用于非均質(zhì)復(fù)合材料應(yīng)力分析的交錯(cuò)網(wǎng)格有限體積法

宣領(lǐng)寬,龔京風(fēng),張文平,明平劍

(哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源工程學(xué)院, 150001, 哈爾濱)

用于非均質(zhì)復(fù)合材料應(yīng)力分析的交錯(cuò)網(wǎng)格有限體積法

宣領(lǐng)寬,龔京風(fēng),張文平,明平劍

(哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源工程學(xué)院, 150001, 哈爾濱)

針對(duì)非均質(zhì)復(fù)合材料的應(yīng)力問題,發(fā)展了一種交錯(cuò)網(wǎng)格有限體積法(SCV-FVM)。該方法基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格離散線彈性平衡方程,采用交錯(cuò)網(wǎng)格技術(shù)將材料的空間變化引入離散過程,從而不需要顯式處理復(fù)合材料交界面。用SCV-FVM對(duì)宏觀非均質(zhì)復(fù)合材料應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值模擬,結(jié)果與理論解吻合良好。與其他數(shù)值結(jié)果的對(duì)比表明,SCV-FVM能夠避免材料物性突變引起的牽引力方向的應(yīng)力數(shù)值波動(dòng)及不連續(xù)現(xiàn)象,但是難以捕捉垂直于牽引力方向的應(yīng)力跳躍現(xiàn)象,可以通過加密交界面網(wǎng)格來改善計(jì)算結(jié)果。用SCV-FVM對(duì)微觀非均質(zhì)復(fù)合材料應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值模擬,結(jié)果不存在由物性參數(shù)空間變化引起的數(shù)值不連續(xù)現(xiàn)象及應(yīng)力集中現(xiàn)象,表明SCV-FVM適合對(duì)微觀非均質(zhì)材料進(jìn)行應(yīng)力分析。

非均質(zhì)復(fù)合材料;層合材料;功能梯度材料;交錯(cuò)網(wǎng)格技術(shù);有限體積法

層合材料、功能梯度材料、涂層材料等復(fù)合材料已被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際中。采用不同的制備工藝得到的復(fù)合材料可能存在界面形貌的波動(dòng)[1]、微尺度顆粒的隨機(jī)分布[2-3]等。

關(guān)于均質(zhì)(即不存在物性突變)復(fù)合材料熱力性能的研究已有較多報(bào)道[4-14]。非均質(zhì)復(fù)合材料包括微觀非均質(zhì)結(jié)構(gòu),如具有微結(jié)構(gòu)的功能梯度材料;宏觀非均質(zhì)結(jié)構(gòu),如層合材料、包含問題等。文獻(xiàn)[15]指出,基于連續(xù)介質(zhì)理論的有限元法不能有效地直接求解非均質(zhì)問題,如無限體中含微觀結(jié)構(gòu)的問題。為此,文獻(xiàn)[15]建立了基于均勻化理論的確定復(fù)合材料結(jié)構(gòu)應(yīng)力場(chǎng)的方法,用均質(zhì)的宏觀結(jié)構(gòu)和非均質(zhì)的具有周期性分布的微觀結(jié)構(gòu)來描述原結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[3]基于高階功能梯度理論(HOTFGM),對(duì)具有微結(jié)構(gòu)的熱障涂層的熱力性能進(jìn)行了數(shù)值分析,并指出:基于有限元法得到的應(yīng)力場(chǎng)存在不合理的應(yīng)力集中現(xiàn)象。另一方面,文獻(xiàn)[4-6]基于HOTFGM發(fā)展了有限體積理論(FVT),并用于研究經(jīng)典包含問題,結(jié)果表明:用FVT計(jì)算得到的沿牽引力方向的應(yīng)力與理論解吻合良好,但計(jì)算得到的垂直于牽引力方向的應(yīng)力存在數(shù)值不連續(xù)現(xiàn)象,并且難以得到收斂解。文獻(xiàn)[16]根據(jù)分界面法向應(yīng)力連續(xù)和位移切向梯度連續(xù)的情況,提出了3種顯式處理材料分界面的途徑,改進(jìn)了格心型有限體積法(CC-FVM),計(jì)算結(jié)果表明,改進(jìn)后的CC-FVM能夠避免不合理的應(yīng)力波動(dòng)。

作者曾提出了一種新的數(shù)值方法——交錯(cuò)網(wǎng)格有限體積法(SCV-FVM)。該方法采用網(wǎng)格有限體積法(CV-FVM)離散控制方程,利用交錯(cuò)網(wǎng)格技術(shù)將物性參數(shù)的空間變化引入離散過程。SCV-FVM現(xiàn)已被成功應(yīng)用于求解均質(zhì)功能梯度材料及層合材料的熱傳導(dǎo)問題[7]。本文進(jìn)一步將SCV-FVM推廣應(yīng)用于宏觀和微觀非均質(zhì)復(fù)合材料的應(yīng)力問題研究。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 控制方程

考慮二維線彈性材料的靜態(tài)應(yīng)力問題。根據(jù)控制體Ω內(nèi)的力平衡建立控制方程

(1)

式中:σ為應(yīng)力張量;g為單位質(zhì)量體積力矢量;V為Ω的體積;S為Ω的邊界;n為垂直于邊界S的單位外法線矢量。將方程(1)寫為張量形式

(2)

式中:σij為σ在垂直于i方向的微元面沿j方向的分量;gi為g沿i方向的分量;nj為n沿j方向的分量。

線彈性體的本構(gòu)方程為

σij=2Gεij+λεkkδij

(3)

式中:δij為克羅尼克爾符號(hào),當(dāng)i=j時(shí)δij=1,當(dāng)i≠j時(shí)δij=0;拉姆系數(shù)G與λ可由彈性模量E和泊松比μ根據(jù)式(4)和式(5)計(jì)算:

對(duì)于平面應(yīng)變

(4)

對(duì)于平面應(yīng)力

(5)

εij為應(yīng)變張量ε的分量,其表達(dá)式為

(6)

將式(3)和式(6)代入式(2),得到待解控制方程

(7)

式中:ui為位移矢量u沿i方向的分量。

對(duì)于固支邊界SD,位移為0;對(duì)于載荷邊界SN,給定邊界載荷矢量f0;自由邊界SF是載荷邊界的特殊情況,即f0=0;簡支邊界可以由固支邊界和自由邊界組合得到。

1.2 數(shù)值離散

采用三節(jié)點(diǎn)三角形(T3)和四節(jié)點(diǎn)四邊形(Q4)網(wǎng)格單元?jiǎng)澐钟?jì)算域。SCV-FVM與CC-FVM最基本的區(qū)別在于控制體的建立。如圖1所示,CC-FVM以網(wǎng)格單元作為控制體,變量定義在單元中心(實(shí)心圓點(diǎn)),如網(wǎng)格單元15,而SCV-FVM則圍繞單元節(jié)點(diǎn)(空心圓點(diǎn))依次連接相鄰單元中心和邊長中點(diǎn)(實(shí)心圓點(diǎn))建立控制體,網(wǎng)格單元由實(shí)線圍成,控制體由虛線圍成,如圍繞內(nèi)部節(jié)點(diǎn)a建立的控制體1-2-3-4-5-6-7-8-9-10,圍繞邊界節(jié)點(diǎn)b建立的控制體11-12-13-b-14-4-3-2。

基于交錯(cuò)網(wǎng)格的思想,將待解變量定義在單元節(jié)點(diǎn)上,物性參數(shù)定義在單元中心。假設(shè)待解變量在控制體內(nèi)均勻分布,物性參數(shù)在單元內(nèi)均勻分布,則物性參數(shù)在控制體內(nèi)是變化的(如圖1所示),從而可將物性參數(shù)的空間變化自然地引入離散過程。

圖1 控制體示意圖

基于CV-FVM離散方程(7),可得

(8)

式中:nc為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)周圍的單元總數(shù);nα為第α個(gè)單元內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù);Nα β為型函數(shù),型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在不同單元中的積分可參考文獻(xiàn)[7];下角標(biāo)α表示第α個(gè)單元中心的變量值,αβ表示第α個(gè)單元內(nèi)第β個(gè)節(jié)點(diǎn)上的變量值。

對(duì)于固支邊界,保持節(jié)點(diǎn)位移為0。對(duì)于載荷邊界,將邊界力代入方程(8),得

(9)

耦合求解不同方向的位移,從而可以一次計(jì)算得到整個(gè)位移場(chǎng),避免迭代。

2 方法驗(yàn)證及應(yīng)用

2.1 雙層材料圓盤問題

考慮如圖2所示的雙層材料圓盤[16],采用平面應(yīng)力假設(shè)。內(nèi)表面半徑ri=0.05m,受到的均勻壓力pi=1 MPa;外表面半徑ro=2ri,為自由邊界。兩層材料分界面的半徑rm=1.4ri;內(nèi)層材料的泊松比μi=0.35,外層材料的泊松比μo=0.3;外層材料的彈性模量Eo是內(nèi)層材料彈性模量Ei的10倍。由于對(duì)稱性,取1/4圓盤作為計(jì)算域(如圖2a所示),徑向劃分25個(gè)均勻網(wǎng)格,周向劃分60個(gè)均勻網(wǎng)格。在文獻(xiàn)[16]中,計(jì)算模型徑向有50個(gè)均勻網(wǎng)格,周向有120個(gè)均勻網(wǎng)格。

(a)幾何模型

(b)非均勻網(wǎng)格

圖3為采用傳統(tǒng)CC-FVM、文獻(xiàn)[16]的改進(jìn)型CC-FVM和本文的SCV-FVM獲得的雙層材料圓盤應(yīng)力計(jì)算結(jié)果比較。從圖3a可以看到,傳統(tǒng)CC-FVM得到的徑向應(yīng)力σr在分界面附近存在不正確的數(shù)值波動(dòng),由改進(jìn)型CC-FVM得到的結(jié)果與理論解吻合良好,而本文的SCV-FVM不需要特殊處理分界面,得到的σr不存在數(shù)值波動(dòng)。

圖3b為采用不同方法得到的周向應(yīng)力σθ曲線。由于在分界面存在材料突變,σθ曲線應(yīng)有跳躍現(xiàn)象。由改進(jìn)型SCV-FVM得到的σθ在遠(yuǎn)離分界面的區(qū)域與理論解一致,但在分界面上計(jì)算值存在一定誤差。CC-FVM以位移為求解變量,根據(jù)本構(gòu)關(guān)系計(jì)算應(yīng)力場(chǎng),空間一個(gè)點(diǎn)僅計(jì)算一個(gè)應(yīng)力值,因此得到的分界面上的應(yīng)力是一個(gè)平均值。當(dāng)細(xì)化交界面附近網(wǎng)格,即采用如圖2b所示的非均勻網(wǎng)格時(shí),計(jì)算得到的σθ曲線有明顯改善。非均勻網(wǎng)格與均勻網(wǎng)格采用相同的網(wǎng)格數(shù),非均勻網(wǎng)格的最小網(wǎng)格尺寸為1 mm,在交界面處,交界面兩側(cè)沿徑向的網(wǎng)格數(shù)分別為10和15,所以交界面附近網(wǎng)格更細(xì)密(見圖2b)。

(a)徑向應(yīng)力σr

(b)周向應(yīng)力σθ

2.2 包含問題

考慮如圖4a所示的經(jīng)典包含問題[1,6]。方形結(jié)構(gòu)(2L=30 m)基體為環(huán)氧樹脂,物性參數(shù)為Em=4.9 GPa,μm=0.34。包含區(qū)域(r=1 m)為玻璃纖維,物性參數(shù)為Ef=69.0 GPa,μf=0.2。方形結(jié)構(gòu)的左面和右面受到沿x方向的均勻拉力p=100 MPa,上、下表面自由。由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,取其1/4作為計(jì)算域(見圖4b),x=0和y=0為簡支邊界,采用平面應(yīng)變假設(shè)。

(a)幾何結(jié)構(gòu)及邊界條件

(b)計(jì)算域劃分

(a)σx(MPa)

(b)σy(MPa)

(a)σx曲線

(b)σy曲線

文獻(xiàn)[6]計(jì)算了完整的方形結(jié)構(gòu),采用4×2 600個(gè)四邊形網(wǎng)格劃分計(jì)算域,而本文僅采用1 200個(gè)四邊形網(wǎng)格劃分計(jì)算域,如圖4b所示,網(wǎng)格分布與文獻(xiàn)[6]的類似。圖5為基于本文SCV-FVM計(jì)算得到的應(yīng)力云圖,圖6為基于不同方法計(jì)算得到的應(yīng)力曲線。由圖6可見:采用有限元法得到的應(yīng)力曲線不連續(xù);采用FVT得到的應(yīng)力曲線沿牽引力方向是連續(xù)的(見圖6a),但垂直于牽引力方向則是不連續(xù)的(見圖6b);采用本文SCV-FVM得到的應(yīng)力曲線與理論解吻合良好,不存在數(shù)值不連續(xù)現(xiàn)象。需要指出的是,在環(huán)氧樹脂和玻璃纖維的分界面存在物性參數(shù)的突變,垂直于牽引力方向的應(yīng)力存在跳躍。與2.1節(jié)中的問題類似,因?yàn)镾CV-FVM計(jì)算得到的應(yīng)力在分界面上是一個(gè)平均值,因此采用SCV-FVM計(jì)算應(yīng)力跳躍問題時(shí)需要加密分界面兩側(cè)的網(wǎng)格。

2.3 微結(jié)構(gòu)涂層問題

利用SCV-FVM求解如圖7所示的4層微結(jié)構(gòu)涂層的應(yīng)力場(chǎng)。用均勻四邊形網(wǎng)格劃分計(jì)算域,網(wǎng)格為邊長20 μm的正方形。為了避免結(jié)構(gòu)的剛性平移,底面中間3個(gè)節(jié)點(diǎn)固支,其余節(jié)點(diǎn)簡支。涂層頂端受到沿x方向變化的壓力,兩側(cè)自由,采用平面應(yīng)變條件。

圖7 4層微結(jié)構(gòu)涂層示意圖

涂層長L=2 mm,寬W=1 mm,共有4層。底層L1為純Fe,厚度Δy1=0.2 mm;第2層L2為黏結(jié)劑CoCrAlY,厚度Δy2=0.1 mm;第4層為純ZrO2,厚度Δy4=0.2 mm。各涂層材料的物性參數(shù)見表1。第3層為梯度層,厚度Δy3=0.5mm,材料由CoCrAlY逐漸變?yōu)閆rO2。ZrO2的質(zhì)量分?jǐn)?shù)沿y軸變化

(10)

則梯度層的物性參數(shù)

P=PZφZ+PC(1-φZ)

(11)

式中:P代表表1中的參數(shù)k、E、μ;下角標(biāo)Z代表ZrO2,C代表CoCrAlY;指數(shù)m控制梯度層中材料質(zhì)量分?jǐn)?shù)的變化規(guī)律。

表1 涂層材料的物性參數(shù)

(a)m=2 (b)m=4

(a)位移uy

(b)應(yīng)力σx

梯度層L3中ZrO2顆粒隨機(jī)分布,但其統(tǒng)計(jì)平均質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足式(10)。假設(shè)顆粒為邊長20μm的正方形,與網(wǎng)格尺寸相同,考慮如圖8所示的2種梯度層結(jié)構(gòu)。圖9為計(jì)算得到的位移uy和應(yīng)力σx的云圖,圖10為計(jì)算得到的應(yīng)力沿y=0.5mm的分布曲線。由圖9和圖10可知,由于微結(jié)構(gòu)顆粒的隨機(jī)分布,位移和應(yīng)力在梯度層存在不均勻分布,位移場(chǎng)的不均勻度小于應(yīng)力場(chǎng)的不均勻度。另外,隨著m的增大,涂層的變形和應(yīng)力幅值減小,同時(shí)不均勻度降低。

由于微尺度顆粒的存在,使梯度層的物性參數(shù)變化劇烈。文獻(xiàn)[2]中采用有限元法計(jì)算類似的微尺度問題時(shí),存在不合理的應(yīng)力集中現(xiàn)象,而本文方法的計(jì)算結(jié)果不存在數(shù)值應(yīng)力集中問題,這進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法對(duì)非均勻材料的適用性。

(a)σx曲線

(b)σy曲線

3 結(jié) 論

本文采用交錯(cuò)網(wǎng)格技術(shù)提出了SCV-FVM。該方法圍繞節(jié)點(diǎn)建立控制體,將物性參數(shù)定義在單元中心,待解變量定義在單元節(jié)點(diǎn)上,從而能夠考慮非均質(zhì)材料的空間變化。

采用SCV-FVM對(duì)宏觀非均質(zhì)復(fù)合材料的應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值模擬,通過與解析解的對(duì)比,驗(yàn)證了結(jié)果的正確性。與CC-FVM相比,SCV-FVM不需要顯式處理交界面,就能避免物性突變引起的交界面應(yīng)力數(shù)值波動(dòng)。與HOTFGM及有限元法相比,SCV-FVM能夠避免材料空間變化引起的不合理的應(yīng)力不連續(xù)現(xiàn)象。通過分析發(fā)現(xiàn),SCV-FVM在空間任一點(diǎn)僅計(jì)算一個(gè)應(yīng)力值,計(jì)算得到的材料交界面處的應(yīng)力是一個(gè)平均值,因此難以捕捉由材料物性突變引起的垂直于牽引力方向的應(yīng)力跳躍現(xiàn)象,但可以通過加密網(wǎng)格來改善計(jì)算結(jié)果。

由于SCV-FVM不需要顯式地處理復(fù)合材料交界面,因而能夠用于分析具有隨機(jī)分布微觀結(jié)構(gòu)的非均質(zhì)材料問題。對(duì)微觀非均質(zhì)涂層的數(shù)值模擬結(jié)果表明,用SCV-FVM計(jì)算的應(yīng)力場(chǎng)不存在數(shù)值不連續(xù)現(xiàn)象及應(yīng)力集中問題。

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(編輯 葛趙青)

StaggeredCell-VertexFiniteVolumeMethodforAnalyzingStressinHeterogeneousCompositeMaterials

XUAN Lingkuan,GONG Jingfeng,ZHANG Wenping,MING Pingjian

(College of Power and Energy Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

A staggered cell-vertex finite volume method (SCV-FVM) is developed for stress analysis in heterogeneous composite materials.The linear elastic equilibrium equation is discretized based on unstructured grids.The staggered grid technique is adopted to introduce the material variation into the discretization, so it is unnecessary to treat the material interfaces explicitly.SCV-FVM is taken to simulate the elastic fields of macrostructures and the results agree well with the analytical ones.Comparisons between different numerical results show that SCV-FVM is able to avoid numerical oscillation of the stress along traction direction, however it is hard for SCV-FVM to capture the stress jump vertical to the traction direction, which can be improved by refining the mesh around the material interface.The elastic performance of multi-layer composites with microstructures is discussed via SCV-FVM, and the numerical discontinuity and stress concentration due to variation of physical parameters do not appear in the predicted results, which demonstrates the feasibility of SCV-FVM for stress analysis of heterogeneous composite materials.

heterogeneous composite material; laminated material; functionally graded material; staggered grid technique; finite volume method

10.7652/xjtuxb201403022

2013-07-09。

宣領(lǐng)寬(1987—),男,博士生;張文平(通信作者),男,教授。

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(HEUCF130302)。

時(shí)間: 2013-12-25

O343.7

:A

:0253-987X(2014)03-0121-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址: http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20131225.1702.006.html