Banach空間上一類套代數(shù)的李環(huán)同構(gòu)

鄧 娟，侯晉川，齊霄霏

(1. 太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 太原 030024；2. 山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006)

Banach空間上一類套代數(shù)的李環(huán)同構(gòu)

鄧 娟1，侯晉川1，齊霄霏2

(1. 太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 太原 030024；2. 山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006)

令N,M分別是(實(shí)或復(fù))數(shù)域F上的Banach空間X和Y上的套,具有性質(zhì): (0)和X都是N的極限點(diǎn),即 (0)+=(0),X-=X. 令A(yù)lgN和AlgM分別為相應(yīng)的套代數(shù)。證明了映射Φ:AlgN→AlgM是李環(huán)同構(gòu) (即Φ是可加、李可乘的雙射) 當(dāng)且僅當(dāng)Φ(A)=TAT-1+h(A)I對(duì)任意的A∈AlgN都成立, 或Φ(A)=-TA*T-1+h(A)I對(duì)任意的A∈AlgN都成立,其中h是在所有交換子上為零的可加泛函,T是可逆的有界線性或共軛線性算子。

Banach空間；套代數(shù)；李環(huán)同構(gòu)

1 引言和主要結(jié)果

令R和S是兩個(gè)環(huán), Φ:R→S是一個(gè)映射。如果對(duì)任意的A,B∈R, Φ(AB)=Φ(A)Φ(B), 稱Φ是可乘的; 如果對(duì)任意的A,B∈R, Φ([A,B])=[Φ(A), Φ(B)], 稱Φ是李可乘的, 其中[A,B]=AB-BA是A和B的李積, 也叫作交換子。進(jìn)而, 如果Φ是雙射且李可乘的,稱Φ李可乘同構(gòu);如果Φ是雙射, 可加且李可乘的, 稱Φ李環(huán)同構(gòu)。如果R和S是數(shù)域F上的兩個(gè)代數(shù), Φ是雙射,F-線性的且李可乘, 稱Φ是李代數(shù)同構(gòu)。對(duì)于環(huán)上的李環(huán)同構(gòu)的研究, 參考[1- 3]和相關(guān)文獻(xiàn)。在這篇文章里我們重點(diǎn)關(guān)注Banach空間上的套代數(shù)間的李環(huán)同構(gòu)的刻畫問題。

在文獻(xiàn)[6]中, Marcoux和Sourour證明了可分復(fù)Hilbert空間上的套代數(shù)間的李代數(shù)同構(gòu)都可表示為α+β的形式, 其中α是代數(shù)同構(gòu)或負(fù)的代數(shù)反同構(gòu),β: AlgN→CI是在所有交換子上為零的線性映射, 即對(duì)任意的A,B∈AlgN, 滿足β([A,B])=0. 要把這一結(jié)果推廣到任意Banach空間上套代數(shù)的情形,其主要困難之一是Banach空間的子空間不一定是可補(bǔ)的。

Qi和Hou在文獻(xiàn)[7]中通過刻畫某類Banach空間套代數(shù)之間的李可乘同構(gòu)推廣了Marcoux和Sourour的結(jié)果。注意到, 李可乘同構(gòu)不一定是可加的。令N,M分別是(實(shí)或復(fù))數(shù)域F上的Banach空間X,Y上的套, 具有性質(zhì)如果M∈M滿足M-=M, 則 M在Y中可補(bǔ)(明顯地, 如果Y是Hilbert空間或如果dimY<∞,這個(gè)假設(shè)是自然滿足的)。令A(yù)lgN和AlgM分別是相應(yīng)的套代數(shù), Φ:AlgN→AlgM是雙射。Qi和Hou在文獻(xiàn)[7]中證明了:如果dimX=∞, 且存在N中的非平凡元在X中是可補(bǔ)的, 則Φ是李可乘同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在映射h:AlgN→FI, 滿足對(duì)任意A,B∈AlgN,h([A,B])=0, 使得Φ(A)=TAT-1+h(A)I對(duì)任意的A∈AlgN都成立, 或Φ(A)=-TA*T-1+h(A)I對(duì)任意的A∈AlgN都成立。其中, 在第一種形式里,T:X→Y是可逆有界線性或共軛線性算子使得 N→T(N)是N到M上的序同構(gòu)；而在第二種形式里,X,Y是自反的,T:X*→Y是可逆有界線性或共軛線性算子使得 N⊥→T(N⊥)是N⊥到M上的序同構(gòu)。如果dimX=n<∞, 可以把套代數(shù)和上三角塊矩陣代數(shù)看成一樣, 則Φ是李可乘同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在域自同構(gòu)τ:F→F, 可逆矩陣T使得要么Φ (A)=TAτT-1+h(A)對(duì)任意A都成立, 要么Φ(A)=-T(Aτ)trT-1+h(A)對(duì)任意A都成立, 其中對(duì)于矩陣A=(aij),Aτ=(τ(aij)),Atr是A的轉(zhuǎn)置。特別地, 上面的結(jié)果刻畫了有限維情形下的套代數(shù)之間的李環(huán)同構(gòu), 無限維情形, 套N和M滿足上面所提條件的套代數(shù)之間的李環(huán)同構(gòu), 以及任何Hilbert空間上套代數(shù)之間的李環(huán)同構(gòu)。

最近, Wang和Lu在文獻(xiàn)[8]中從另外的角度推廣了Marcoux和Sourour的結(jié)果, 證明了Banach空間上的任意套代數(shù)AlgN和AlgM之間的李代數(shù)同構(gòu)可以表示為α+β的形式, 其中α是代數(shù)同構(gòu)或負(fù)的代數(shù)反同構(gòu),β: AlgN→FI是在每個(gè)交換子上為零的線性映射。因?yàn)閷?duì)于套N有非平凡的可補(bǔ)元的情形下, 李代數(shù)同構(gòu)在文獻(xiàn) [9] 中已經(jīng)得到刻畫, Wang和Lu在文獻(xiàn)[8] 中主要處理N中的所有的非平凡元都不可補(bǔ)的情形。

一個(gè)自然的問題是如何刻畫任意Banach空間上套代數(shù)之間的李環(huán)同構(gòu), 從而獲得比文獻(xiàn)[8]更一般的結(jié)果。本文的目的在套的最大元及最小元都是極限元, 即(0)+=(0),X-=X的條件下, 回答上述問題。注意, 李環(huán)同構(gòu)和李代數(shù)同構(gòu)是非常不同的。例如套代數(shù)間的代數(shù)同構(gòu)總是連續(xù)的, 然而環(huán)同構(gòu)在有限維情形不一定是連續(xù)的。

下面是本文的主要結(jié)果。

定理1令N,M是(實(shí)或復(fù))數(shù)域F上的Banach空間X和Y上的套,AlgN和AlgM分別為相應(yīng)的套代數(shù)。設(shè)(0)+=(0),X-=X, 則映射Φ:AlgN→AlgM是李環(huán)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在套代數(shù)間的環(huán)同構(gòu)或負(fù)的環(huán)反同構(gòu)Ψ, 在所有交換子上為零的可加泛函h: AlgN→F, 使得Φ(A)=Ψ(A)+h(A)I對(duì)所有A∈AlgN都成立。

定理2令N,M是(實(shí)或復(fù))數(shù)域F上的Banach空間X和Y上的套, AlgN和AlgM分別為相應(yīng)的套代數(shù)。設(shè)(0)+=(0),X-=X, 則映射Φ:AlgN→AlgM是李環(huán)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在可加泛函h:AlgN→F滿足對(duì)任意的A,B∈AlgN,h([A,B])=0, 且下列之一成立:

1) 存在有界可逆線性或共軛線性算子T:X→Y使得N→T(N)是N到M上的序同構(gòu), Φ(A)=TAT-1+h(A)I對(duì)任意的A∈AlgN都成立;

2)X,Y是自反的, 存在有界可逆線性或共軛線性算子T:X*→Y使得N⊥→T(N⊥)是N⊥到M上的序同構(gòu), Φ(A)=-TA*T-1+h(A)I對(duì)任意的A∈AlgN都成立。

進(jìn)而, 如果F=R, 上述算子T是線性的。

注意到, 對(duì)于套N的假設(shè)條件(0)+=(0)和X-=X蘊(yùn)涵X是無限維的。 本文第2部分給出預(yù)備引理, 它們中的一些也是證明主要結(jié)果中的一部分。第3部分給出主要結(jié)果定理1的證明。

2 預(yù)備引理

在這一部分, 我們給出一些預(yù)備引理, 定義和符號(hào)。它們?cè)谧C明主要結(jié)果中要用到。

令X,Y是實(shí)或復(fù)數(shù)域F上的Banach空間,N,M是X和Y上的套, AlgN和AlgM分別是對(duì)應(yīng)的套代數(shù)。我們知道套代數(shù)的交換子是平凡的, 即, 如果T∈B(X), 對(duì)任意算子A∈AlgN,TA=AT, 則T=λI,λ∈F。這個(gè)事實(shí)在本文中將不加解釋直接應(yīng)用。另外, 符號(hào)ranT, kerT和rankT分別代表算子T的值域, 零空間和秩 (即, 值域ranT的維數(shù))。對(duì)于x∈X,f∈X*,x?f表示X上秩不大于1的算子, 其定義為, 對(duì)于任意向量y, (x?f)y=f(y)x.有時(shí)候我們用〈x,f〉表示f在x處的值f(x).

下面引理是眾所周知的,它給出了套代數(shù)里一秩算子的刻畫。

對(duì)于任意非平凡元E∈N, 定義

J(N,E)=

{A∈AlgN:AE=0且A*E-1=0}.

(1)

在文獻(xiàn)[8]中, Wang和Lu證明了L是AlgN中的真極大交換李代數(shù)理想當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一E∈N,L=FI+J(N,E). 下面的引理證明了任意極大交換李環(huán)理想也是這種形式。

引理2J是AlgN中的真極大交換李環(huán)理想當(dāng)且僅當(dāng)它是真極大交換李代數(shù)理想。

證明假設(shè)J是極大交換李環(huán)理想,則對(duì)任意A∈AlgN,C∈J和λ∈F, 我們有 [A,λC]=λ[A,C] ∈FJ, 這蘊(yùn)含了FJ是李環(huán)理想。明顯地,FJ也是可交換的。 因?yàn)镴是極大的,因此FJ?J. 而J?FJ. 因此我們有FJ=J. 從而J也是李代數(shù)理想。反過來是明顯的。 證畢。

(2)

利用上面引進(jìn)的符號(hào)和類比(文獻(xiàn)[8]中引理 4.1, 4.3, 4.4)的論證, 我們能證明下面的引理對(duì)于李環(huán)同構(gòu)仍然是正確的。

是非平凡的}→

∪{J(M, F):F∈M是非平凡的}

(3)

類似于文獻(xiàn)[8]中引理4.2, 我們有

下面的引理是顯而易見的。

引理5Φ(FI)=FI.

最后, 我們給出一個(gè)引理, 它在證明我們主要結(jié)果時(shí)要用到。令E,F分別是X和X*上的子空間。 用E?F表示集合{x?f:x∈E,f∈F}. 設(shè)W,V是數(shù)域F上的線性空間,τ是F的域自同構(gòu), 如果可加映射S:W→V滿足S(λx)=τ(λ)Sx對(duì)所有的x∈W,λ∈F都成立, 則稱S是τ-線性的。

引理6令Xi是無限維Banach空間,i=1,2. 令Ei,Fi分別是Xi,Xi*的維數(shù)>2的閉子空間。令A(yù)i是包含Ei?Fi的B(Xi)和恒等算子I的子代數(shù)。假設(shè)Ψ:A1→A2是滿足 Ψ(FI)=FI和Ψ(FI+E1?F1)=FI+E2?F2的可加雙射, 則存在映射γ:E1?F1→F, 域自同構(gòu)τ:F→F使得要么

1) 對(duì)任意的x∈E1,f∈F1,Ψ(x?f)=γ(x,f)I+Cx?Df, 其中C:E1→E2,D:F1→F2都是τ-線性雙射; 要么

2) 對(duì)任意的x∈E1,f∈F1,Ψ(x?f)=γ(x,f)I+Df?Cx, 其中C:E1→F2, D:F1→E2都是τ-線性雙射。

引理6的證明類似文獻(xiàn)[11]中的方法可以得到, 此處省略。

3 主要結(jié)果的證明

Φ(A((x?f)B)=Φ([A,[(x?f,B]])=

[z?g,[R,u?h]]=(z?g)R(u?h)=0.

由Φ的單射性得到A((x?f)B=0, 這蘊(yùn)含A(x?f)=0或者 (x?f)B=0. 如果A(x?f)=0, 則0=Φ([A,x?f])=[z?g,R]=(z?g)R≠0, 矛盾; 如果 (x?f)B=0, 則 0=Φ([x?f,B])=[R,u?h]=R(u?h) ≠ 0, 矛盾。

Φ(B((x?f)A)=Φ([B,[x?f,A]])=

[u?h,[R,z?g]]=(z?g)R(u?h)=0,

下面我們給出定理1的證明。

E∈N, Φ(FI+E? E⊥)=

因此, 由引理6, 存在環(huán)同構(gòu)τE:F→F和映射γE: E? E⊥→F使得要么

Φ(x?f)=γE(x,f)I+CEx?DE⊥f. (4)

Φ(x?f)=γE(x,f)I+DE⊥f?CEx.(5)

容易驗(yàn)證, 如果存在非平凡元E0∈N使得等式(4)成立, 則等式(4)對(duì)任意非平凡元 E∈N成立; 如果存在非平凡元E0∈N使得等式(5)成立, 則等式(5)對(duì)任意非平凡元E∈N成立。

假設(shè)等式(4)對(duì)非平凡的元E∈N成立。則對(duì)任意N∈N,x∈E∩N,f∈E⊥∩N, 我們有

Φ(x?f)=γE(x,f)I+CEx?DE⊥f=

γN(x,f)I+CNx?DN⊥f.

到現(xiàn)在為止,我們已經(jīng)證明了:存在τ-線性雙射C: ∪{N∈N: N≠ (0),X}→∪{M∈M: M≠ (0),Y},D: ∪{N⊥: N∈N, N≠ (0),X}→∪{M⊥: M∈M, M≠ (0),Y}以及映射 γ: ∪{E? E⊥:E∈N{(0),X}}→F使得對(duì)任意x∈N,f∈N⊥, N∈N{(0),X}, 我們有

Φ(x?f)=γ (x,f)I+Cx?Df.

(6)

因此, 對(duì)任意A∈AlgN,x∈N和f∈N⊥, 由等式(6), 我們有

Φ([A,x?f])=[Φ(A), Φ(x?f)]=

Φ(A) Cx?Df-Cx?Φ(A)*Df

和 Φ([A,x?f])=

Φ(Ax?f-x?fA)=(γ (Ax,f)-

γ (x,A*f))I+CAx?Df-Cx?DA*f.

結(jié)合以上兩個(gè)等式并且注意到I是無限秩的, 可以得到對(duì)任意N∈N{(0),X}以及x∈N,f∈N⊥, 我們有

Cx?Φ(A)*Df-Cx?DA*f=

Φ(A) Cx?Df-CAx?Df

成立。又注意到D是雙射, 所以存在標(biāo)量h(A)使得對(duì)任意x∈∪{N∈N: N≠ (0),X}, 有

Φ(A) Cx=CAx+h(A)Cx.

(7)

顯然,h作為AlgN上的泛函是可加的。對(duì)任意A∈AlgN, 定義Ψ (A)=Φ(A)-h(A)I. 則由等式(7), 對(duì)任意A,B∈AlgN,x∈∪{N∈N: N≠ (0),X}, 我們有

Ψ(AB)Cx=CABx=

Ψ(A)CBx=Ψ(A) Ψ(B)Cx.

因?yàn)椤葅N∈N: N≠ (0),X}在X中稠密且C是雙射, 于是對(duì)任意A,B∈AlgN, 有Ψ(AB)=Ψ(A)Ψ(B), 也就是說, Ψ是環(huán)同構(gòu)并且對(duì)任意A∈AlgN, Φ(A)=Ψ (A)+h(A)I.

類似地,如果等式(5)成立, 容易驗(yàn)證, 存在環(huán)反同構(gòu)Ψ: AlgN→AlgM及可加泛函h: AlgN→F, 使得Φ(A)=-Ψ(A)+h(A)I對(duì)所有A∈AlgN都成立。

到此定理得證。

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(編輯：朱倩)

LieRingIsomorphismsbetweenCertainNestAlgebrasonBanachSpaces

DENGJuan1,HOUJinchuan1，QIXiaofei2

(1.CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China；2.CollegeofMathematicalSciences,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,China)

LetNandMbe nests on Banach spacesXandYover the (real or complex) fieldF, with the property that both (0) andXare limit points ofN, i.e., (0)+=(0) andX-=X. Let AlgNand AlgMbe the associated nest algebras, respectively. It is shown that a map Φ:AlgN→AlgMis a Lie ring isomorphism (i.e., Φ is additive, Lie multiplicative and bijective) if and only if Φ(A)=TAT-1+h(A)Ifor allA∈AlgNor Φ(A)=-TA*T-1+h(A)Ifor allA∈AlgN, wherehis an additive functional vanishing on all commutators andTis an invertible bounded linear or conjugate linear operator.

Banach spaces;nest algebras;Lie ring isomorphisms

2013-04-10

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (11171249, 11101250, 11271217)

鄧娟(1986-)， 女, 湖北荊門人，碩士，主要從事算子理論與算子代數(shù)研究，(E-mail)juanhappyforever@163.com

侯晉川，博士，教授，博導(dǎo)，(E-mail)houjinchuan@tyut.edu.cn

1007-9432(2014)01-0133-05

O177.1

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