標(biāo)度變換的等價(jià)無窮小量應(yīng)用

占 楊， 宣本金

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) a.物理學(xué)院；b.數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230026)

所謂“標(biāo)度變換”是指放大或縮小，即碼尺的變化.如果一件事物放大或縮小后，其某種性質(zhì)不發(fā)生改變， 就說它具有標(biāo)度變換不變性.用標(biāo)度變換法可以很方便地求解很多物理和數(shù)學(xué)上的問題，并避開積分的繁瑣[1，2]，例如求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.用標(biāo)度變換求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，實(shí)際過程是通過量綱分析得出待求量與哪些物理量有關(guān)，并與它們?nèi)绾蜗嚓P(guān)；再通過放大(縮小)相關(guān)物理量(通常是長度)，利用變換中的標(biāo)度不變性列出方程進(jìn)行求解.在大一上學(xué)期學(xué)習(xí)微積分課程時(shí)，第一作者嘗試了用標(biāo)度變換法，而非洛必達(dá)法則或泰勒公式這類需要求導(dǎo)數(shù)的方法，求一些極限，取得了不錯(cuò)的效果.通過與宣本金老師的交流，第一作者對(duì)這種方法進(jìn)行了進(jìn)一步的歸納整理.

1 幾個(gè)常見函數(shù)的等價(jià)無窮小量

當(dāng)x→0時(shí)，sinx≈x，tanx≈x，ex-1≈x.但是，x-sinx呢？下面將用標(biāo)度變換法分別求出幾個(gè)常見函數(shù)的等價(jià)無窮小量.計(jì)算并不需要用到導(dǎo)數(shù)等概念，與力學(xué)中利用標(biāo)度變換法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法類似，將函數(shù)的自變量進(jìn)行“縮放”.需要指出的是，以下計(jì)算是形式上的，因?yàn)闆]有事先證明所求的無窮小量一定有階數(shù)，事實(shí)上，并不是所有的無窮小量都有階數(shù)[3].

例1 當(dāng)x→0時(shí)，求x-sinx的等價(jià)無窮小量.

解設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，(x-sinx)≈αxk(α≠0，k≥2，k∈Z+)，故

另一方面，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，有

當(dāng)x→0時(shí)

由極限的唯一性，故

例2 當(dāng)x→0時(shí)，求ex-(1+x)的等價(jià)無窮小量.

解設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，ex-(1+x)≈αxk，(α≠0，k≥2，k∈Z+)，故

e2x-1≈α(2x)k+(1+2x)-1

另一方面，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，有

e2x-1≈[(1+x)+αxk]2-1≈(1+x)2+2(1+x)αxk-1

由以上兩式，略去高于k階的項(xiàng)，化簡得

x2+2αxk=2kαxk

2 歸納一般性解法及拓展

設(shè)f(x)是一個(gè)非線性連續(xù)函數(shù)，且f(0)=0，例如sinx，ex-1，ln(1+x)等，而g(x)=α1xk1+α2xk2+…+αn-1xkn-1，滿足當(dāng)x→0時(shí)，f(x)≈g(x)，即g(x)的這n-1項(xiàng)的系數(shù)αi和冪次ki均可由f(x)確定(1≤k1≤k2≤…≤kn-1).在上述2例題的討論中，即等效于已知g(x)和f(x)，求f(x)-g(x)的等價(jià)無窮小量.

設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)-g(x)≈αnxkn，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，有

f(λx)≈g(λx)+αn(λx)kn

另一方面，利用具體函數(shù)的性質(zhì)化簡函數(shù)f(λx)的形式，如f(λx)=h[f(x)]，然后再利用已知的等價(jià)無窮小量關(guān)系式，得到函數(shù)f(λx)另一種等價(jià)形式；最后，利用極限的唯一性，列出一組代數(shù)方程組，求解這組代數(shù)方程組定出待定的常數(shù).

注意，λ為任意實(shí)數(shù)，為了計(jì)算方便，常取λ=2.為簡化計(jì)算，可略去高于kn階的項(xiàng).下面為了書寫方便，以“=”表示，即

h[f(x)]=h[g(x)+αnxkn]=g(λx)+αn(λx)kn

(1)

h[g(x)+αnxkn]=g(λx)+αn(λx)kn

(2)

或者用反函數(shù)表示為

λf-1[g(x)+αnxkn]=f-1[g(λx)+αn(λx)kn]

(3)

將式(2)，式(3)兩邊展開，比較系數(shù)和冪次，可以得到關(guān)于kn，αn的代數(shù)方程組，解之可得kn和αn的值.

通過進(jìn)一步的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)在兩種情況下，可以比較快捷地求出kn和αn，一是h(x)為有理函數(shù)，此時(shí)利用式(2)；二是f(x)的反函數(shù)的等價(jià)無窮小量容易求得，可以利用式(3).

例3 當(dāng)x→0時(shí)，求arcsinx-x的等價(jià)無窮小量.

解設(shè)f(x)=arcsinx，g(x)=x，則當(dāng)x→0時(shí)，

利用式(3)

λsin(x+αxk)=sin(λx+α(λx)k)

利用sinx的展開，并略去高于k階的小量，得

化簡得

下面再對(duì)已知其反函數(shù)等價(jià)無窮小量的函數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步拓展.

定理1對(duì)于任意連續(xù)函數(shù)f(x)，f(0)=0，如果其反函數(shù)存在且滿足當(dāng)x→0時(shí)，f-1(x)=ax+bxn+o(xn)(a≠0)，則

證明較為簡單，就不在此贅述了.特別的，當(dāng)a=1時(shí)，

f-1(x)≈x+bxn，f(x)≈x-bxn

進(jìn)一步地，對(duì)于

x→0時(shí)，

利用定理1，易知

特別地，當(dāng)n=2或n=3時(shí)，有

參考文獻(xiàn)：

[1] RABINOFF R.用標(biāo)度變換求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：如何避免繁雜的積分[J].大學(xué)物理，1987，6(7)：31-32

[2] 張慶國，尤景漢.標(biāo)度變換[J].工科物理，1999(9)：43-44

[3] 陳祖墀，宣本金，汪琥庭，等.微積分學(xué)導(dǎo)論(上冊)[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2011