基于高斯曲率識(shí)別板式無(wú)砟軌道中CA砂漿脫空傷損①

胡志鵬，王平，熊震威，代先星

(1.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031;2.西南交通大學(xué)高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

CA砂漿作為板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)的重要組成部分，其主要功能是作為調(diào)整層，提供板式軌道一定的彈性緩沖作用，其性能的好壞直接形響板式軌道應(yīng)用的耐久性和維修工作。目前，我國(guó)高速鐵路運(yùn)營(yíng)里程有萬(wàn)余公里，無(wú)砟軌道傷損也日顯突出，其中CA砂漿傷損最嚴(yán)重，很有必要探索適合無(wú)砟軌道傷損檢測(cè)的方法。由模態(tài)分析理論可知，伴隨系統(tǒng)特性的改變必然導(dǎo)致模態(tài)參數(shù)的改變［1］，Pandey等［2－4］通過(guò)計(jì)算，研究了曲率模態(tài)的變化與損傷的關(guān)系，得出曲率模態(tài)是一個(gè)對(duì)傷損很敏感的參數(shù)。陳紅等［5－8］用曲率模態(tài)及曲率模態(tài)差分析板式結(jié)構(gòu)傷損，由于板式結(jié)構(gòu)存在2個(gè)方向的曲率，何欽象等［9－10］提出用高斯曲率模態(tài)差識(shí)別結(jié)構(gòu)傷損。由于軌道板－CA砂漿系統(tǒng)傷損前的數(shù)據(jù)很難得到，不容易計(jì)算出高斯曲率模態(tài)差?；诖嗽颍疚倪x擇各階模態(tài)下軌道板高斯曲率來(lái)識(shí)別CA砂漿的傷損。

1 理論背景

1.1 軌道板振動(dòng)理論

由于軌道板的厚度比其長(zhǎng)度和寬度小很多，軌道板在垂向可視為彈性薄板，根據(jù)彈性薄板理論，軌道板的垂向無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程可寫(xiě)為［11］:

式中:w1(x，y，t)為軌道板垂向撓度;hs為軌道板厚度;xFi，yFi為軌道板下第i個(gè)支撐點(diǎn)沿長(zhǎng)度方向和寬度方向的坐標(biāo);E為軌道板彈性模量;NF是軌道板下離散支承點(diǎn)數(shù);FsVi是軌道板下第i個(gè)支承點(diǎn)的垂向反力;ρs為軌道板密度;Ds為軌道板彎曲剛度。

在給定邊界條件下，可以由式(2)解出振型函數(shù)W和相應(yīng)的頻率，利用初始條件可以求得軌道板在任一階模態(tài)下的位移。

1.2 高斯曲率

在計(jì)算軌道板曲率模態(tài)時(shí)，會(huì)涉及x，y 2個(gè)方向的曲率模態(tài)值，由微分幾何知識(shí)可知，高斯曲率可以綜合反映板狀結(jié)構(gòu)2個(gè)方向上的曲率。設(shè)振型曲面［x，y，z(x，y)］上任一點(diǎn)的2個(gè)主曲率為 k1和k2，則其乘積稱(chēng)為曲面在這一點(diǎn)的高斯曲率，通常以 K 表示［12］。即

由于軌道板等間距劃分，所以利用差分法分別計(jì)算 p，q，u，s，t的值。

2 模型建立

利用有限元軟件進(jìn)行建模分析，建立軌道板－CA砂漿模型，軌道板采用shell63單元模擬，CA砂漿采用combin14彈簧單元模擬。軌道板參數(shù)為:彈性模量 E=3.65 ×1010Pa，密度為 2500 kg/m3，泊松比為0.2;砂漿 E=3×108Pa;軌道板長(zhǎng)度4.8 m，寬 2.4 m。橫向劃分 12份，縱向劃分 24份，軌道板四周采用全約束。模型中采用刪除CA砂漿彈簧來(lái)模擬CA砂漿的脫空傷損，選取不同位置的砂漿脫空傷損進(jìn)行計(jì)算分析。傷損工況如表1所示。

表1 CA砂漿脫空傷損Table 1 Void damage of CA mortar

2.1 基于固有頻率識(shí)別CA砂漿脫空傷損

首先計(jì)算CA砂漿有損傷和無(wú)損傷時(shí)的固有頻率，計(jì)算結(jié)果如表2所示。從前十階計(jì)算結(jié)果中可以看出，只有第一階固有頻率變化幅度較大，其他階固有頻率變化很小，不能從固有頻率的變化來(lái)準(zhǔn)確識(shí)別傷損，只能作為一個(gè)初步判斷的依據(jù)，為后續(xù)分析提供基礎(chǔ)信息。

2.2 基于高斯曲率識(shí)別CA砂漿脫空傷損

2.2.1 軌道板－CA砂漿無(wú)傷損

通過(guò)對(duì)軌道板－CA砂漿模型的模態(tài)分析，計(jì)算出軌道板在各階模態(tài)下的位移模態(tài)，利用高斯曲率理論識(shí)別CA砂漿的脫空傷損，考慮到以軌道板彎曲振動(dòng)為主，本文只計(jì)算軌道板前五階高斯曲率。通過(guò)編制matlab程序計(jì)算工況1和工況2的前五階軌道板的高斯曲率，圖1為工況1CA砂漿無(wú)脫空時(shí)的前五階高斯曲率計(jì)算結(jié)果。

表2 軌道板－CA砂漿系統(tǒng)前十階固有頻率Table 2 First ten natural frequencies of the slab－CA motor system

圖1 工況1前五階高斯曲率Fig.1 Working condition one of the first five order gaussian curvature

從計(jì)算結(jié)果可以看出，各階模態(tài)下高斯曲率曲面平滑，軌道板高斯曲率形狀與振型相對(duì)應(yīng)，且沒(méi)有出現(xiàn)明顯尖峰，說(shuō)明軌道板－CA砂漿系統(tǒng)沒(méi)有傷損。

2.2.2 軌道板－CA砂漿有單處傷損

由于CA砂漿無(wú)傷損時(shí)計(jì)算了前五階模態(tài)，工況2與之相對(duì)應(yīng)也計(jì)算前五階高斯曲率。工況2傷損模型如圖2所示，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖2 CA砂漿脫空傷損模型Fig.2 Mode of the void damage of CA mortar

圖3 工況2前五階高斯曲率Fig.3 Working condition two of the first five order gaussian curvature

從軌道板前五階高斯曲率計(jì)算結(jié)果來(lái)看，CA砂漿無(wú)損傷高斯曲率(圖1中(a)～(e))與有損傷高斯曲率(圖3中(a)～(e))有明顯差異;其中第一階、二階、三階高斯曲率在 X坐標(biāo):1.0～1.4，Y坐標(biāo):1.0～1.4區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)明顯的尖峰，說(shuō)明軌道板在該區(qū)域范圍內(nèi)曲率發(fā)生變化，進(jìn)而可以判斷出在該區(qū)域存在傷損。第四、五階高斯曲率在X坐標(biāo):1.0～1.4，Y 坐標(biāo):1.0 ～1.4 區(qū)域內(nèi)沒(méi)有出現(xiàn)尖峰值，主要原因是該傷損處在這兩階模態(tài)的節(jié)線上，所以該方法對(duì)處在節(jié)線上的傷損識(shí)別存在不足，但可以綜合前五階模態(tài)結(jié)果來(lái)準(zhǔn)確定位傷損的位置。

通過(guò)比較前五階高斯曲率的計(jì)算結(jié)果，其中第一階高斯曲率結(jié)果最明顯，不僅能直觀的判斷軌道板－CA砂漿系統(tǒng)存在傷損，而且還可以準(zhǔn)確識(shí)別傷損的位置。基于此，工況3至工況6只計(jì)算軌道板第一階高斯曲率，其中工況6模擬CA砂漿邊緣脫空傷損，并且在損傷處軌道板不施加約束。其計(jì)算結(jié)果如圖4～圖7所示。

從圖4～圖6可以明顯看出，3種工況下的一階高斯曲率分別在不同位置處出現(xiàn)尖峰，出現(xiàn)尖峰的區(qū)域與CA砂漿脫空的區(qū)域相一致，這說(shuō)明一階高斯曲率可以很準(zhǔn)確的識(shí)別出傷損位置，識(shí)別效果很好。圖7為CA砂漿邊緣脫空，由于在脫空區(qū)域軌道板也不施加約束，一階高斯曲率圖中在邊緣區(qū)域出現(xiàn)較小尖峰，出現(xiàn)位置與CA砂漿脫空區(qū)域一致。

圖4 工況3一階高斯曲率Fig.4 Working condition three of the first order gaussian curvature

圖5 工況4一階高斯曲率Fig.5 Working condition four of the first order gaussian curvature

圖6 工況5一階高斯曲率Fig.6 Working condition five of the first order gaussian curvature

圖7 工況6一階高斯曲率Fig.7 Working condition six of the first order gaussian curvature

2.2.3 軌道板－CA砂漿有多處傷損

由CA砂漿單處傷損的計(jì)算結(jié)果和結(jié)論可知，利用軌道板第一階高斯曲率就可以準(zhǔn)確識(shí)別出傷損位置，針對(duì)CA砂漿在運(yùn)營(yíng)過(guò)程中難免存在多處傷損的現(xiàn)狀，建立CA砂漿多處傷損有限元模型，如圖8所示。并分析其第一階高斯曲率，計(jì)算結(jié)果如圖9。

圖8 CA砂漿多處傷損模型圖Fig.8 Mode of several void damages of CA mortar

由圖8和圖9可以看出，兩處傷損面積雖一樣大，但一階高斯曲率值有差異，這是因?yàn)楦咚骨蚀蟮囊惶巶麚p處在一階模態(tài)位移模態(tài)較大處，其曲率相對(duì)也較大。圖9中2處尖峰位置即為傷損位置，與預(yù)設(shè)傷損位置一致，這說(shuō)明一階高斯曲率不僅可以準(zhǔn)確識(shí)別單處CA砂漿傷損，還可以準(zhǔn)確識(shí)別出多處傷損。

3 結(jié)論

(1)軌道板的前五階高斯曲率可以反映傷損的有無(wú)及其具體位置，因此計(jì)算分析時(shí)只分析前五階模態(tài)即可。

(2)軌道板的前五階高斯曲率中，一階高斯曲率最明顯，對(duì)不同位置的CA砂漿脫空識(shí)別效果很好。如果一階高斯曲率不能明顯反應(yīng)出傷損位置時(shí)，可以結(jié)合前五階高斯曲率進(jìn)行綜合判斷，準(zhǔn)確定位出傷損位置。

(3)軌道板－CA砂漿系統(tǒng)一階高斯曲率不僅可以準(zhǔn)確識(shí)別單處CA砂漿傷損，還可以準(zhǔn)確識(shí)別出多處CA砂漿傷損。

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