北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)C/A碼的正交性研究

王愛生，張 棋，魏 猛

(江蘇師范大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

一、引 言

2012年12月27日，中國(guó)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)管理辦公室公開了北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)空間信號(hào)接口控制文件公開服務(wù)信號(hào)B1I(1.0版)[1]，正式公布了B1頻點(diǎn)的信號(hào)結(jié)構(gòu)和基本特性參數(shù)、射頻信號(hào)特性，即可以通過(guò)仿真來(lái)研究北斗信號(hào)的特性，這對(duì)于擴(kuò)頻碼的同步和擴(kuò)頻信號(hào)的解擴(kuò)、噪聲的控制、測(cè)距精度的測(cè)試等具有非常重要的意義。文獻(xiàn)[2]通過(guò)仿真研究了GPS-C/A碼的平衡性，文獻(xiàn)[3—5]也對(duì)GPS的測(cè)距碼進(jìn)行了仿真。本文將對(duì)北斗B1頻點(diǎn)I支路測(cè)距碼(相當(dāng)于C/A碼)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，從而研究它們的正交性。

二、m序列

隨機(jī)序列有很好的自相關(guān)性，最大長(zhǎng)度序列(m序列)與隨機(jī)序列一樣也有很好的自相關(guān)性，并且能夠通過(guò)帶反饋的二進(jìn)制移位寄存器生成。移位寄存器的輸入是輸出寄存器與各種內(nèi)部寄存器的模2和。設(shè)移位寄存器的存儲(chǔ)位數(shù)為m，如果反饋抽頭選擇適當(dāng)，將產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度為2m-1的序列。通常用一個(gè)二進(jìn)制的不可約多項(xiàng)式來(lái)描述反饋抽頭的集合，這個(gè)多項(xiàng)式稱為m序列的生成多項(xiàng)式。

m序列有許多重要性質(zhì)[6]，其中，m序列的自相關(guān)為

三、Gold碼

對(duì)同一長(zhǎng)度的兩個(gè)m序列求和，但使用不同的生成多項(xiàng)式，這樣得到的一個(gè)新的0-1序列就是Gold碼。在實(shí)際應(yīng)用中，我們希望分配給發(fā)射機(jī)的擴(kuò)頻碼具有很好的互相關(guān)特性。Gold證明了對(duì)于特定選擇的生成多項(xiàng)式，生成的Gold碼序列具有很好的互相關(guān)性質(zhì)，即

(2)

式(2)說(shuō)明，對(duì)于所有的時(shí)間偏移τ，兩個(gè)不同符號(hào)波形的互相關(guān)近似為0，這意味著不同序列是近似正交的。使實(shí)際信道和接收機(jī)影響最小化所必須附加的自正交性要求為

Rkk(τ)≈0 (τ>0)

(3)

也就是說(shuō)，對(duì)于任何正的時(shí)間偏移τ，每個(gè)擴(kuò)頻碼自身是正交的。

四、北斗C/A碼的結(jié)構(gòu)

北斗C/A碼不是真正的Gold碼，其序列長(zhǎng)度是2046位碼片數(shù)(Gold碼應(yīng)該是211-1=2047位)。北斗C/A碼發(fā)生器的結(jié)構(gòu)方案[1]如圖1所示。

圖1 C/A碼發(fā)生器

由圖1可以看出，C/A碼是由兩個(gè)線性序列G1和G2模2和產(chǎn)生的。G1和G2序列分別由一個(gè)11級(jí)線性移位寄存器生成，其生成多項(xiàng)式是

G1(X)=1+X+X7+X8+X9+X10+X11

(4)

G2(X)=1+X+X2+X3+X4+X5+X8+X9+X11

(5)

G1的初始相位為01010101010，G2的初始相位為01010101010，通過(guò)對(duì)產(chǎn)生G2序列的移位寄存器不同抽頭的模2和可以實(shí)現(xiàn)G2序列相位的不同偏移，與G1序列模2和后再去掉最后一位分配給不同衛(wèi)星，每個(gè)衛(wèi)星對(duì)應(yīng)一個(gè)唯一的C/A碼，見表1。表1中一共有37個(gè)C/A碼，下面將用Matlab程序仿真這些碼并對(duì)它們的正交性進(jìn)行分析。

表1 北斗衛(wèi)星的G2序列相位分配

五、北斗C/A碼的實(shí)現(xiàn)及相關(guān)性計(jì)算

1. m序列生成算法

李棟等編寫了m序列的仿真Matlab函數(shù)[7]，本文對(duì)其略加改動(dòng)，形成下面的程序

Function[mseq]= mseries(coeffict，iniregis，wayout)

len=length(coeffict); %移位寄存器的級(jí)數(shù)

L=2^len-1; %生成的偽隨機(jī)碼的長(zhǎng)度

Mseq(1)=iniregis(wayout);

for i=2∶L

newregis(2∶en)=iniregis(1∶len-1);

newregis(1)=mod(sum(coeffict..*iniregis),2);

iniregis=newregis;

mseq(i)=iniregis(wayout);

end

函數(shù)mseries生成m序列并保存在矩陣mseq 中，它有3個(gè)參數(shù)：coeffict表示m序列生成多項(xiàng)式的二進(jìn)制系數(shù)，iniregis表示初始寄存器內(nèi)容，wayout表示抽頭或出口。

2. 北斗C/A碼的生成

按照?qǐng)D1生成碼序列。G1序列的生成多項(xiàng)式的二進(jìn)制系數(shù)為[1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1]，寄存器的初始內(nèi)容為[0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0]，抽頭為11。G2序列的生成多項(xiàng)式的二進(jìn)制系數(shù)為[1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1]，寄存器的初始內(nèi)容為[0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0]，將抽頭設(shè)置為6(有多種選擇，這里以6為例)，則產(chǎn)生G2-1序列；將抽頭設(shè)置成11(有多種選擇，這里以11為例)，則產(chǎn)生G2-2序列。將G2-1和G2-2進(jìn)行模2和，生成G2序列，最后將G1和G2進(jìn)行模2和生成一個(gè)Gold碼序列，將新序列的最后一個(gè)碼片去掉，則為北斗的C/A碼，長(zhǎng)度為211-1-1=2046。生成過(guò)程如圖2所示。

圖2 C/A碼的生成過(guò)程(前20個(gè)碼元)

3. 相關(guān)系數(shù)計(jì)算

利用式(1)計(jì)算生成m序列的自相關(guān)系數(shù)。G1序列只有1個(gè)，G2-1或G2-2序列有11個(gè)，但是自相關(guān)系數(shù)都相同，如圖3所示。

圖3 m序列G1、G2-1、G2-2的自相關(guān)系數(shù)

利用式(1)計(jì)算了Gold碼的自相關(guān)系數(shù)，按照表1，共有37個(gè)，圖4是其中的一個(gè)。

圖4 Gold碼G2(6⊕11) 的自相關(guān)系數(shù)

利用式(1)計(jì)算了C/A碼的相關(guān)系數(shù)，按照表1，共有37個(gè)，圖5是其中的一個(gè)。

圖5 C/A碼G2(6⊕11)的自相關(guān)系數(shù)

根據(jù)式(2)計(jì)算兩個(gè)C/A碼之間的互相關(guān)系數(shù)，共有666對(duì)，圖6是其中的一對(duì)。

為了全面考核C/A碼的自相關(guān)性，把37個(gè)C/A碼序列絕對(duì)值最大的自相關(guān)系數(shù)表示在圖7中。

為了考核所有C/A碼的互相關(guān)性，將666對(duì)C/A碼的互相關(guān)系數(shù)最大值表示在圖8中。

圖6 C/A碼PRN21和PRN30的互相關(guān)系數(shù)

由圖3可以看出，對(duì)于G1、G2-1序列、G2-2序列，當(dāng)延遲(移位)為0時(shí)，自相關(guān)系數(shù)等于1；當(dāng)延遲不等于0時(shí)，自相關(guān)系數(shù)為-1/2047，符合m序列的特性。由圖4可以看出，由兩個(gè)不同的碼發(fā)生器生成的Gold碼當(dāng)延遲等于0時(shí)，相關(guān)系數(shù)等于1；當(dāng)延遲不為0時(shí)，相關(guān)系數(shù)不等于-1/2047，但最大值為0.031 8，說(shuō)明相關(guān)性很好，這符合Gold的特性。北斗的C/A碼長(zhǎng)度是2046，比正常的2047少1，但是它的自相關(guān)系數(shù)也很小，如圖5和圖6所示，所有C/A碼自相關(guān)系數(shù)當(dāng)延遲不等于0時(shí)的最大值是0.083 1。由圖8可看出，互相關(guān)系數(shù)最大值為0.102 6，最小值為0.042 3，平均值為0.072 0。而按照Gold的推導(dǎo)[6]，如果兩個(gè)碼序列是最大長(zhǎng)度隨機(jī)序列，構(gòu)成的Gold序列的互相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值不應(yīng)該超過(guò)0.05，顯然，北斗的C/A碼的互相關(guān)系數(shù)并不是最小的，是由于北斗C/A碼并不是真正的Gold碼，而比真正的Gold的長(zhǎng)度少1?；ハ嚓P(guān)系數(shù)的最大值分布如圖9所示。

圖7 C/A碼在延遲不等于0時(shí)的自相關(guān)系數(shù)最大值

圖8 所有C/A碼的互相關(guān)系數(shù)的最大值

圖9 互相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)頻度圖

六、結(jié)束語(yǔ)

本文編寫了m序列的生成程序，按照北斗導(dǎo)航系統(tǒng)的ICD文件中對(duì)C/A碼的生成方案，產(chǎn)生了37個(gè)C/A碼序列。對(duì)這些碼序列的自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行研究，結(jié)果表明，這37個(gè)序列的自相關(guān)性當(dāng)延遲為0時(shí)，自相關(guān)系數(shù)等于1，當(dāng)延遲不為0時(shí)，最大為0.083 1；對(duì)這37個(gè)序列兩兩之間的互相關(guān)系數(shù)也進(jìn)行了研究，一共有666個(gè)碼對(duì)，結(jié)果表明，最大互相關(guān)性為0.102 6。因?yàn)楸倍返腃/A碼的長(zhǎng)度是2046，比最大長(zhǎng)度序列的正常長(zhǎng)度2047小1，因此，與真正的m序列(或Gold序列)相比，正交性略差。

參考文獻(xiàn)：

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