一種簡單的加權(quán)整體最小二乘直線擬合方法

王繼剛，周 立，蔣廷臣，孫佳龍

(淮海工學(xué)院 測繪學(xué)院，江蘇 連云港 222005)

一、引 言

道路橋梁工程、工業(yè)測量擬合、GIS數(shù)據(jù)采集和變形監(jiān)測分析與預(yù)報(bào)等測量數(shù)據(jù)處理工作中直線擬合有著廣泛的應(yīng)用。常規(guī)方法是測定直線上若干點(diǎn)，列立誤差方程式時(shí)只顧及因變量誤差，依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則獲得擬合方程。由于忽略了自變量誤差，導(dǎo)致擬合方程中存在著一定的模型誤差。若要克服模型誤差，應(yīng)利用整體最小二乘法來求解直線的斜率和截距。文獻(xiàn)[1—4]較為詳細(xì)地探討了顧及因變量誤差的直線擬合問題，但這些文獻(xiàn)存在的問題是：要么未徹底解決模型誤差問題，要么模型僅僅適用于等精度觀測。事實(shí)上，在實(shí)際應(yīng)用中，直線坐標(biāo)分量觀測精度可能不等，這時(shí)應(yīng)使用加權(quán)整體最小二乘法擬合。沈云中等[5-8]提出了嚴(yán)密的加權(quán)整體最小二乘直線擬合模型，雖然這些模型精度高，但算法往往涉及復(fù)雜的矩陣?yán)碚摚\(yùn)算過程繁瑣，不利于廣大一線測繪工作者理解和應(yīng)用。

實(shí)際上，在不等精度直線擬合模型中，有兩個(gè)問題待解決：① 同時(shí)考慮坐標(biāo)分量的誤差和觀測精度；② 所建立的直線方程是否是唯一的。無論哪種坐標(biāo)分量是因變量，也無論直線方程系數(shù)近似值是如何得到的，最終得到的擬合方程都是一樣的。本文通過對(duì)直線擬合模型的深入分析，從廣大測繪工作者熟悉的測量平差角度入手，運(yùn)用附有參數(shù)的條件平差理論建模，擬解決上述兩個(gè)問題，將不等精度的整體最小二乘法直線擬合納入到測量平差方法范疇，為進(jìn)一步研究加權(quán)整體最小二乘擬合模型打下了基礎(chǔ)。

二、擬合模型

設(shè)某一條待定直線上某點(diǎn)i觀測值為(xi,yi)，i=1,2,…,n，其對(duì)應(yīng)的觀測誤差分別為εxi和εyi，那么坐標(biāo)分量之間存在的關(guān)系可表述為

a(x+εxi)+b(y+εyi)=c

(1)

式中，a和b為待估參數(shù)；c為由相關(guān)關(guān)系確定的常數(shù)，此處可設(shè)為1。

考慮到待估參數(shù)受到觀測誤差的影響，不妨取a=a0+δa和b=b0+δb，a0和b0分別為a和b的近似值，δa和δb分別為對(duì)應(yīng)的改正數(shù)。將式(1)展開并略去二次項(xiàng)，得線性近似表達(dá)式為

a0vxi+b0vyi+xiδa+yiδb+a0xi+b0yi=1

(2)

式中，vxi和vyi為對(duì)應(yīng)誤差εxi和εyi的估計(jì)值?，F(xiàn)有n個(gè)觀測值，存在著n個(gè)觀測方程，用矩陣形式可表述為

在測量數(shù)據(jù)處理中，采用賦權(quán)方法處理不等精度觀測問題，由加權(quán)最小二乘準(zhǔn)則

VTPV=min

(4)

來求解式(3)。其中，權(quán)陣P為2n階方陣，權(quán)陣本質(zhì)是一種先驗(yàn)精度矩陣。當(dāng)所有的坐標(biāo)分量都是獨(dú)立觀測得到的，此時(shí)P為對(duì)角陣；更特殊的是所有坐標(biāo)分量都是獨(dú)立等精度觀測得到的，此時(shí)P為單位陣。

實(shí)際上式(3)是一個(gè)附有參數(shù)的條件平差問題，與附有參數(shù)的條件平差問題略有差異，其秩R(B)=2，參數(shù)的個(gè)數(shù)等于待估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)，但這不影響估計(jì)結(jié)果。從平差模型本質(zhì)上看，間接平差和條件平差模型都可以看成附有參數(shù)的條件平差的特例，附有參數(shù)的條件平差模型是無法用間接平差或條件平差模型所表述的狹義模型。

根據(jù)附有參數(shù)的條件平差模型求解參數(shù)估值和精度評(píng)定方法，易得參數(shù)估值、單位權(quán)方差估計(jì)及平差參數(shù)的協(xié)方差陣，現(xiàn)直接給出相關(guān)結(jié)果如下，具體推導(dǎo)和有關(guān)符號(hào)含義參見文獻(xiàn)[9]。

特別的，當(dāng)P為單位陣時(shí)，式(5)和式(7)可分別簡化為

三、實(shí)例計(jì)算

本文采用一個(gè)經(jīng)典的不等精度的直線擬合算例進(jìn)行分析，具體數(shù)據(jù)見表1。文獻(xiàn)[5—8]均運(yùn)用該算例驗(yàn)證了加權(quán)整體最小二乘法的有效性。算例中共有10個(gè)樣本點(diǎn)，每一個(gè)樣本點(diǎn)的坐標(biāo)分量觀測精度用權(quán)加以量化。

表1 觀測值樣本

對(duì)于表1中的數(shù)據(jù)，用常規(guī)的加權(quán)擬合法無法同時(shí)使用x和y兩坐標(biāo)分量的權(quán)，而如果僅僅采用x或y的權(quán)，得到的結(jié)果誤差較大，甚至嚴(yán)重地背離了真值，直接影響了擬合結(jié)果的應(yīng)用，幾種擬合方法計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 幾種方法計(jì)算結(jié)果比較

在采用本文模型時(shí)，可認(rèn)為每個(gè)坐標(biāo)分量都是獨(dú)立觀測得到的，即權(quán)陣P為對(duì)角陣。首先分析等精度的情況，即忽略坐標(biāo)分量觀測精度，取P為20階單位陣，計(jì)算得到直線的斜率和截距與嚴(yán)密模型矩陣分解法(Golub算法)所得結(jié)果完全一致，表明本文建模方法是正確的。

對(duì)于加權(quán)模型，因?yàn)楂@取近似值的3種方法(即x為自變量、y為自變量和等精度模型)得到的a0和b0相差很大，必須采用迭代算法。本文閾值設(shè)置為10-5，對(duì)于這3種方法獲得的近似值，最多迭代5次后就都收斂到了同一數(shù)值，表明本算法穩(wěn)定，不受近似值的影響，解決了用不等精度直線擬合模型中存在的兩個(gè)問題。

從表2可以看出，本文的結(jié)果與真值和嚴(yán)密算法相比還存有微小的誤差，用向量的2-范數(shù)來衡量相對(duì)誤差，該方法計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差僅有2%，完全能滿足一般工程計(jì)算的精度要求。表明本文所提出的加權(quán)擬合模型誤差小，進(jìn)一步證明了建模方法的正確性。

四、結(jié)束語

在深入分析直線擬合誤差模型的基礎(chǔ)上，本文基于附有參數(shù)的條件平差理論建模，得到了一種簡單的加權(quán)整體最小二乘直線擬合模型。該模型解決了不等精度直線擬合中存在的兩個(gè)問題，同時(shí)將加權(quán)整體最小二乘直線擬合模型納入到測量平差體系中，模型算法簡單且穩(wěn)定、占機(jī)時(shí)間少、計(jì)算誤差小，不涉及諸如矩陣分解和Kronecker積運(yùn)算等復(fù)雜的矩陣?yán)碚?，非常有利于廣大一線測繪工作者的應(yīng)用。對(duì)于解決目前遇到的許多新問題具有一定的參考價(jià)值，對(duì)進(jìn)一步研究顧及系數(shù)矩陣誤差的整體最小二乘解具有一定的啟發(fā)，為今后更深入地研究加權(quán)整體最小二乘在測繪中的應(yīng)用打下了一定的基礎(chǔ)。

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