一類波動方程的全離散H1-Galerkin混合有限元方法

于順霞

（濰坊科技學(xué)院機(jī)械系，山東壽光267000）

討論如下二階雙曲型方程初邊值問題：

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)工程中的大量數(shù)學(xué)模型都可用偏微分方程來描述，雙曲型偏微分方程是描述振動或波動現(xiàn)象的一類重要的偏微分方程.關(guān)于這類方程有限元方法的研究已有一些結(jié)果[1-6].文獻(xiàn)[1-2]研究了非線性雙曲型方程的全離散有限元方法的穩(wěn)定性和收斂性估計，這些研究成果都為以后的工作打下了重要基礎(chǔ).文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]分別討論了一維和高維雙曲型方程的H1-Galerkin混合有限元方法的三層全離散格式，得到了最優(yōu)誤差估計.本文給出二階雙曲型方程的H1-Galerkin混合有限元方法的二層全離散格式，并進(jìn)行誤差分析，得到了最優(yōu)階誤差估計.本文中C、ε分別表示普通常數(shù)和一個普通小正數(shù)，不同式中的C、ε可能不同.

1 格式的建立

令 apx=u，ut=q，α（x）=1/a（x），β（x）= α（x）·b（x），將 apx=u 與 vx做內(nèi)積，并由 α（x）=1/a（x）得式（2）（a）.將式（1）（a）與 wx做內(nèi)積，利用分部積分和邊界條件pt（0）=pt（1）=0得式（2）（b）.于是與問題（1）等價的變分形式為：求滿足

令Vh和Wh分別是和H1的有限維子空間，有如下逼近性質(zhì)：對于1≤p≤∞和k＞0，r＞0的整數(shù)，滿足

問題（2）的半離散H1-Galerkin混合有限元方法為：求{ph，uh，qh}∈Vh× Wh× Wh，滿足

其中uh（0）和qh（0）分別為u0（x）=ap0x（x），q0（x）=ap1x（x）的某種近似.這3個方程構(gòu)成了微分代數(shù)方程，因為剛度矩陣是正定的，因此問題（3）對于給定初值是唯一可解的.

由文獻(xiàn)[7]，定義橢圓投影{uh，ph}：[0，T]→Wh×Vh為

其中 A（u，v）=（ux，vx）-（βu，vx）+ λ（u，v），這里選取 λ 使 A（·，·）是 H1-正定的，即存在常數(shù) α0＞ 0，使得且容易證明 A（·，·）是有界的.

下面對半離散問題（3）關(guān)于時間離散化，以導(dǎo)出全離散格式.取正整數(shù)N，時間步長為τ=T/N，tn=nτ（n=0，…，N），對于在 t=tn有定義的函數(shù) v，記

將式（3）關(guān)于時間離散化，并將 uh、f在 tn-1，tn，tn+1的值做權(quán)平均，得全離散格式：求Wh，滿足

上述格式的初值按下面的方式確定，

2 格式的誤差估計

令ρ=u-uh，η=p-ph，對于ρ、η，由文獻(xiàn)[7]可得估計

證明 ρ、η與e的估計已經(jīng)由式（8）～式（11）給出，只需估計 ξ、ζ與 θ.在式（12）中取 vh= ζn+1/2，得

在誤差方程（13）中取 wh==+ δn，其中

下面分別估計上式各項.對左端第1項，有

對上式右端第2項利用分部求和公式，有

對式（16）左端第2項，有

下面估計式（16）的右端各項.對|I1|和|I2|，利用柯西不等式，有

對|I3|，由格林公式及柯西不等式，并利用式（15），有

對I4，經(jīng)整理并利用柯西不等式，有

對I5和I6，與I4類似，有

將上面各項估計代入式（16），兩邊同時乘以2τ，并關(guān)于n=1，2，…，N-1求和，注意到α的有界性，由A的正定性及有界性，利用ε-Cauchy不等式，有

當(dāng)τ、ε充分小時，由Gronwall引理得

由u*的取法及泰勒展開式，可得

所以，由式（8）～式（11）得

最后由三角不等式得結(jié)論成立.證畢.

[1]劉小華.關(guān)于一類二階非線性雙曲型方程的全離散有限元方法的穩(wěn)定性和收斂性估計[J].高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報，2002，25（1）：15-22.

[2]王宏.關(guān)于非線性雙曲型方程全離散有限元方法的穩(wěn)定性和收斂性估計[J].計算數(shù)學(xué)，1987，9（2）：163-175.

[3]于順霞，楊青.雙曲型方程全離散H1-Galerkin有限元方法[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2007，7（1）：18-21.

[4]楊青，于順霞，李麗芳.高維雙曲型方程全離散H1-Galerkin有限元方法[J].山東師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，22（4）：8-11.

[5]王瑞文.雙曲型方程的混合元法[D].濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2004.

[6]甘小艇，張坤.拋物和雙曲方程全離散間斷有限體積元法[J].西北師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，48（1）：15-21.

[7]WHEELER M F.A priori L2-error estimates for Galerkin approximations to parabolic differential equation[J].SIAM J Numer Anal，1973，20（10）：723-749.