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    對(duì)一道復(fù)習(xí)題的解題思路及其答案的探討

    2014-08-14 11:11:50戎松魁
    關(guān)鍵詞:平局乙隊(duì)甲隊(duì)

    戎松魁

    《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2014年第三期刊登了馬永紅老師的題為《怎能從“確定性”推知“可能性”》一文。該文對(duì)人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第六單元(整理與復(fù)習(xí))中一道復(fù)習(xí)題(練習(xí)二十二的第6題,下簡稱“題6”)進(jìn)行了分析,提出了不少有益的意見。然而馬老師給出的答案仍然是錯(cuò)的,因此筆者認(rèn)為有必要對(duì)此進(jìn)行探討。

    一、復(fù)習(xí)題的解題思路及其答案展示

    人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第113頁上“題6”是這樣的:甲、乙兩個(gè)足球隊(duì)之間近期的5場比賽成績?nèi)缬冶?。如果兩個(gè)隊(duì)現(xiàn)在進(jìn)行一場比賽,請(qǐng)預(yù)測一下哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大?為什么?

    與此課本配套的《教師教學(xué)用書》第165頁上給出了兩種不同的解題思路,并給出了兩個(gè)不同的答案。為了敘述方便,本文中把兩種解題思路分別稱為“解題思路1”和“解題思路2”。

    解題思路1:“從兩隊(duì)的歷史戰(zhàn)績來看,各是兩勝一平兩負(fù),不相上下;從這一點(diǎn)來判斷,兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一?!?/p>

    由此得到的答案是“兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是二分之一?!?/p>

    解題思路2:“仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn):在離比賽日最近的兩場比賽中均是乙隊(duì)獲勝,說明最近乙隊(duì)的狀態(tài)好于甲隊(duì),由此可以預(yù)測:乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)。這種判斷也有一定道理?!?/p>

    由此得到的答案是“乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)?!?/p>

    馬老師根據(jù)部分教師的教學(xué)實(shí)踐,又補(bǔ)充了兩種解題思路及答案,我們不妨把它們稱為“解題思路3”和“解題思路4”。

    解題思路3:“從已經(jīng)結(jié)束的五場比賽的結(jié)果來看,兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平,因此,兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的,兩隊(duì)平局的場次占總場次的”,由此得到答案是“甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是?!?/p>

    解題思路4:“由于兩隊(duì)比賽,可能出現(xiàn)的結(jié)果共有三種:即甲勝乙負(fù),甲負(fù)乙勝,甲乙平局,所以,每一種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的,也就是兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是,平局的可能性也是?!?/p>

    馬老師認(rèn)為:“前面的四種不同的觀點(diǎn)中,觀點(diǎn)之四是正確的,即甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是,其余的三種觀點(diǎn)都是錯(cuò)誤的……”遺憾的是,馬老師并沒有詳細(xì)說明前三種答案為什么是錯(cuò)誤的,而且他認(rèn)為正確的第四種答案其實(shí)也是錯(cuò)誤的。

    二、對(duì)各種解題思路及答案的探討

    1.在解題思路1中,以兩隊(duì)的戰(zhàn)績不相上下為依據(jù),斷定兩隊(duì)下一場比賽獲勝的可能性都是二分之一,其錯(cuò)誤是顯然的。錯(cuò)誤主要在于解題者沒有考慮到比賽可能會(huì)有平局的結(jié)果。為了能夠更簡便地說明問題,我們用字母表示兩隊(duì)第六次比賽的三種結(jié)果:A表示事件“甲勝乙負(fù)”,B表示事件“甲負(fù)乙勝”,C表示事件“甲乙平局”,顯然,A、B、C構(gòu)成了一個(gè)完備事件組,因此有P(A)+ P(B)+ P(C)=1,而答案中認(rèn)定P(A)=,P(B)=,由此導(dǎo)致P(C)=0,即第六場比賽一定不會(huì)出現(xiàn)“平局”的結(jié)果,這與事實(shí)不相符。從前五場比賽結(jié)果看,下一場比賽平局的可能性還是不小的。因此,即使下一場比賽中兩隊(duì)獲勝的可能性相同,也不可能都是二分之一。其次,從前三場比賽結(jié)果分析,甲隊(duì)明顯強(qiáng)于乙隊(duì),雖然從五場比賽的結(jié)果分析,似乎甲、乙兩隊(duì)?wèi)?zhàn)績“不相上下”,但這個(gè)所謂“不相上下”僅僅是從這五場比賽中分析出來的,并不能表示兩隊(duì)實(shí)力完全一樣,兩個(gè)足球隊(duì)的水平很難達(dá)到“完全相同”,從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā),也難以得出“下一場比賽兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一”的結(jié)論。事實(shí)是:僅僅根據(jù)這樣的五場比賽的結(jié)果就想把下一場比賽甲隊(duì)(或乙隊(duì))獲勝的可能性大小用一個(gè)確定的數(shù)(就是甲隊(duì)或乙隊(duì)獲勝的概率)表示出來,可以說是一件不可能的事。

    2.在解題思路2中,認(rèn)為乙隊(duì)在最近的兩場比賽中獲勝,狀態(tài)好于甲隊(duì),因此下一場比賽乙隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)。這種判斷確實(shí)有一定道理。但是,如果我們換個(gè)角度進(jìn)行分析:“因?yàn)榧住⒁覂申?duì)在五場比賽后的總分相同(足球比賽的積分規(guī)則:勝一場得3分,平局各得1分,輸球不得分。若積分相等,則比較凈勝球數(shù)),然而甲隊(duì)比乙隊(duì)凈勝球多了一個(gè),因此采用調(diào)整戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)等方法后,下一場甲隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)”?;蛘哒J(rèn)為“甲、乙兩隊(duì)實(shí)力‘不相上下,平局的可能性會(huì)大一點(diǎn)?!边@樣的預(yù)測也是有一定道理的。總之,從不同的角度分析前五場比賽結(jié)果,可以得到不同的預(yù)測結(jié)論。并非只有“乙隊(duì)獲勝可能性會(huì)大一點(diǎn)”一種結(jié)論。

    3.在解題思路3中,根據(jù)在五場比賽中兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平而得到兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的,從而得到甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性都是,這個(gè)答案的錯(cuò)誤是明顯的,只要我們重溫一下概率的統(tǒng)計(jì)定義即知其錯(cuò)誤所在。概率的統(tǒng)計(jì)定義是這樣的:“在不變的條件下,重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn),事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動(dòng)。且一般說來,n越大,擺動(dòng)幅度越小,則稱常數(shù)P為事件A的概率,記作P(A)?!?/p>

    由此可知,只進(jìn)行五場比賽,是不能將甲隊(duì)(乙隊(duì))獲勝的頻率當(dāng)作甲隊(duì)(乙隊(duì))獲勝的概率的。需要特別指出的是,對(duì)于球賽來說,各場比賽并不是在“不變的條件下”進(jìn)行的,連概率統(tǒng)計(jì)定義中的條件都不滿足,因此不能用所謂的“事件發(fā)生的頻率”來表示“事件發(fā)生可能性的大小”。

    舉個(gè)例來說,如果連續(xù)5次拋擲一個(gè)均勻的硬幣,發(fā)現(xiàn)有3次正面向上,2次正面向下,顯然我們不能認(rèn)為正面向上的可能性是,向下的可能性是,從而預(yù)測第六次拋擲后出現(xiàn)正面的可能性會(huì)大一點(diǎn)。事實(shí)上,有好幾位數(shù)學(xué)家曾進(jìn)行過拋擲硬幣這種“試驗(yàn)”,他們?cè)趻仈S成千上萬次硬幣后發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率接近,而且隨著拋擲次數(shù)增加,頻率越來越接近,從而得到“拋擲一個(gè)均勻的硬幣,正面向上的概率是”的結(jié)論。當(dāng)然,這個(gè)結(jié)論也很容易從概率的古典定義得到。這就是說,不管你是第幾次拋擲一個(gè)均勻的硬幣,正面向上的可能性都是。

    4.在解題思路4中,考慮到比賽結(jié)果有A、B、C三種,每種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的,從而認(rèn)為A、B、C三個(gè)事件中每一個(gè)發(fā)生的可能性都是,這是缺乏根據(jù)的。因?yàn)橐玫竭@個(gè)結(jié)論必須要滿足“事件A、B、C發(fā)生的可能性相等”這一條件。馬老師在文章的結(jié)尾處指出:“在求隨機(jī)事件發(fā)生的可能性時(shí)……只能用指定事件所有結(jié)果的數(shù)量除以事件所有可能出現(xiàn)的數(shù)量。”但是用這種方法來確定事件發(fā)生可能性的大小必須滿足“所有可能發(fā)生的事件總數(shù)是有限的,而且各個(gè)事件發(fā)生的可能性是相等的”這樣的條件(古典概型應(yīng)滿足的條件),而對(duì)于足球賽而言,事件A、B、C的發(fā)生并不是等可能性的,因此不能應(yīng)用馬老師所說的方法計(jì)算出A、B、C發(fā)生的概率。這里得到“兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是”的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

    三、兩點(diǎn)思考

    1.像“題6”這樣的習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中是不合適的。

    “題6”以足球比賽為題材,要學(xué)生預(yù)測比賽的結(jié)果。然而由于影響足球比賽勝負(fù)的因素很多,例如球隊(duì)的實(shí)力、球隊(duì)?wèi)?zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)的變化,參賽球員的變化等,甚至比賽地點(diǎn)是主場還是客場也會(huì)影響比賽結(jié)果。由此可見,即使是相同球隊(duì)在同一地點(diǎn)的前后兩場比賽,也不能認(rèn)為是在相同條件下進(jìn)行的比賽,在“題6”給出的這種條件下,不同的人從不同的角度進(jìn)行分析,可能會(huì)得出不同的判斷:甲隊(duì)獲勝的可能性大;乙隊(duì)獲勝的可能性大;平局的可能性大。這些判斷看起來都“有一定道理”,但又覺得理由也不太充分??傊?,比賽結(jié)果A、B、C都有可能發(fā)生,但是究竟哪一個(gè)事件發(fā)生的可能性大是難以斷定的。凡是在預(yù)測中用一個(gè)確定的數(shù)(如本文中所說的、、等)來表示甲隊(duì)(或乙隊(duì))獲勝的可能性大小都是不準(zhǔn)確的,也可以說是錯(cuò)誤的。對(duì)小學(xué)生而言,要他們根據(jù)題中所提供的五場比賽的結(jié)果去預(yù)測第六場比賽哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大,并說出理由,真有點(diǎn)勉為其難。這種習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中弊多利少。

    2.教師可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究。

    “統(tǒng)計(jì)與概率”是在2001年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》公布后新增的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,可能還有少數(shù)教師不是很熟悉,并沒有覺察《教師教學(xué)用書》中存在的問題。當(dāng)然,《教師教學(xué)用書》的作者應(yīng)該在該書修訂或再版前廣泛征求教師的意見,及時(shí)修改有關(guān)錯(cuò)誤或不妥之處,不斷提高該書質(zhì)量。而對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說,可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究,以便更好地完成“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)任務(wù)。

    (杭州師范大學(xué)教育學(xué)院 311121)endprint

    《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2014年第三期刊登了馬永紅老師的題為《怎能從“確定性”推知“可能性”》一文。該文對(duì)人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第六單元(整理與復(fù)習(xí))中一道復(fù)習(xí)題(練習(xí)二十二的第6題,下簡稱“題6”)進(jìn)行了分析,提出了不少有益的意見。然而馬老師給出的答案仍然是錯(cuò)的,因此筆者認(rèn)為有必要對(duì)此進(jìn)行探討。

    一、復(fù)習(xí)題的解題思路及其答案展示

    人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第113頁上“題6”是這樣的:甲、乙兩個(gè)足球隊(duì)之間近期的5場比賽成績?nèi)缬冶怼H绻麅蓚€(gè)隊(duì)現(xiàn)在進(jìn)行一場比賽,請(qǐng)預(yù)測一下哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大?為什么?

    與此課本配套的《教師教學(xué)用書》第165頁上給出了兩種不同的解題思路,并給出了兩個(gè)不同的答案。為了敘述方便,本文中把兩種解題思路分別稱為“解題思路1”和“解題思路2”。

    解題思路1:“從兩隊(duì)的歷史戰(zhàn)績來看,各是兩勝一平兩負(fù),不相上下;從這一點(diǎn)來判斷,兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一?!?/p>

    由此得到的答案是“兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是二分之一?!?/p>

    解題思路2:“仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn):在離比賽日最近的兩場比賽中均是乙隊(duì)獲勝,說明最近乙隊(duì)的狀態(tài)好于甲隊(duì),由此可以預(yù)測:乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)。這種判斷也有一定道理?!?/p>

    由此得到的答案是“乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)?!?/p>

    馬老師根據(jù)部分教師的教學(xué)實(shí)踐,又補(bǔ)充了兩種解題思路及答案,我們不妨把它們稱為“解題思路3”和“解題思路4”。

    解題思路3:“從已經(jīng)結(jié)束的五場比賽的結(jié)果來看,兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平,因此,兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的,兩隊(duì)平局的場次占總場次的”,由此得到答案是“甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是?!?/p>

    解題思路4:“由于兩隊(duì)比賽,可能出現(xiàn)的結(jié)果共有三種:即甲勝乙負(fù),甲負(fù)乙勝,甲乙平局,所以,每一種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的,也就是兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是,平局的可能性也是?!?/p>

    馬老師認(rèn)為:“前面的四種不同的觀點(diǎn)中,觀點(diǎn)之四是正確的,即甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是,其余的三種觀點(diǎn)都是錯(cuò)誤的……”遺憾的是,馬老師并沒有詳細(xì)說明前三種答案為什么是錯(cuò)誤的,而且他認(rèn)為正確的第四種答案其實(shí)也是錯(cuò)誤的。

    二、對(duì)各種解題思路及答案的探討

    1.在解題思路1中,以兩隊(duì)的戰(zhàn)績不相上下為依據(jù),斷定兩隊(duì)下一場比賽獲勝的可能性都是二分之一,其錯(cuò)誤是顯然的。錯(cuò)誤主要在于解題者沒有考慮到比賽可能會(huì)有平局的結(jié)果。為了能夠更簡便地說明問題,我們用字母表示兩隊(duì)第六次比賽的三種結(jié)果:A表示事件“甲勝乙負(fù)”,B表示事件“甲負(fù)乙勝”,C表示事件“甲乙平局”,顯然,A、B、C構(gòu)成了一個(gè)完備事件組,因此有P(A)+ P(B)+ P(C)=1,而答案中認(rèn)定P(A)=,P(B)=,由此導(dǎo)致P(C)=0,即第六場比賽一定不會(huì)出現(xiàn)“平局”的結(jié)果,這與事實(shí)不相符。從前五場比賽結(jié)果看,下一場比賽平局的可能性還是不小的。因此,即使下一場比賽中兩隊(duì)獲勝的可能性相同,也不可能都是二分之一。其次,從前三場比賽結(jié)果分析,甲隊(duì)明顯強(qiáng)于乙隊(duì),雖然從五場比賽的結(jié)果分析,似乎甲、乙兩隊(duì)?wèi)?zhàn)績“不相上下”,但這個(gè)所謂“不相上下”僅僅是從這五場比賽中分析出來的,并不能表示兩隊(duì)實(shí)力完全一樣,兩個(gè)足球隊(duì)的水平很難達(dá)到“完全相同”,從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā),也難以得出“下一場比賽兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一”的結(jié)論。事實(shí)是:僅僅根據(jù)這樣的五場比賽的結(jié)果就想把下一場比賽甲隊(duì)(或乙隊(duì))獲勝的可能性大小用一個(gè)確定的數(shù)(就是甲隊(duì)或乙隊(duì)獲勝的概率)表示出來,可以說是一件不可能的事。

    2.在解題思路2中,認(rèn)為乙隊(duì)在最近的兩場比賽中獲勝,狀態(tài)好于甲隊(duì),因此下一場比賽乙隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)。這種判斷確實(shí)有一定道理。但是,如果我們換個(gè)角度進(jìn)行分析:“因?yàn)榧住⒁覂申?duì)在五場比賽后的總分相同(足球比賽的積分規(guī)則:勝一場得3分,平局各得1分,輸球不得分。若積分相等,則比較凈勝球數(shù)),然而甲隊(duì)比乙隊(duì)凈勝球多了一個(gè),因此采用調(diào)整戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)等方法后,下一場甲隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)”?;蛘哒J(rèn)為“甲、乙兩隊(duì)實(shí)力‘不相上下,平局的可能性會(huì)大一點(diǎn)?!边@樣的預(yù)測也是有一定道理的??傊?,從不同的角度分析前五場比賽結(jié)果,可以得到不同的預(yù)測結(jié)論。并非只有“乙隊(duì)獲勝可能性會(huì)大一點(diǎn)”一種結(jié)論。

    3.在解題思路3中,根據(jù)在五場比賽中兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平而得到兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的,從而得到甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性都是,這個(gè)答案的錯(cuò)誤是明顯的,只要我們重溫一下概率的統(tǒng)計(jì)定義即知其錯(cuò)誤所在。概率的統(tǒng)計(jì)定義是這樣的:“在不變的條件下,重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn),事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動(dòng)。且一般說來,n越大,擺動(dòng)幅度越小,則稱常數(shù)P為事件A的概率,記作P(A)?!?/p>

    由此可知,只進(jìn)行五場比賽,是不能將甲隊(duì)(乙隊(duì))獲勝的頻率當(dāng)作甲隊(duì)(乙隊(duì))獲勝的概率的。需要特別指出的是,對(duì)于球賽來說,各場比賽并不是在“不變的條件下”進(jìn)行的,連概率統(tǒng)計(jì)定義中的條件都不滿足,因此不能用所謂的“事件發(fā)生的頻率”來表示“事件發(fā)生可能性的大小”。

    舉個(gè)例來說,如果連續(xù)5次拋擲一個(gè)均勻的硬幣,發(fā)現(xiàn)有3次正面向上,2次正面向下,顯然我們不能認(rèn)為正面向上的可能性是,向下的可能性是,從而預(yù)測第六次拋擲后出現(xiàn)正面的可能性會(huì)大一點(diǎn)。事實(shí)上,有好幾位數(shù)學(xué)家曾進(jìn)行過拋擲硬幣這種“試驗(yàn)”,他們?cè)趻仈S成千上萬次硬幣后發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率接近,而且隨著拋擲次數(shù)增加,頻率越來越接近,從而得到“拋擲一個(gè)均勻的硬幣,正面向上的概率是”的結(jié)論。當(dāng)然,這個(gè)結(jié)論也很容易從概率的古典定義得到。這就是說,不管你是第幾次拋擲一個(gè)均勻的硬幣,正面向上的可能性都是。

    4.在解題思路4中,考慮到比賽結(jié)果有A、B、C三種,每種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的,從而認(rèn)為A、B、C三個(gè)事件中每一個(gè)發(fā)生的可能性都是,這是缺乏根據(jù)的。因?yàn)橐玫竭@個(gè)結(jié)論必須要滿足“事件A、B、C發(fā)生的可能性相等”這一條件。馬老師在文章的結(jié)尾處指出:“在求隨機(jī)事件發(fā)生的可能性時(shí)……只能用指定事件所有結(jié)果的數(shù)量除以事件所有可能出現(xiàn)的數(shù)量?!钡怯眠@種方法來確定事件發(fā)生可能性的大小必須滿足“所有可能發(fā)生的事件總數(shù)是有限的,而且各個(gè)事件發(fā)生的可能性是相等的”這樣的條件(古典概型應(yīng)滿足的條件),而對(duì)于足球賽而言,事件A、B、C的發(fā)生并不是等可能性的,因此不能應(yīng)用馬老師所說的方法計(jì)算出A、B、C發(fā)生的概率。這里得到“兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是”的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

    三、兩點(diǎn)思考

    1.像“題6”這樣的習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中是不合適的。

    “題6”以足球比賽為題材,要學(xué)生預(yù)測比賽的結(jié)果。然而由于影響足球比賽勝負(fù)的因素很多,例如球隊(duì)的實(shí)力、球隊(duì)?wèi)?zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)的變化,參賽球員的變化等,甚至比賽地點(diǎn)是主場還是客場也會(huì)影響比賽結(jié)果。由此可見,即使是相同球隊(duì)在同一地點(diǎn)的前后兩場比賽,也不能認(rèn)為是在相同條件下進(jìn)行的比賽,在“題6”給出的這種條件下,不同的人從不同的角度進(jìn)行分析,可能會(huì)得出不同的判斷:甲隊(duì)獲勝的可能性大;乙隊(duì)獲勝的可能性大;平局的可能性大。這些判斷看起來都“有一定道理”,但又覺得理由也不太充分??傊荣惤Y(jié)果A、B、C都有可能發(fā)生,但是究竟哪一個(gè)事件發(fā)生的可能性大是難以斷定的。凡是在預(yù)測中用一個(gè)確定的數(shù)(如本文中所說的、、等)來表示甲隊(duì)(或乙隊(duì))獲勝的可能性大小都是不準(zhǔn)確的,也可以說是錯(cuò)誤的。對(duì)小學(xué)生而言,要他們根據(jù)題中所提供的五場比賽的結(jié)果去預(yù)測第六場比賽哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大,并說出理由,真有點(diǎn)勉為其難。這種習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中弊多利少。

    2.教師可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究。

    “統(tǒng)計(jì)與概率”是在2001年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》公布后新增的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,可能還有少數(shù)教師不是很熟悉,并沒有覺察《教師教學(xué)用書》中存在的問題。當(dāng)然,《教師教學(xué)用書》的作者應(yīng)該在該書修訂或再版前廣泛征求教師的意見,及時(shí)修改有關(guān)錯(cuò)誤或不妥之處,不斷提高該書質(zhì)量。而對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說,可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究,以便更好地完成“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)任務(wù)。

    (杭州師范大學(xué)教育學(xué)院 311121)endprint

    《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2014年第三期刊登了馬永紅老師的題為《怎能從“確定性”推知“可能性”》一文。該文對(duì)人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第六單元(整理與復(fù)習(xí))中一道復(fù)習(xí)題(練習(xí)二十二的第6題,下簡稱“題6”)進(jìn)行了分析,提出了不少有益的意見。然而馬老師給出的答案仍然是錯(cuò)的,因此筆者認(rèn)為有必要對(duì)此進(jìn)行探討。

    一、復(fù)習(xí)題的解題思路及其答案展示

    人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第113頁上“題6”是這樣的:甲、乙兩個(gè)足球隊(duì)之間近期的5場比賽成績?nèi)缬冶?。如果兩個(gè)隊(duì)現(xiàn)在進(jìn)行一場比賽,請(qǐng)預(yù)測一下哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大?為什么?

    與此課本配套的《教師教學(xué)用書》第165頁上給出了兩種不同的解題思路,并給出了兩個(gè)不同的答案。為了敘述方便,本文中把兩種解題思路分別稱為“解題思路1”和“解題思路2”。

    解題思路1:“從兩隊(duì)的歷史戰(zhàn)績來看,各是兩勝一平兩負(fù),不相上下;從這一點(diǎn)來判斷,兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一?!?/p>

    由此得到的答案是“兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是二分之一?!?/p>

    解題思路2:“仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn):在離比賽日最近的兩場比賽中均是乙隊(duì)獲勝,說明最近乙隊(duì)的狀態(tài)好于甲隊(duì),由此可以預(yù)測:乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)。這種判斷也有一定道理?!?/p>

    由此得到的答案是“乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)?!?/p>

    馬老師根據(jù)部分教師的教學(xué)實(shí)踐,又補(bǔ)充了兩種解題思路及答案,我們不妨把它們稱為“解題思路3”和“解題思路4”。

    解題思路3:“從已經(jīng)結(jié)束的五場比賽的結(jié)果來看,兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平,因此,兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的,兩隊(duì)平局的場次占總場次的”,由此得到答案是“甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是?!?/p>

    解題思路4:“由于兩隊(duì)比賽,可能出現(xiàn)的結(jié)果共有三種:即甲勝乙負(fù),甲負(fù)乙勝,甲乙平局,所以,每一種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的,也就是兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是,平局的可能性也是?!?/p>

    馬老師認(rèn)為:“前面的四種不同的觀點(diǎn)中,觀點(diǎn)之四是正確的,即甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是,其余的三種觀點(diǎn)都是錯(cuò)誤的……”遺憾的是,馬老師并沒有詳細(xì)說明前三種答案為什么是錯(cuò)誤的,而且他認(rèn)為正確的第四種答案其實(shí)也是錯(cuò)誤的。

    二、對(duì)各種解題思路及答案的探討

    1.在解題思路1中,以兩隊(duì)的戰(zhàn)績不相上下為依據(jù),斷定兩隊(duì)下一場比賽獲勝的可能性都是二分之一,其錯(cuò)誤是顯然的。錯(cuò)誤主要在于解題者沒有考慮到比賽可能會(huì)有平局的結(jié)果。為了能夠更簡便地說明問題,我們用字母表示兩隊(duì)第六次比賽的三種結(jié)果:A表示事件“甲勝乙負(fù)”,B表示事件“甲負(fù)乙勝”,C表示事件“甲乙平局”,顯然,A、B、C構(gòu)成了一個(gè)完備事件組,因此有P(A)+ P(B)+ P(C)=1,而答案中認(rèn)定P(A)=,P(B)=,由此導(dǎo)致P(C)=0,即第六場比賽一定不會(huì)出現(xiàn)“平局”的結(jié)果,這與事實(shí)不相符。從前五場比賽結(jié)果看,下一場比賽平局的可能性還是不小的。因此,即使下一場比賽中兩隊(duì)獲勝的可能性相同,也不可能都是二分之一。其次,從前三場比賽結(jié)果分析,甲隊(duì)明顯強(qiáng)于乙隊(duì),雖然從五場比賽的結(jié)果分析,似乎甲、乙兩隊(duì)?wèi)?zhàn)績“不相上下”,但這個(gè)所謂“不相上下”僅僅是從這五場比賽中分析出來的,并不能表示兩隊(duì)實(shí)力完全一樣,兩個(gè)足球隊(duì)的水平很難達(dá)到“完全相同”,從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā),也難以得出“下一場比賽兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一”的結(jié)論。事實(shí)是:僅僅根據(jù)這樣的五場比賽的結(jié)果就想把下一場比賽甲隊(duì)(或乙隊(duì))獲勝的可能性大小用一個(gè)確定的數(shù)(就是甲隊(duì)或乙隊(duì)獲勝的概率)表示出來,可以說是一件不可能的事。

    2.在解題思路2中,認(rèn)為乙隊(duì)在最近的兩場比賽中獲勝,狀態(tài)好于甲隊(duì),因此下一場比賽乙隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)。這種判斷確實(shí)有一定道理。但是,如果我們換個(gè)角度進(jìn)行分析:“因?yàn)榧?、乙兩?duì)在五場比賽后的總分相同(足球比賽的積分規(guī)則:勝一場得3分,平局各得1分,輸球不得分。若積分相等,則比較凈勝球數(shù)),然而甲隊(duì)比乙隊(duì)凈勝球多了一個(gè),因此采用調(diào)整戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)等方法后,下一場甲隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)”?;蛘哒J(rèn)為“甲、乙兩隊(duì)實(shí)力‘不相上下,平局的可能性會(huì)大一點(diǎn)?!边@樣的預(yù)測也是有一定道理的??傊?,從不同的角度分析前五場比賽結(jié)果,可以得到不同的預(yù)測結(jié)論。并非只有“乙隊(duì)獲勝可能性會(huì)大一點(diǎn)”一種結(jié)論。

    3.在解題思路3中,根據(jù)在五場比賽中兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平而得到兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的,從而得到甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性都是,這個(gè)答案的錯(cuò)誤是明顯的,只要我們重溫一下概率的統(tǒng)計(jì)定義即知其錯(cuò)誤所在。概率的統(tǒng)計(jì)定義是這樣的:“在不變的條件下,重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn),事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動(dòng)。且一般說來,n越大,擺動(dòng)幅度越小,則稱常數(shù)P為事件A的概率,記作P(A)?!?/p>

    由此可知,只進(jìn)行五場比賽,是不能將甲隊(duì)(乙隊(duì))獲勝的頻率當(dāng)作甲隊(duì)(乙隊(duì))獲勝的概率的。需要特別指出的是,對(duì)于球賽來說,各場比賽并不是在“不變的條件下”進(jìn)行的,連概率統(tǒng)計(jì)定義中的條件都不滿足,因此不能用所謂的“事件發(fā)生的頻率”來表示“事件發(fā)生可能性的大小”。

    舉個(gè)例來說,如果連續(xù)5次拋擲一個(gè)均勻的硬幣,發(fā)現(xiàn)有3次正面向上,2次正面向下,顯然我們不能認(rèn)為正面向上的可能性是,向下的可能性是,從而預(yù)測第六次拋擲后出現(xiàn)正面的可能性會(huì)大一點(diǎn)。事實(shí)上,有好幾位數(shù)學(xué)家曾進(jìn)行過拋擲硬幣這種“試驗(yàn)”,他們?cè)趻仈S成千上萬次硬幣后發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率接近,而且隨著拋擲次數(shù)增加,頻率越來越接近,從而得到“拋擲一個(gè)均勻的硬幣,正面向上的概率是”的結(jié)論。當(dāng)然,這個(gè)結(jié)論也很容易從概率的古典定義得到。這就是說,不管你是第幾次拋擲一個(gè)均勻的硬幣,正面向上的可能性都是。

    4.在解題思路4中,考慮到比賽結(jié)果有A、B、C三種,每種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的,從而認(rèn)為A、B、C三個(gè)事件中每一個(gè)發(fā)生的可能性都是,這是缺乏根據(jù)的。因?yàn)橐玫竭@個(gè)結(jié)論必須要滿足“事件A、B、C發(fā)生的可能性相等”這一條件。馬老師在文章的結(jié)尾處指出:“在求隨機(jī)事件發(fā)生的可能性時(shí)……只能用指定事件所有結(jié)果的數(shù)量除以事件所有可能出現(xiàn)的數(shù)量?!钡怯眠@種方法來確定事件發(fā)生可能性的大小必須滿足“所有可能發(fā)生的事件總數(shù)是有限的,而且各個(gè)事件發(fā)生的可能性是相等的”這樣的條件(古典概型應(yīng)滿足的條件),而對(duì)于足球賽而言,事件A、B、C的發(fā)生并不是等可能性的,因此不能應(yīng)用馬老師所說的方法計(jì)算出A、B、C發(fā)生的概率。這里得到“兩隊(duì)獲勝的可能性相等,都是”的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

    三、兩點(diǎn)思考

    1.像“題6”這樣的習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中是不合適的。

    “題6”以足球比賽為題材,要學(xué)生預(yù)測比賽的結(jié)果。然而由于影響足球比賽勝負(fù)的因素很多,例如球隊(duì)的實(shí)力、球隊(duì)?wèi)?zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)的變化,參賽球員的變化等,甚至比賽地點(diǎn)是主場還是客場也會(huì)影響比賽結(jié)果。由此可見,即使是相同球隊(duì)在同一地點(diǎn)的前后兩場比賽,也不能認(rèn)為是在相同條件下進(jìn)行的比賽,在“題6”給出的這種條件下,不同的人從不同的角度進(jìn)行分析,可能會(huì)得出不同的判斷:甲隊(duì)獲勝的可能性大;乙隊(duì)獲勝的可能性大;平局的可能性大。這些判斷看起來都“有一定道理”,但又覺得理由也不太充分??傊?,比賽結(jié)果A、B、C都有可能發(fā)生,但是究竟哪一個(gè)事件發(fā)生的可能性大是難以斷定的。凡是在預(yù)測中用一個(gè)確定的數(shù)(如本文中所說的、、等)來表示甲隊(duì)(或乙隊(duì))獲勝的可能性大小都是不準(zhǔn)確的,也可以說是錯(cuò)誤的。對(duì)小學(xué)生而言,要他們根據(jù)題中所提供的五場比賽的結(jié)果去預(yù)測第六場比賽哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大,并說出理由,真有點(diǎn)勉為其難。這種習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中弊多利少。

    2.教師可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究。

    “統(tǒng)計(jì)與概率”是在2001年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》公布后新增的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,可能還有少數(shù)教師不是很熟悉,并沒有覺察《教師教學(xué)用書》中存在的問題。當(dāng)然,《教師教學(xué)用書》的作者應(yīng)該在該書修訂或再版前廣泛征求教師的意見,及時(shí)修改有關(guān)錯(cuò)誤或不妥之處,不斷提高該書質(zhì)量。而對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說,可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究,以便更好地完成“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)任務(wù)。

    (杭州師范大學(xué)教育學(xué)院 311121)endprint

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