道題目：長方形的長20cm、寬11.4 cm。有一個圓和正方形他們的周長都和長方形相等，這個圓的面積是多少？正方形的面積是多少？學生通過計算發(fā)現(xiàn)三個圖形周長相等時，圓的面積最大。

在六年級下冊《圓柱的體積》一課中，又用到了圓的知識，這時教師為了溝通立體圖形的體積存在的聯(lián)系，先讓學生再做一做這道題目，促使學生回憶起：長方形、正方形和圓在周長相等的情況下，面積最大的圓。然后出示了本節(jié)課要練習的習題：長方體、立方體和圓柱體的底面周長和高都相等，誰的體積最大？學生很快就利用六年級上冊掌握的相關知識解決了這道題目。

這樣，以習題方式溝通了知識之間的前后聯(lián)系，使六年級上冊學得的規(guī)律，延伸到六年級下冊的學習當中，達到利用舊知識解決新問題，又把新知識融合到舊知識，完善了學生原有的認識結構，提高了學生靈活運用所學知識的解決問題的能力。

（三）結論拓展，深化思維訓練的“面”

數(shù)學知識很多是以結論、概念、公式方式進行學習的，很多老師只要學生掌握了結論、概念就以為萬事大吉了，而忽視了對數(shù)學結論進行拓展，以深化學生的思維。

例如，在學習《長方形和正方形的周長》一課后，學生已經(jīng)知道怎樣求長方形和正方形的周長?；镜木毩晫W生都已經(jīng)掌握了，為了教師設計了這樣一道題目：一張正方形紙的邊長是10厘米。在它的邊上減去一個長3厘米，寬2厘米的長方形后，剩下的紙的周長是多少厘米？

題目初看很簡單，但是學生會按所學公式求解，而且受求剩余量用減法的思維定勢影響，出現(xiàn)10×4=40（厘米）；（3+2）×2=10（厘米）；40-10=30（厘米）這樣錯誤的答案。這就需要學生調(diào)動已有的知識經(jīng)驗，通過想象、操作等探索各種不同的剪法，再進行討論才能求出不同的答案。

這樣設計打破了學生的思維定勢，具體問題具體分析，數(shù)形結合，訓練了學生思維的正確性、靈活性和周密性。

總之，要使數(shù)學習題達到優(yōu)化，必須正確處理教材、例題、習題之間的關系。做到將習題與學生的認知能力結合起來，既關注學生知識技能的掌握，又關注學生數(shù)學思維、情感態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)，才能使數(shù)學課堂真正走向實效。

【參考文獻】

[1]季小莉.注意暗示及時提醒——淺談數(shù)學課堂教學啟發(fā)式策略.語數(shù)外學習（數(shù)學教育），2013，（01）

[2]王超.構建思維習題數(shù)學流光溢彩.青年教師，2008，（02）

[3]朱輝.試論數(shù)學課堂教學中的習題設計.數(shù)學教與學，2012，（16）

（作者單位：浙江省青田縣實驗小學）