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    Gold序列互相關(guān)性的新證明及非最大Gold序列性質(zhì)研究*

    2014-08-10 03:41:08王玉東劉春雷
    通信技術(shù) 2014年3期
    關(guān)鍵詞:奇數(shù)定理證明

    王玉東,劉春雷

    (上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)系,上海200240)

    0 引言

    偽隨機(jī)序列,簡(jiǎn)稱(chēng)PN(Pseudo-Noise)序列,在現(xiàn)代擴(kuò)頻編碼理論中扮演著重要角色。常見(jiàn)的偽隨機(jī)序列有m序列,Gold序列,M序列,以及序列偶[1]等。其中Gold序列作為m序列的延伸,以其碼字?jǐn)?shù)量多、互相關(guān)性好等特點(diǎn)得到了廣泛的應(yīng)用,例如我國(guó)的北斗衛(wèi)星通信系統(tǒng)[2]。Gold序列以美國(guó)Magnavox實(shí)驗(yàn)室的工程師Robert Gold命名,他研究了一種特殊m序列優(yōu)選對(duì)的互相關(guān)性[3],優(yōu)選對(duì)的采樣因子取為d=2k+1,滿(mǎn)足gcd(k,n)=1,其中n是對(duì)應(yīng)m序列的寄存器級(jí)數(shù),且n為奇數(shù),并且證明了這種優(yōu)選對(duì)的互相關(guān)系數(shù)為三值的,最大取值為+1。這是Gold序列得以應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。1966年,Kasami將采樣因子的條件放寬至n/gcd(k,n)為奇數(shù)[4],并證明了這時(shí)序列的自相關(guān)系數(shù)和互相關(guān)系數(shù)也都為三值的。此后,Niho,Welch以及 Dobbertin等人研究了采樣因子d取為其他值的情形[5-7]。

    Kasami的證明將擴(kuò)頻碼視為循環(huán)碼,應(yīng)用了循環(huán)碼的理論。文中提供了一種從Gold序列和互相關(guān)系數(shù)的定義出發(fā),利用有限域上跡函數(shù)(trace)性質(zhì)的直接證明方法,并去掉了采樣因子d=2k+1中k的任何限制條件。不過(guò),當(dāng)k不滿(mǎn)足n/gcd(k,n)為奇數(shù)時(shí),采樣得到的序列不是m序列,而是非最大的移位寄存器序列,因此這種情況下我們稱(chēng)之為非最大Gold序列。以下是文中的詳細(xì)證明。

    1 基礎(chǔ)知識(shí)

    一般通信中的序列,是指具有固定周期的0、1序列,即序列 a0a1a2a3…,滿(mǎn)足 ai∈{0,1},以及對(duì)任意i,有ai=ai+N,其中N為序列的周期。實(shí)際應(yīng)用中要求這種序列必須滿(mǎn)足0、1平衡(即一個(gè)周期中0和1的數(shù)量幾乎一樣多),以及具有良好的偽正交性等。評(píng)價(jià)序列的偽正交性常用序列的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。序列ai的自相關(guān)函數(shù)Pa(τ)以及相同周期的兩個(gè)序列ai和bi的互相關(guān)函數(shù)Pa,b(τ)分別定義如下:。除此之外,如果其他 Pa(τ)和(τ)的取值遠(yuǎn)小于 N,我們就稱(chēng)序列有好的自相關(guān)性和互相關(guān)性。這與數(shù)學(xué)上一組正交族的正交性的概念十分相似,因此也稱(chēng)為偽正交性。

    以偽隨機(jī)序列中最常用的m序列為例。m序列,即最大線(xiàn)性移位寄存器序列,由線(xiàn)性反饋移位寄存器生成,具有生成方便、自相關(guān)性好等優(yōu)點(diǎn)。常見(jiàn)的m序列的定義是指滿(mǎn)足某種線(xiàn)性反饋條件的序列,不過(guò)在理論研究時(shí),我們常用的是m序列的另一個(gè)定義,即用有限域上的跡函數(shù)得到的m序列的通項(xiàng)公式,定義如下:

    由有限域的理論可知,α的特征多項(xiàng)式即為移位寄存器的特征多項(xiàng)式。利用以上定義可以很方便的計(jì)算出m序列的自相關(guān)函數(shù)滿(mǎn)足:

    這是周期為奇數(shù)的序列所能達(dá)到的最好自相關(guān)性,稱(chēng)為理想的自相關(guān)性(ideal autocorrelation)。m序列具有理想的自相關(guān)性,然而不同m序列之間的互相關(guān)性十分不規(guī)律,這限制了m序列的應(yīng)用。Gold、Kasami等人研究了m序列和其特定的采樣序列之間的互相關(guān)性(序列ai的采樣序列bi定義為bi=ad*i,其中d為正整數(shù),稱(chēng)為采樣因子??梢宰C明,m序列的互素采樣序列仍為m序列),發(fā)現(xiàn)這時(shí)它們的互相關(guān)函數(shù)取值為三值的,具有較好的互相關(guān)性。具體來(lái)說(shuō),他們證明了以下定理:

    定理1 ai=tr(αi)為某個(gè)周期為N=2n-1的m序列,將采樣因子取為d=2k+1,滿(mǎn)足n/e為奇數(shù),其中e=gcd(n,k)為它們的最大公因數(shù),這時(shí)的采樣序列記為bi=ad*i=tr(αdi+u),這兩個(gè)序列的互相關(guān)函數(shù) Pa,b(τ)為:

    選用適合定理1條件且e=1的兩個(gè)m序列稱(chēng)為一對(duì)優(yōu)選對(duì)。現(xiàn)在,將Gold序列定義為m序列優(yōu)選對(duì)的和序列,由于兩個(gè)序列采用不同的平移相加得到的序列是不同的,即=+,其中v=0,1,…,N-1是不同的平移,因此一對(duì)優(yōu)選對(duì)共可產(chǎn)生N個(gè)不同的Gold序列,其中只有半數(shù)-1個(gè)是0、1平衡的,這就是實(shí)際應(yīng)用中選用的Gold序列??疾霨old序列的自相關(guān)性和互相關(guān)性:

    由于m序列具有性質(zhì)“m序列與其平移序列的和是該序列的另一個(gè)平移”,上面兩個(gè)和式在一個(gè)周期上求和后,仍然變?yōu)槭?1)中的某個(gè)值,因此Gold序列的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)都為三值的,且取值同于定理1中的取值。這是Gold序列相對(duì)于m序列的優(yōu)點(diǎn)之一,即擁有較好的互相關(guān)性。

    Kasami在證明定理1時(shí)是將序列視為循環(huán)碼,用到了循環(huán)碼的理論,證明過(guò)程比較繁瑣。下一節(jié)中將提供一種直接從定義出發(fā),利用有限域上跡函數(shù)性質(zhì)的巧妙證法,且該證法可以很方便的推廣至非極大Gold序列的情形。

    2 定理1的證明

    首先需要一個(gè)引理,以看清楚定理1中的條件。

    引理 1 n,k為正整數(shù),e=gcd(n,k),則gcd(2n-1,2k+1)=1的充要條件是n/e為奇數(shù)。

    證明 2k+1和2k-1是相鄰的兩個(gè)奇數(shù),一定互素,因此

    現(xiàn)在,要使 gcd(2n-1,2k+1)=1,需要上式右邊分子分母相同,即 gcd(n,2k)=gcd(n,k),這就要求k含的2因子數(shù)大于或等于n含的2因子數(shù),也就是n/e為奇數(shù),引理證畢。

    于是,定理1中n/e為奇數(shù)的條件,保證了采樣為互素采樣,否則得到的bi將不是m序列,不再具有平移相加的性質(zhì),這種情況我們將得到非最大Gold序列,后面會(huì)看到,這種序列的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)會(huì)是五值的。

    將上面的和式視為有限域上的求和,i取遍0,1,…,2n-2 時(shí),αi取遍域 F2n中的所有非零元,再令ατ=a,因此只需求出下面的和:

    求s(a)的方法是令a取遍F2n,計(jì)算:

    其中j是任意正整數(shù)。交換求和號(hào),并利用有限域上跡函數(shù)求和的性質(zhì):

    于是前式變?yōu)?

    引理2 j≥3為正整數(shù),Tj的定義如上,則:

    證明 注 意d=2k+1,于是在域F2n上:

    上式代入Tj的定義,利用性質(zhì)tr(x)=tr(x2)以及交換求和號(hào),Tj變?yōu)?

    利用性質(zhì)(2),可知需要一組滿(mǎn)足方程

    的x1到的解,只有這樣后半部分求和號(hào)才不為0。將方程(4)中 x1到視為常數(shù)視為變量,這是關(guān)于的一個(gè)非齊次線(xiàn)性方程,且有一個(gè)顯然的解=x1+… +,對(duì)應(yīng)常數(shù)項(xiàng)為 0 的齊次線(xiàn)性方程為:

    不考慮零解時(shí),整理變?yōu)?

    因此得

    引理證畢。

    可以很簡(jiǎn)單的算出T1=2n,于是j=2m-1取奇數(shù)時(shí),=,也就是

    現(xiàn)在,對(duì)于域F2n一共2n個(gè)s(a)的值,分別設(shè)為 y1,y2,…,y2n,那么上式就是:

    上式左端是非負(fù)zi的任意m次冪的和,右端是固定值,那么zi只可能取值0或1,且取1的次數(shù)恰為2n-e。一步步還原回去,即可知s(a)只可能取值0或±2(n+e)/2,且取 ±2(n+e)/2的共有 2n-e個(gè),取 0 的有 2n-2n-e個(gè)。前者分別取正負(fù)的個(gè)數(shù)可由下式算出:設(shè)取正值的有t個(gè),取負(fù)值的有2n-e-t個(gè),則:

    3 非最大Gold序列

    本節(jié)討論定理1沒(méi)有解決的情形。引理1告訴我們,n/e不為奇數(shù)時(shí),令 f=gcd(n,2k),則有 f=2e,此時(shí) gcd(2n-1,2k+1)=2e+1,不是互素采樣,經(jīng)采樣后得到的序列bi不是m序列,但由采樣的定義可知bi仍具有bi=tr(αdi+u)的形式,此時(shí)的和序列我們稱(chēng)為非最大Gold序列。本節(jié)將討論非最大Gold序列的自相關(guān)性和互相關(guān)性。

    沿用定理1中的記號(hào)。仍然從式(1)中 Pa,b(τ)的定義出發(fā),這次不同的是由于d不再與N互素,我們不能像第3節(jié)開(kāi)始那樣將u處理掉,必須帶著運(yùn)算。令 a=αu+τ,b= αu,仍將 Pa,b(τ)轉(zhuǎn)化為有限域上的指數(shù)和,需要求下列指數(shù)和:

    與之前不同的是和式中多了一個(gè)參數(shù)b。我們有如下定理:

    定理2 sb(a)定義如上。則當(dāng)b是域F2n中的d階元時(shí),sb(a)的取值和次數(shù)分別為:當(dāng)b不是域F2n中的d階元時(shí),sb(a)的取值和次數(shù)分別為:

    證明 使用與定理1的證明相同的方法,類(lèi)似的步驟省略,重點(diǎn)看b的引入引起的不同之處。

    仍令

    繼續(xù)使用分離變量的方法:

    注意由于b的引入,對(duì)tr內(nèi)部的冪次進(jìn)行處理時(shí),連帶引起了b冪次的變化,產(chǎn)生了b2-k的項(xiàng),這是與之前不同的地方。現(xiàn)在,需要處理的方程是:

    這仍是 xj-1的線(xiàn)性方程,xj-1=x1+ … +xj-2為一顯然解,對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程是

    將之變形為:

    由于d=2k+1與2n-1不互素,因此分情況討論:當(dāng)b是域中的d階元時(shí),上述方程有g(shù)cd(2n-1,22k-1)=2f-1 個(gè)解,對(duì)應(yīng)方程(7)有 2f個(gè)解,也即方程(6)有2f個(gè)解;當(dāng)b不是域F2n中的d階元時(shí),上述方程無(wú)解,對(duì)應(yīng)方程(7)只有零解,也即方程(6)只有一個(gè)解。

    后續(xù)的處理跟定理1中的證明完全相同,此時(shí)引理2的結(jié)論變?yōu)?繼續(xù)按相同的方法處理,于是當(dāng)b是域F2n中的d階元時(shí),sb(a)可能的取值為0或 ±,當(dāng) b不是域F2n中的d階元時(shí),可能的取值為±2n/2。具體取值次數(shù)的計(jì)算方法也相同,最終結(jié)果即為定理2的結(jié)論。定理2證畢。

    確定了sb(a)后,減1 即得對(duì)應(yīng)Pa,b(τ)的取值,注意sb(a)的取值里多出一種a=0的情形,不過(guò)sb(0)的取值與b有關(guān),即我們無(wú)法確定Pa,b(τ)的取值要在定理2中的哪一類(lèi)里少一次,唯一可以確定的是sb(0)不會(huì)取0。因此Pa,b(τ)取值的結(jié)論要復(fù)雜一點(diǎn)。我們總結(jié)為如下定理:

    定理3 ai=tr(αi)為某個(gè)周期為N=2n-1的m序列,采樣因子取為d=2k+1,滿(mǎn)足n/e為偶數(shù),其中e=gcd(n,k)為它們的最大公因數(shù),f=(n,2k)=2e。采樣序列 bi==tr(),令 b=αu,則當(dāng)b是域 F2n中的 d階元時(shí),Pa,b(τ)的取值和次數(shù)分別為:

    以上第一種或第三種情形取值少取一次。b不是域F2n中的 d階元時(shí),Pa,b(τ)的取值和次數(shù)分別為:以上兩種情形的某一種取值少取一次。

    來(lái)看此時(shí)構(gòu)造出的非最大Gold序列的自相關(guān)性和互相關(guān)性。令,選取得到的序列中0、1平衡的那些,自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)仍如第一節(jié)中的形式。ai是m序列,平移相加后是本序列的另一個(gè)位移;但是bi不是m序列,沒(méi)有平移相加的性質(zhì)因此對(duì)應(yīng)到定理 3 中無(wú)法確定這個(gè)是否為域F2n中的d階元,因此這時(shí)自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)可能取到定理3中所有的五個(gè)值,即非最大Gold序列的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù),除了自相關(guān)函數(shù)τ=0時(shí)的一個(gè)平凡取值2n-1外,為五值的,可能的取值為-1,-1±2n/2和-1±。這五個(gè)值的取值次數(shù)沒(méi)有簡(jiǎn)單的確定方法。

    下面用一個(gè)非最大Gold序列的例子來(lái)闡述我們的結(jié)論。取n=6,本原多項(xiàng)式f(x)=1+x+x6產(chǎn)生的周期為63的m序列為:

    采樣因子取為 d =3,于是 k =1,e=1,f=2,采樣得到的序列為:

    分別取平移量v=0和v=1,將上面兩序列相加,得到兩個(gè)0、1平衡的非最大Gold序列和分別為:

    經(jīng)計(jì)算,ci(0)的自相關(guān)函數(shù)取值分別為:63(取1次),-17(取2次),15(取2次),-9(取18次),7(取18次),-1(取22次)和的互相關(guān)函數(shù)取值分別為:-17(取3次),15(取4次),-9(取15次),7(取21次),-1(取20次),與我們得到的五值性結(jié)論相符。

    4 結(jié)語(yǔ)

    Gold序列是通信技術(shù)中有重要應(yīng)用價(jià)值的一種偽隨機(jī)序列。Gold、Kasami等人完成了Gold序列理論的證明。文中提供了一種更直接和巧妙的證明方法,并自然推廣到了前人未提及的情形——非最大Gold序列。從上節(jié)討論可以看出,非最大Gold序列具有和Gold序列相似的自相關(guān)性和互相關(guān)性,相關(guān)函數(shù)的取值較為平滑,具有一定的應(yīng)用價(jià)值。目前,對(duì)于m序列互素采樣序列的相關(guān)性研究較多,但當(dāng)采樣為非互素采樣時(shí),得到的非m序列及相關(guān)衍生序列等,因?yàn)樾再|(zhì)比較復(fù)雜,目前研究較少。希望本文中用到的有限域上指數(shù)和的理論,以及證明思路等,對(duì)這個(gè)方向的研究能有所啟發(fā)。

    [1] 霍曉磊,康霞.序列偶擴(kuò)頻通信系統(tǒng)性能分析[J].通信技術(shù),2011,44(08):1 -3.HUO Xiao - lei,KANG Xia.Analysis on Sequence -Pairs Spread Spectrum Communication System[J].Communications Technology,2011,44(08):1 -3.

    [2] GAO Xing-xin,CHEN Alan,LO Sherman,etal.Compass-M1 Broadcast Codes in E2,E5b,and E6 Frequency Bands[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Proceeding,2009,3(04):599 -612.

    [3] GOLD R.Maximal Recursive Sequences with 3-Valued Recursive Cross- Correlation Functions[J].IEEE Transactions on Information Theory,1968(14):154-156.

    [4] KASAMI T.Weight Distribution Formula for Some Class of Cyclic Codes[R].Urbana:Coordinated Science Lab.Tech.Rep.R -285,Univ.Illinois,1966.

    [5] NIHO Y.Multivalued Cross- correlation Functions between Two Maximal Linear Recursive Sequences[D].Los Angeles:Univ.Southern Calif.,1972.

    [6] WELCH L R.Trace Mappings in Finite Fields and Shift Register Cross-correlation Properties[R].Los Angeles:Electrical Engineering Department Report,Univ.Southern Calif.,1969.

    [7] CUSICK TW,DOBBERTIN H.Some New Three-Valued Crosscorrelation Functions for Binarym - Sequences[J].IEEE Transactions on Information Theory,1996,42(04):1238-1240.

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