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      解一道競賽題的“通性通法”

      2014-08-08 02:58:02
      中學教研(數學) 2014年12期
      關鍵詞:通性通法余弦定理

      (衢州高級中學何數思維工作室 浙江衢州 324006)

      解題教學,我們教的不是解題技巧,而應該是解題的通性通法(“通性”是概念所反映的數學基本性質,“通法”是概念所蘊含的思想方法).培養(yǎng)學生解題的通性通法,有利于培養(yǎng)學生普遍聯系的觀點和辯證思維的能力.

      2014年浙江省高中數學競賽于4月13日結束,在研究最后一題解題方法的過程中,筆者發(fā)現標準答案給出的是競賽題的解題思路,方法自然,但因技巧性強,對培養(yǎng)學生的思維能力不是很好.就題目本身而言,肯定是培養(yǎng)學生思維能力的一道好題.那么,在解題教學中,我們應該怎樣發(fā)揮它應有的作用呢?從基本概念、基本原理及其聯系性出發(fā),尋找題目所蘊含的數學方法,即所謂解題的“通性通法”,這才是根本.“通性”是概念所反映的數學基本性質,本題可以轉化為解三角形問題,而解三角形問題的通性是正弦定理、余弦定理的應用;也可以應用求解幾何問題的通性,就是轉化為代數問題求解;還可以應用解方程組的通性,降次、消元、整體代換等.“通法”是概念所蘊含的思想方法,解三角形問題的通法是利用正弦定理或余弦定理進行邊角互化;也可以考慮把代數問題轉化為幾何問題,應用坐標法求解;還可以應用消元法,方法自然,解法簡潔,通俗易懂.

      例1設正實數a,b,c滿足

      求a,b,c的值.

      解法1(構造法)如圖1,以O為出發(fā)點,作長度為a,b,c的3條線段OA,OB,OC,使得

      ∠AOB=90°,∠AOC=120°,

      ∠COB=150°.

      由余弦定理知

      于是

      ∠CAB=90°.

      在Rt△ABO中,由正弦定理知

      從而

      在△ACO中,由正弦定理知

      從而

      因為

      ∠ABO=∠CAO,

      所以

      代入a2+c2+ac=4和a2+b2=3,求得

      評注應用正弦定理和余弦定理求解三角形,是解三角形問題的通法.

      圖1 圖2

      解法2(坐標法)如圖2,以O為出發(fā)點,作長度分別為a,b,c的3條線段OA,OB,OC,使得

      ∠AOB=90°,∠AOC=120°,

      ∠COB=150°.

      由余弦定理知

      于是

      ∠CAB=90°.

      (1)

      又直線AO和CO的夾角是120°,利用(到角)公式

      (2)

      聯立方程(1)和(2),求得

      利用兩點間的距離公式,求得

      評注坐標法是以坐標系為橋梁,把幾何問題轉化成代數問題,通過代數運算研究幾何圖形性質的方法.它是解析幾何中最基本的研究方法之一.其實,許多幾何問題都可以應用坐標法.本題應用坐標法,把復雜的運算問題簡單化.另外,本題也可以利用夾角公式求解.

      解法3(消元法)因為3+4=7,所以

      (3)

      由a2+c2+ac=4,得

      4-a2=c(a+c),

      (4)

      (5)

      式(4)除以式(5),得

      (6)

      聯立方程(3)和(6),消去c,得

      因為a2+b2=3,所以

      評注利用常規(guī)的求解三元二次方程組的消元法,結合降次、整體代換等解題的通性通法完成解題.另外,從該解題方法我們可以看出,題目的已知條件“正實數a,b,c”可以推廣到“實數a,b,c”(答案作相應的調整,此處略).

      在解題教學中,注重基本概念、基本原理及其聯系性,把握解題的通性通法,不僅是培養(yǎng)學生思維能力的根本,而且也是發(fā)展學生思維能力的正道.

      圖3

      另附標準答案:如圖3,以O為出發(fā)點,作長度為a,b,c的3條線段OA,OB,OC,使得

      ∠AOB=90°,∠AOC=120°,

      ∠COB=150°.

      由余弦定理知

      于是

      ∠CAB=90°.

      過點O作OE⊥AC,OF⊥AB,設AE=m,OE=n,由∠ABO=∠OAE,得

      又∠AOC=120°,得

      于是

      從而

      參 考 文 獻

      [1] 章建躍.什么是好數學教學[J].中小學數學(高中版),2011(7/8):封底.

      [2] 章建躍.注重通性通法才是好數學教學[J].中小學數學(高中版),2011(11):封底.

      [3] 章建躍.注重課堂生成才是好數學教學[J].中小學數學(高中版),2011(12):封底.

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