探秘圓錐曲線中一類特殊弦的幾點(diǎn)性質(zhì)

鄧城+李祥鈞

在圓錐曲線中，圓與橢圓的圖象最為相似，兩者的性質(zhì)也最為接近.例如圓中過(guò)定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡是圓，橢圓中過(guò)定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡則為橢圓.一直以來(lái)圓錐曲線題型中研究各類線段的中點(diǎn)軌跡最為常見(jiàn)，然而涉及切點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡卻較少，即便有也是限制在拋物線上，例如2013年遼寧高考題（理科）第20題.筆者認(rèn)為其中主要原因是拋物線的切線方程通過(guò)求導(dǎo)容易表達(dá)，而橢圓、雙曲線的切線方程的形式較為復(fù)雜，涉及切線的問(wèn)題往往難度較大或者計(jì)算異常繁瑣，課標(biāo)未作要求，高考一般不予考查.然而涉及切點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡到底內(nèi)藏何種乾坤，作為數(shù)學(xué)教師還是應(yīng)當(dāng)一探究竟.下面是筆者的相關(guān)探究過(guò)程和發(fā)現(xiàn)，借此拋磚引玉.

由圓的對(duì)稱性易知O、M、P三點(diǎn)共線，利用超級(jí)畫板的軌跡功能發(fā)現(xiàn)切點(diǎn)弦AB過(guò)定點(diǎn)，中點(diǎn)M在一個(gè)圓上，回到問(wèn)題1我們驚訝發(fā)現(xiàn)仍然有類似結(jié)論，經(jīng)過(guò)探究我們得到以下性質(zhì).

問(wèn)題1的解決意味著問(wèn)題2一樣同理可破解，事實(shí)上在探究過(guò)程中圓錐曲線中的對(duì)稱美、相似美、形式美、奇異美甚至缺憾之美已經(jīng)一覽無(wú)遺，這是數(shù)學(xué)的魅力所在，也值得在教學(xué)中向?qū)W生介紹，興許能一改學(xué)生對(duì)圓錐曲線原本的枯燥無(wú)趣印象，點(diǎn)燃學(xué)生積極探索的熱情.

作者簡(jiǎn)介鄧城，男，廣東大埔人，1983年8月生，中學(xué)一級(jí)教師.主要研究方向是教學(xué)模式的探討與實(shí)踐.曾獲得廣州市高考突出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)和廣東省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師稱號(hào)，在國(guó)家級(jí)、省級(jí)刊物發(fā)表數(shù)篇文章.李祥鈞，男，湖北監(jiān)利人，1967年5月生，中學(xué)高級(jí)教師.主要研究課程資源的有效整合與利用.曾獲得廣州市高考突出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)和廣州市教研積極分子，在報(bào)刊雜志發(fā)表論文多篇，主編過(guò)數(shù)本教輔資料用書.

在圓錐曲線中，圓與橢圓的圖象最為相似，兩者的性質(zhì)也最為接近.例如圓中過(guò)定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡是圓，橢圓中過(guò)定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡則為橢圓.一直以來(lái)圓錐曲線題型中研究各類線段的中點(diǎn)軌跡最為常見(jiàn)，然而涉及切點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡卻較少，即便有也是限制在拋物線上，例如2013年遼寧高考題（理科）第20題.筆者認(rèn)為其中主要原因是拋物線的切線方程通過(guò)求導(dǎo)容易表達(dá)，而橢圓、雙曲線的切線方程的形式較為復(fù)雜，涉及切線的問(wèn)題往往難度較大或者計(jì)算異常繁瑣，課標(biāo)未作要求，高考一般不予考查.然而涉及切點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡到底內(nèi)藏何種乾坤，作為數(shù)學(xué)教師還是應(yīng)當(dāng)一探究竟.下面是筆者的相關(guān)探究過(guò)程和發(fā)現(xiàn)，借此拋磚引玉.

由圓的對(duì)稱性易知O、M、P三點(diǎn)共線，利用超級(jí)畫板的軌跡功能發(fā)現(xiàn)切點(diǎn)弦AB過(guò)定點(diǎn)，中點(diǎn)M在一個(gè)圓上，回到問(wèn)題1我們驚訝發(fā)現(xiàn)仍然有類似結(jié)論，經(jīng)過(guò)探究我們得到以下性質(zhì).

問(wèn)題1的解決意味著問(wèn)題2一樣同理可破解，事實(shí)上在探究過(guò)程中圓錐曲線中的對(duì)稱美、相似美、形式美、奇異美甚至缺憾之美已經(jīng)一覽無(wú)遺，這是數(shù)學(xué)的魅力所在，也值得在教學(xué)中向?qū)W生介紹，興許能一改學(xué)生對(duì)圓錐曲線原本的枯燥無(wú)趣印象，點(diǎn)燃學(xué)生積極探索的熱情.

作者簡(jiǎn)介鄧城，男，廣東大埔人，1983年8月生，中學(xué)一級(jí)教師.主要研究方向是教學(xué)模式的探討與實(shí)踐.曾獲得廣州市高考突出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)和廣東省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師稱號(hào)，在國(guó)家級(jí)、省級(jí)刊物發(fā)表數(shù)篇文章.李祥鈞，男，湖北監(jiān)利人，1967年5月生，中學(xué)高級(jí)教師.主要研究課程資源的有效整合與利用.曾獲得廣州市高考突出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)和廣州市教研積極分子，在報(bào)刊雜志發(fā)表論文多篇，主編過(guò)數(shù)本教輔資料用書.

在圓錐曲線中，圓與橢圓的圖象最為相似，兩者的性質(zhì)也最為接近.例如圓中過(guò)定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡是圓，橢圓中過(guò)定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡則為橢圓.一直以來(lái)圓錐曲線題型中研究各類線段的中點(diǎn)軌跡最為常見(jiàn)，然而涉及切點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡卻較少，即便有也是限制在拋物線上，例如2013年遼寧高考題（理科）第20題.筆者認(rèn)為其中主要原因是拋物線的切線方程通過(guò)求導(dǎo)容易表達(dá)，而橢圓、雙曲線的切線方程的形式較為復(fù)雜，涉及切線的問(wèn)題往往難度較大或者計(jì)算異常繁瑣，課標(biāo)未作要求，高考一般不予考查.然而涉及切點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡到底內(nèi)藏何種乾坤，作為數(shù)學(xué)教師還是應(yīng)當(dāng)一探究竟.下面是筆者的相關(guān)探究過(guò)程和發(fā)現(xiàn)，借此拋磚引玉.

由圓的對(duì)稱性易知O、M、P三點(diǎn)共線，利用超級(jí)畫板的軌跡功能發(fā)現(xiàn)切點(diǎn)弦AB過(guò)定點(diǎn)，中點(diǎn)M在一個(gè)圓上，回到問(wèn)題1我們驚訝發(fā)現(xiàn)仍然有類似結(jié)論，經(jīng)過(guò)探究我們得到以下性質(zhì).

問(wèn)題1的解決意味著問(wèn)題2一樣同理可破解，事實(shí)上在探究過(guò)程中圓錐曲線中的對(duì)稱美、相似美、形式美、奇異美甚至缺憾之美已經(jīng)一覽無(wú)遺，這是數(shù)學(xué)的魅力所在，也值得在教學(xué)中向?qū)W生介紹，興許能一改學(xué)生對(duì)圓錐曲線原本的枯燥無(wú)趣印象，點(diǎn)燃學(xué)生積極探索的熱情.

作者簡(jiǎn)介鄧城，男，廣東大埔人，1983年8月生，中學(xué)一級(jí)教師.主要研究方向是教學(xué)模式的探討與實(shí)踐.曾獲得廣州市高考突出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)和廣東省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師稱號(hào)，在國(guó)家級(jí)、省級(jí)刊物發(fā)表數(shù)篇文章.李祥鈞，男，湖北監(jiān)利人，1967年5月生，中學(xué)高級(jí)教師.主要研究課程資源的有效整合與利用.曾獲得廣州市高考突出貢獻(xiàn)獎(jiǎng)和廣州市教研積極分子，在報(bào)刊雜志發(fā)表論文多篇，主編過(guò)數(shù)本教輔資料用書.