多元非平穩(wěn)時(shí)間序列分析的滑坡變形預(yù)測(cè)研究

，，，

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院， 武漢 430074)

滑坡是地質(zhì)災(zāi)害的主要類型之一，其位移預(yù)測(cè)是當(dāng)今的一個(gè)研究熱點(diǎn)?；挛灰苿?dòng)態(tài)分析的方法主要是:通過(guò)繪制各監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移歷時(shí)曲線及位移與主要影響因素的相關(guān)曲線,定性分析滑坡的動(dòng)態(tài)變形趨勢(shì)及影響因素的作用方式；或依據(jù)位移時(shí)序曲線預(yù)測(cè)滑坡的位移發(fā)展趨勢(shì)[1-5]。在滑坡的演化過(guò)程中變形累計(jì)位移一般具有單調(diào)遞增的特征，具有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，因此滑坡的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列可以看作是非平穩(wěn)位移時(shí)間序列[6]。滑坡的變形破壞，受到多種誘發(fā)因素，如降雨、庫(kù)水位升降(庫(kù)岸滑坡)、地震等因素的影響。以往的研究，多數(shù)模型都是單變量的時(shí)間序列模型(即時(shí)間-位移時(shí)序模型)，未能考慮誘發(fā)因素對(duì)滑坡累計(jì)位移的作用。當(dāng)某一誘發(fā)因素對(duì)滑坡有顯著的影響時(shí)，不考慮其作用，就難以得到良好的預(yù)測(cè)效果。因此，建立多變量的時(shí)間序列模型十分必要。本文應(yīng)用時(shí)間序列的方法,建立多元非平穩(wěn)序列之間的誤差修正模型，用于分析滑坡位移的變形趨勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了滑坡誘發(fā)因素和位移動(dòng)態(tài)變化的綜合分析。

1 協(xié)整檢驗(yàn)及誤差修正模型

1.1 協(xié)整檢驗(yàn)

對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列{xt}，在單位根檢驗(yàn)的過(guò)程中，如果檢驗(yàn)結(jié)果顯著，可拒絕原假設(shè)，說(shuō)明序列{xt}不存在單位根，是平穩(wěn)序列，則序列{xt}為零階單整序列，簡(jiǎn)記為xt～I(xiàn)(0)。假如序列{xt}至少需要進(jìn)行d階差分才能實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)，說(shuō)明序列{xt}存在d個(gè)單位根，則序列{xt}為d階單整序列，簡(jiǎn)記為xt～I(xiàn)(d)[7]。

在實(shí)際應(yīng)用中，每一個(gè)序列單獨(dú)來(lái)說(shuō)可能是非平穩(wěn)的，這些序列的均值、方差和協(xié)方差隨時(shí)間而變化，但是這些序列之間的線性組合卻可能有不隨時(shí)間變化的性質(zhì)，說(shuō)明這些序列之間可能具有長(zhǎng)期均衡關(guān)系。

Engle和Granger在1987年提出了協(xié)整檢驗(yàn)方法，在此之前，往往只采用平穩(wěn)時(shí)間序列來(lái)建立回歸模型從而避免出現(xiàn)虛假回歸，或者先將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后再做回歸。從協(xié)整理論的思想來(lái)看，如果因變量能被自變量的線性組合所解釋，兩者之間存在穩(wěn)定的均衡關(guān)系，而因變量不能被自變量所解釋的部分構(gòu)成一個(gè)殘差序列，這個(gè)序列應(yīng)該是平穩(wěn)的。所以，檢驗(yàn)一組變量之間是否存在協(xié)整關(guān)系等價(jià)于檢驗(yàn)回歸方程的殘差序列是不是一個(gè)平穩(wěn)序列。

假定滑坡誘發(fā)因素序列為{x1t},…,{xkt}，滑坡累計(jì)位移序列為{yt}，構(gòu)造回歸模型：

(1)

如果回歸殘差序列{εt}平穩(wěn)，則稱累計(jì)位移序列{yt}與誘發(fā)因素序列{x1t},…,{xkt}之間具有協(xié)整關(guān)系。

多元非平穩(wěn)序列之間要建立動(dòng)態(tài)回歸模型，必須要通過(guò)協(xié)整檢驗(yàn)，也稱為EG檢驗(yàn)。協(xié)整檢驗(yàn)的主要步驟如下。

步驟1：建立響應(yīng)序列與輸入序列之間的回歸模型，即

(2)

步驟2：檢驗(yàn)回歸殘差序列{εt}是否平穩(wěn)，也就是判斷序列{εt}是否含有單位根。主要是采用ADF檢驗(yàn)的方法來(lái)考察回歸殘差序列是否平穩(wěn)，如果{εt}不存在單位根，說(shuō)明序列{εt}平穩(wěn)。

只要通過(guò)協(xié)整檢驗(yàn)，就說(shuō)明滑坡誘發(fā)因素序列{x1t},…,{xkt}與累計(jì)位移序列{yt}之間具有協(xié)整關(guān)系，此時(shí)不一定要所有的序列都平穩(wěn)，即可將誘發(fā)因素序列引入滑坡累計(jì)位移序列進(jìn)行建模。

1.2 誤差修正模型

誤差修正模型(Error Correction Model，ECM)，由Hendry和Anderson于1977年最初提出，它常常作為協(xié)整回歸模型的補(bǔ)充模型出現(xiàn)。序列之間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系由協(xié)整模型來(lái)度量，而序列之間的短期波動(dòng)關(guān)系則由ECM來(lái)解釋。

誤差修正模型的構(gòu)造原理如下：

假設(shè)滑坡累計(jì)位移為非平穩(wěn)序列{yt}與非平穩(wěn)誘發(fā)因素序列{x1t},…,{xkt}之間具有協(xié)整關(guān)系，即

(3)

則回歸殘差序列為平穩(wěn)序列，即

(4)

在式(3)等號(hào)兩邊同時(shí)減去yt-1，則有

(5)

(6)

xit-ECMt-1+εt。

(7)

為了定量地測(cè)定這3方面影響的大小，尤其是為了測(cè)定上期誤差ECMt-1對(duì)當(dāng)期波動(dòng)yt的影響，本文構(gòu)建了ECM，模型結(jié)構(gòu)如下：

xit+βk+1ECMt-1+εt。

(8)

ECM的相應(yīng)參數(shù)可以用OLS法進(jìn)行估計(jì)，式中βk+1稱為誤差修正系數(shù)，表示誤差修正項(xiàng)對(duì)當(dāng)期波動(dòng)的修正力度。根據(jù)誤差修正模型的推導(dǎo)原理，可以確定βk+1<0，即誤差修正機(jī)制是一個(gè)負(fù)反饋機(jī)制。誤差修正模型不再單獨(dú)使用變量的水平值或變量的差分建模，而是將其有機(jī)結(jié)合從而充分利用所提供的信息。短期來(lái)看，較穩(wěn)定的長(zhǎng)期趨勢(shì)和短期波動(dòng)決定了被解釋變量的變動(dòng)，短期內(nèi)系統(tǒng)波動(dòng)振幅的大小將由其對(duì)于均衡狀態(tài)的偏離程度決定。長(zhǎng)期來(lái)看，協(xié)整關(guān)系將作為引力線將非均衡狀態(tài)拉回到均衡狀態(tài)。

2 滑坡實(shí)例分析

圖1 白水河滑坡監(jiān)測(cè)點(diǎn)ZG93累計(jì)位移-時(shí)間曲線[6]

圖2 降雨量直方圖[6]

選取三峽庫(kù)區(qū)秭歸縣白水河滑坡預(yù)警區(qū)內(nèi)監(jiān)測(cè)點(diǎn)累計(jì)位移監(jiān)測(cè)資料，以監(jiān)測(cè)點(diǎn)ZG93為代表，取其2006年1月至2007年8月共20個(gè)月的等時(shí)化插值處理后的累計(jì)位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)Y(mm)，由于此滑坡是降雨型滑坡[8-10]，其誘發(fā)因素主要是降雨，所以同時(shí)取2006年1月至2007年8月共20個(gè)月的降雨量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)X(mm)，作X的直方圖和Y的觀測(cè)曲線，分別如圖1、圖2所示[6]。

由圖1明顯可以看出，累計(jì)位移有明顯的指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，是非平穩(wěn)的時(shí)間序列。所以對(duì)序列X,Y取對(duì)數(shù)運(yùn)算，得到序列l(wèi)nX,lnY，作lnX,lnY的觀測(cè)曲線，如圖3所示。

圖3 白水河滑坡監(jiān)測(cè)點(diǎn)ZG93累計(jì)位移和降雨量取對(duì)數(shù)后的曲線

對(duì)序列{lnxt}和{lnyt}進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)。首先分別對(duì)序列{lnxt}和{lnyt}進(jìn)行ADF檢驗(yàn)(單位根檢驗(yàn))，其結(jié)果為：對(duì)于序列{lnxt}，ADF=-3.607，伴隨概率大于0.05，{lnxt}存在單位根，是非平穩(wěn)序列；對(duì)于序列{lnyt}，ADF=-3.288，伴隨概率大于0.05，{lnyt}存在單位根，是非平穩(wěn)序列。

然后分別對(duì)序列{lnxt}和{lnyt}的一階差分序列{lnxt}和{lnyt}進(jìn)行ADF檢驗(yàn)(單位根檢驗(yàn))，其結(jié)果為：對(duì)于序列{lnxt}，ADF=-7.691，伴隨概率遠(yuǎn)小于0.05，{lnxt}序列沒(méi)有單位根，是平穩(wěn)序列；對(duì)于序列{lnyt}，ADF=-1.970，伴隨概率小于0.05，序列{lnyt}沒(méi)有單位根，是平穩(wěn)序列。綜上可知lnxt～I(xiàn)(1),lnyt～I(xiàn)(1)，lnxt,lnyt都是一階單整序列，這樣就可以對(duì)其進(jìn)行協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)。

用序列{lnyt}對(duì){lnxt}進(jìn)行普通最小二乘回歸，結(jié)果如下：

lnyt=5.944+0.125lnxt+εt。

(9)

對(duì)殘差序列{εt}進(jìn)行ADF檢驗(yàn)(單位根檢驗(yàn))，其結(jié)果為：對(duì)于序列{εt}，ADF=-4.441，伴隨概率遠(yuǎn)小于0.05，{εt}序列沒(méi)有單位根，是平穩(wěn)序列。這說(shuō)明序列{lnyt}和{lnxt}之間有協(xié)整關(guān)系，可進(jìn)一步建立誤差修正模型。

由于2個(gè)變量之間有長(zhǎng)期均衡關(guān)系，但在短期內(nèi)也會(huì)出現(xiàn)失衡，所以可以用ECM對(duì)這種短期失衡加以糾正。利用差分序列l(wèi)nyt關(guān)于lnxt和前期誤差序列ECMt-1進(jìn)行OLS回歸，構(gòu)建如下ECM:

lnyt=α1lnxt+α2ECMt-1+εt,

(10)

其中，ECMt-1為上一期的誤差，

ECMt-1=lnyt-1-5.944-0.125lnxt-1。

(11)

把式(11)代入式(10)，ECM可表示為(1，1)階分布滯后形式：

lnyt=β0+β1lnxt+β2lnxt-1+

β3lnyt-1+εt。

(12)

用OLS法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，β0=-0.587,β1=0.052,β2=0.036,β3=1.042,則ECM為

lnyt=-0.587+0.052lnxt+0.036lnxt-1+

1.042lnyt-1+εt。

(13)

對(duì)殘差序列{εt}進(jìn)行ADF檢驗(yàn)(單位根檢驗(yàn))，其結(jié)果為：對(duì)于序列{εt}，ADF=-3.909，伴隨概率遠(yuǎn)小于0.05，{εt}序列沒(méi)有單位根，是平穩(wěn)序列。ECM的可決系數(shù)R2=0.954,DW統(tǒng)計(jì)量的值為1.886，殘差平穩(wěn)且不存在相關(guān)性，說(shuō)明此模型基本已將蘊(yùn)含的信息提取了出來(lái)。

對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)ZG93從2006年2月至2007年8月共19個(gè)月的累計(jì)位移的對(duì)數(shù)值進(jìn)行預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)曲線和實(shí)測(cè)曲線如圖4所示，預(yù)測(cè)誤差曲線如圖5所示。

(a) 預(yù)測(cè)曲線與實(shí)測(cè)曲線

(b) 預(yù)測(cè)誤差曲線

從圖4(a)可以看出，滑坡累計(jì)位移取對(duì)數(shù)后的預(yù)測(cè)曲線和實(shí)測(cè)曲線基本吻合。從圖4(b)可知預(yù)測(cè)誤差只有一個(gè)點(diǎn)為2.236%，其余全部在±2%以內(nèi)，說(shuō)明利用ECM對(duì)滑坡監(jiān)測(cè)點(diǎn)的累計(jì)位移趨勢(shì)的預(yù)測(cè)結(jié)果是比較理想的。

在ECM中，降雨量前一期和當(dāng)期的系數(shù)明顯大于零，表明降雨量對(duì)滑坡當(dāng)期的累計(jì)位移呈正相關(guān)關(guān)系。當(dāng)期降雨量越大，滑坡當(dāng)期和下一期的變形速率也會(huì)有所增大。對(duì)于單變量的時(shí)間序列模型，其預(yù)測(cè)出的下一期累計(jì)位移與誘發(fā)因素?zé)o關(guān)，無(wú)論誘發(fā)因素(如降雨量)如何變化，其預(yù)測(cè)值都不會(huì)變化，所以無(wú)法實(shí)現(xiàn)累計(jì)位移的動(dòng)態(tài)預(yù)報(bào)。而在本模型中，由于引入了降雨量，通過(guò)氣象手段完全可以實(shí)現(xiàn)對(duì)下一期降雨量的預(yù)測(cè)，從而可以對(duì)下一期累計(jì)位移進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)報(bào)，從而提高預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)的精度。

3 結(jié) 語(yǔ)

多元時(shí)間序列分析對(duì)非平穩(wěn)滑坡的位移動(dòng)態(tài)有很好的預(yù)測(cè)能力，本文對(duì)具有協(xié)整關(guān)系的非平穩(wěn)時(shí)間序列建立其誤差修正模型，并用白水河滑坡的相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)其滑坡累計(jì)位移進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，取得了良好的實(shí)際結(jié)果。研究實(shí)例表明，多元非平穩(wěn)序列之間的誤差修正模型理論在滑坡動(dòng)態(tài)位移預(yù)報(bào)中具有重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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