有限群的弱s-半置換子群

楊立英， 鐘 國， 丁立旺， 周 洋

(1.廣西師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530023;2.廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530003)

在群論中，若群G的子群H與G的每個子群可交換，則稱H是G的置換子群.許多群論研究者探討了置換子群的性質(zhì).例如，1939年，Ore［1］證明了有限群的每個置換子群都是次正規(guī)子群.1962年，Ito［2］證明了無核置換子群必為冪零群.隨后，Kegel［3］給出了s-置換子群的定義:稱有限群G的子群H在G中s-置換，如果H與G的每個Sylow子群可交換.進(jìn)一步地，陳重穆［4］引入了s-半置換子群的概念:稱有限群G的子群H在G中s-半置換，若對任意的，只要(p，|H|)=1，就有 PH=HP，其中P∈Sylp(G).利用子群的s-半置換性，群論研究者獲得了有限群理論的一系列有意義地重要結(jié)果.2012年，李樣明，喬守紅等［5］引入了弱s-半置換子群的概念，從而統(tǒng)一推廣了正規(guī)子群、置換子群、s-置換子群、c-正規(guī)子群以及弱s-置換子群等諸多概念.本文將進(jìn)一步研究弱s-半置換子群對有限群結(jié)構(gòu)的影響，獲得了一些p-冪零性的充分條件.文中所有群皆為有限群，G總表示一個有限群，其它符號和術(shù)語請參閱文獻(xiàn)［11］.

1 定義與引理

定義1［5］設(shè)H是G的子群.稱H為G的弱s-半置換子群，若有包含在H中的G的一個s-半置換子群HssG以及G的次正規(guī)子群T使得G=HT且 H∩T≤HssG.

文獻(xiàn)［5］給出了具體的例子說明弱s-半置換子群分別是正規(guī)子群、置換子群、s-置換子群和c-正規(guī)子群的真推廣.

引理1［6］設(shè) P 是 G 的 p-子群，其中 p∈π(G).則P在G中s-置換當(dāng)且僅當(dāng)NG(P)≥Op(G).

引理2［5］設(shè)G是群為G的弱s-半置換子群，則

1)若H≤M≤G，則H在M中弱s-半置換;

2)若 H為 G的 p-子群且N≤H，則 H/N在G/N中弱s-半置換;

3)若H是 G的 p-子群且(|H|，|N|)=1，則HN/N在G/N中弱s-半置換.

引理3［7］設(shè)F是一個子群閉的局部群系且H≤G，則 H∩ZF(G)?ZF(H).

引理4［8］設(shè)A為G的次正規(guī)子群.若A為G的Hall子群，則A在G中正規(guī).

引理5［9］設(shè)G為群，P為G的Sylow p-子群且素?cái)?shù)p滿足若P的任一極大子群在G中弱s-置換，則G為p-冪零.

引理6［10］設(shè) G 為群，若，則 Φ(H)≤Φ(G).特別地

引理7［11］設(shè) p為整除的最小素因子，P∈Sylp(G)且P循環(huán)，則G有正規(guī)p-補(bǔ)充.

引理8［12］設(shè)G為非p-冪零群但它的每一個真子群都是p-冪零的，那么G本身非冪零但它的每一個真子群都為冪零群.

引理9［12］設(shè)G為非冪零群但它的每一個真子群都是冪零群，則:

2)P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群;

3)如果P非交換且p≠2，則expP=p;

4)如果P非交換且p=2，則expP=4;

5)如果P交換，則P的方次數(shù)為p.

引理10［13］設(shè)P為群G的初等交換p-群并且,這里n≥2.則下面陳述是等價(jià)的.

1)P中的p階極小子群為G的正規(guī)子群;

2)P中的極大子群為G的正規(guī)子群.

引理11［14］設(shè)G是一個群，p為的素因子且有若存在G的一個正規(guī)子群N，使得G/N為p-冪零且，則 G 為 p-冪零.

引理12［5］設(shè)G是群，若H為G的s-半置換子群且H≤Op(G)，則H在G中s-置換.

2 主要結(jié)果

證明假設(shè)結(jié)論不真，設(shè)G為極小階反例.

1)G為內(nèi)p-冪零群

設(shè)T為 G的任意一個真子群，易得到T/T∩N?TN/N≤G/N，從而 T/T∩N為 p-冪零.設(shè)(T∩N)p∈Sylp(T∩N)，則(T∩N)p≤Np.由假設(shè)知，若(T∩N)p中的任一極小子群A在G中弱s-半置換，由引理2的1)知:A在T中弱s-半置換，又NT(A)=NG(A)∩T≤NG(A)為p-冪零.所以，G的真子群T滿足定理假設(shè)，G的極小性選擇意味著T為p-冪零.也就得到了，非p-冪零群G的任意一個真子群為p-冪零，現(xiàn)可知G為內(nèi)p-冪零群.由引理8知G為內(nèi)冪零群，由引理9知G=PQ，其中P為G的正規(guī)Sylow p-子群，Q為G的非正規(guī)循環(huán)Sylow q-子群，且p≠q.

2)導(dǎo)出矛盾

設(shè)Np為N的Sylow p-子群，由假設(shè)Np的任意一個極小子群A在G中弱s-半置換，則存在T??G和包含在A中的G的一個s-半置換子群AssG使得G=AT且A∩T≤AssG.若 T＜G，則由1)以及引理8知T冪零，既 T=Tp×Tp'，其中 Tp'為 T的 p'-Hall子群，也為G的p'-Hall子群，由Tp'char T??G得Tp'??G.又由引理4可得，于是G為p-冪零，矛盾.所以，T=G.又有 AssG≥T∩A=G∩A=A，可得AssG=A為G的s-半置換子群，由1)知P正規(guī)于G，從而有A≤Op(G)=P，再由引理12知A在G中s-置換.再由引理1知Op(G)≤NG(A)為p-冪零，得Op(G)為p-冪零，而Op(G)的正規(guī)p-補(bǔ)也是G的正規(guī)p-補(bǔ)，即得G為p-冪零，矛盾.所以，極小階反例不存在，G為p-冪零.

推論1設(shè)G是群，p為G的任意Sylow p-子群，p為整除的素因子.若P的每個極小子群A在G中弱s-半置換且NG(A)為p-冪零，則G為p-冪零.

推論2設(shè)G是群，p為G的任意Sylow p-子群，p為整除的素因子.若P∩GF的每個極小子群A在G中弱s-半置換且NG(A)為p-冪零，則G為p-冪零.這里，F(xiàn)是所有p-冪零群組成的群類.

定理2設(shè)G是群，p為整除的素因子且如果存在一個正規(guī)子群N使得G/N為p-冪零且N的每個p2階子群A在G中弱s-半置換且NG(A)為p-冪零，則G為p-冪零.

證明假設(shè)結(jié)論不真，設(shè)G為極小階反例.

1)G為內(nèi)p-冪零群

2)導(dǎo)出矛盾

推論3設(shè)G是群，p為整除的素因子且如果G的每個p2階子群A在G中弱s-半置換且NG(A)為p-冪零，則G為p-冪零.

推論4設(shè)G是群，p為整除的素因子且如果GF的每個p2階子群A在G中弱s-半置換且NG(A)為p-冪零，則G為p-冪零.這里，F(xiàn)是所有p-冪零群組成的群類.

定理3設(shè)G是群，p為整除的素因子.若有正規(guī)子群N使得G/N為p-冪零群，N的所有4階循環(huán)子群A在G中弱s-半置換并滿足NG(A)為p-冪零且N的每個p-階子群包含在ZF(G)中，則G為p-冪零.這里，F(xiàn)是所有p-冪零群組成的群類.

證明假設(shè)結(jié)論不真，設(shè)G為極小階反例.

1)G為內(nèi)p-冪零群

設(shè)T為 G的任意一個真子群，易得到T/T∩N?TN/N≤G/N，從而 T/T∩N為 p-冪零.由引理2的1)知，T∩N的每個4階循環(huán)子群A在T中弱s-半置換，又NT(A)=NG(A)∩T≤NG(A)為p-冪零.利用引理3知T∩ZF(G)?ZF(T).也就是，T∩N的所有p階子群在ZF(T)中.于是，T滿足定理?xiàng)l件，根據(jù)G的極小性可推得T為p-冪零群.現(xiàn)在知道非p-冪零群G的任一真子群為p-冪零，從而可知G為內(nèi)p-冪零群，根據(jù)引理8知G為內(nèi)冪零.由引理9知G=PQ，其中P為G的正規(guī)Sylow p-子群，Q為G的非正規(guī)循環(huán)Sylow q-子群，且p≠q;P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群.

2)導(dǎo)出矛盾

由1)知，G的Sylow p-子群P?G.分情況進(jìn)行討論:

①若P交換，則由引理9知expP=p，可知P為初等交換p-群，則Φ(P)=1，進(jìn)一步P?P/Φ(P)為G?G/Φ(P)的極小正規(guī)子群.易得到P∩N?G，則P∩N=1或 P∩N=P.如果 P∩N=1，則的一個子群，意味著G為p-冪零，矛盾.如果P∩N=P即P≤N，又由假設(shè)可知N的每個p階子群包含在G的p-冪零超中心ZF(G)中，從而P也包含在G的p-冪零超中心ZF(G)中，故G為p-冪零，矛盾.

②若P非交換且p≠2，易得到P∩N?G和(P∩N)Φ(P)/Φ(P)?G/Φ(P)，則(P∩N)Φ(P)=Φ(P)或(P∩N)Φ(P)=P.如果(P∩N)Φ(P)=Φ(P)，也就是P∩N≤(P)，因?yàn)?，可得G/P∩N為p-冪零.由G/Φ(P)?G/(P∩N)/Φ(P)/(P∩N)得G/Φ(P)為p-冪零.根據(jù)P?G以及引理6知Φ(P)≤Φ(G)，故G/Φ(G)?G/Φ(P)/Φ(G)/Φ(P)為p-冪零，可得G 為p-冪零，矛盾.如果(P∩N)Φ(P)=P，也就是P∩N=P，得到P≤N.用類似于1)的討論可得G為p-冪零，矛盾.

③若P非交換且p=2，設(shè)A為N的任意4階循環(huán)子群.由假設(shè)得A在G中弱s-半置換，則存在T??G和包含在A中的G的一個s-半置換子群AssG使得G=AT且A∩T≤AssG.若 T＜G，則由1)以及引理8知T冪零，即 T=Tp×Tp'，其中 Tp'為 T的p'-Hall子群，也為G的p'-Hall子群，由Tp'char T??G得Tp'??G.又可根據(jù)引理4，可得即G為p-冪零，矛盾.所以T=G.另一方面AssG≥T∩A=G∩A=A，可得AssG=A為G的s-半置換子群，由1)知P正規(guī)于G，從而有A≤Op(G)=P，可由引理12知A在G中s-置換.再由引理1知Op(G)≤NG(A)為p-冪零，得Op(G)為p-冪零，而Op(G)的正規(guī)p-補(bǔ)也是G的正規(guī)p-補(bǔ)，即得G為p-冪零，矛盾.所以，極小階反例不存在，G為p-冪零.

定理4設(shè)G為群，P∈Sylp(G)且P交換.對于素?cái)?shù)p是滿足的.如果P的任一極小子群為G的弱s-半置換子群，那么G為p-冪零.

證明假設(shè)結(jié)論不真，設(shè)G為極小階反例.

1)G為內(nèi)p-冪零群

2)P為初等交換p-群

3)導(dǎo)出矛盾

任取一個P的極小子群A，由假設(shè)可以知道A在G中弱s-半置換，則存在T??G和包含在A中的G的一個s-半置換子群AssG使得 G=AT且A∩T≤AssG.

分兩種情況進(jìn)行討論:

①若A∩T=1，則T＜G.由1)得 T為冪零，即T=Tp× Tp'，其中 Tp∈Sylp(T)，Tp'為 T 的 p'-Hall子群，也為G的p'-Hall子群.由Tp'char T??G得Tp'??G，由引理4，即 Tp'為 G的正規(guī) p-補(bǔ)，從而得G為p-冪零，矛盾.

②若A∩T≠1.AssG≥A∩T=A，A為G 的 s-半置換子群.類似地，可得A為G的s-置換子群，再由引理1知Op(G)≤NG(A).又因P是交換的，則于是，G的Sylow p-子群P的每個極小子群A為G的正規(guī)子群，利用2)和引理10可以推得P的每個極大子群P0也是G的正規(guī)子群，特別地有P0為的G弱s-置換子群，再利用引理5可得G為p-冪零，矛盾.所以，極小階反例不存在，G為p-冪零.

［1］ ORE O.Contributions in the theory of groups of finite groups［J］.J Duke Math，1939，5:431-460.

［2］ DEKINS W E.On quasinormal subgroups of finite groups［J］.Math Z，1963，82:125-132.

［3］ KEGEL O H.Sylow-gruppen und subnormalteiler endlicher gruppen［J］.Math Z，1962，78:434-447.

［4］ 陳重穆.關(guān)于Srinivasan的一個定理［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1987，12(1):1-4.

［5］ LI Y，QIAO S，SU N，et al.On weakly s-semipermuTablesubgroups of finite groups［J］.J Algebra，2012，371:250-261.

［6］ 韋華全.子群特性與有限群結(jié)構(gòu)［D］.廣州:中山大學(xué)，2006.

［7］ 郭文彬，繆 龍.極小子群超中心性對群構(gòu)造的影響［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1999，2(3):1-4.

［8］ DOERK K，Hawkes T.Finite soluble groups［M］.Berlin:Walter de Gruyter，1992.

［9］ MIAO L.On weakly s-permuTablesubgroups of finite groups［J］.Bull Braz Math Soc，2010，41(2):223-235.

［10］ 張遠(yuǎn)達(dá).有限群構(gòu)造:上，下冊［M］.北京:科學(xué)出版社，1982.

［11］ 徐明耀.有限群導(dǎo)引:上冊［M］.北京:科學(xué)出版社，1999.

［12］ HUPPERT B.Endliche gruppen［M］.New York:Berlin，Heidelberg，Springer-Verlag，1967.

［13］ ASAD M，HELIEL A A.On s-quasinormal embedded subgroups of finite groups［J］.J Pure Appl Algebra，2001，165(2):129-135.

［14］ MIAO L，ZHOU Y.On complemented subgroups of finite groups［J］.Czechoslovak Math J，2006，131:1019-1028.